第五章弯曲应力课件

1、第五章 弯曲应力,凌 丹 电子科技大学,本章内容,引言 对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度条件与合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲 弯拉压组合,现象1：工程中在安放矩形截面木梁时，一般总是将梁竖放，使其高度h大于宽度b。,工程现象,现象2：在钢结构中，经常采用型钢梁如工字形 梁，盒形梁等，而不使用方形梁。,结论:梁的承载能力,不但取决于横截面面积,还取决于截面的形状和如何放置等因素。研究弯曲变形梁横截面上的应力分布规律对于合理设计梁的结构非常重要。,在横向载荷作用下，梁内横截面上通常同时存在剪力和弯矩。,5.1 引言,弯曲正应力,弯曲切应力,切向微内力构成剪力,法向微内力构成弯矩,在

2、梁的横截面上，将同时存在切应力和正应力。,在机械与工程结构中，最常见梁的每个横截面至少有一根对称轴，这些对称轴构成对称面，称为纵向对称面。当所有外力都作用于梁的对称面内时，弯曲变形后梁的轴线仍位于此对称面内，这种弯曲形式称为对称弯曲，也称为平面弯曲。,对称弯曲的概念,梁弯曲的若干定义与概念,L,a,梁弯曲的若干定义与概念,横向弯曲梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲， (transverse bending)。,纯弯曲： 如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(pure bendin

3、g)。在纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。,梁弯曲的若干定义与概念,5-2 对称弯曲正应力,1、试验对象：等直细长矩形截面梁,2、前提:,(a)小变形在弹性变形范围内，,(b)满足平面弯曲条件，,（c）纯弯曲。,3、实验观察:,梁侧表面绘制纵横线,梁侧表面纵横线的变形,梁纵向纤维的变形,一、纯弯曲实验,实验观察结果： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交（无切应变），只是横线间作相对转动； （2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长； （3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉压的变形相似。,

4、4、基本假设,弯曲平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，仍然垂直于变形以后的轴线；横截面绕中性轴旋转了一定角度。,单向受力假设：梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。各纵向纤维之间无相互挤压。,5、推理,根据平面假设，横截面上各点处均无切应力； 根据平面假设，梁弯曲时部分“纤维”伸长，部分“纤维”缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层。,中性轴,中性层,中性层与横截面的交线，称为中性轴。在对称弯曲问题中，中性轴垂直于横截面的纵向对称轴。,中性层与中性轴,中性层上无正应变发生，弯曲正应力为零。,每一横截面中性轴弯曲正应力为零。,纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕

5、中性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”均处于单向受力状态。,二、弯曲正应力的一般公式,1.变形几何关系,纵线ab的正应变为：,中性层的曲率半径,截面mm、nn的相对转角。,距中性层y处任一纤维的正应变,变形几何关系：,分析： （1）纯弯曲时梁横截面上各点的正应变沿截面高度线性分布； （2）中性轴处正应变等于零； （3）中性轴两侧分别为拉应变和压应变； （4）距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。,2、物理关系,在线弹性范围内，应用胡克定律,（1）纯弯曲时横截面上的正应力沿截面高度线性分布；,（2）中性轴处正应力为零；,（3）在距中性轴最远的横截面边缘，分别受有最大拉应力和最大压应力；,（4）横截面

6、上同一高度的各点正应力相等。,3、静力学关系：,z 轴必须通过横截面的形心，为横截面的形心 轴。,EIz 梁的抗弯刚度，,反映梁抵抗弯曲变形的能力。,y 轴为横截面的对称轴，该式自然满足。,正应力公式适用条件： （1）所有外载荷作用在纵向对称面上（对称弯曲）。 （2）纯弯曲或 的横力弯曲，其中h为梁的高度，l为跨度（支座间距离或外伸部分长度）； （3）应力小于比例极限。,三、最大弯曲正应力,位于中性层最远处，正应力最大。,截面的抗弯截面模量，反映了截面 的几何形状、尺寸对强度的影响。,注意：弯曲正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。其正负号由弯矩 M 及点的坐标y 的正负确定。实际计算时

7、更多用直观判断方法确定。,矩形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：,若hb, 则 。,竖放与横放相比，承载能力更强。,y,z,D,圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：,注意：,（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，并确定该点到中性轴的距离。,（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。,（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。,（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁

8、的变形状态来确定。,在横向弯曲情况下：,横截面上既有正应力，又有切应力；,横截面将发生翘曲，不再保持为平面。,横向弯曲时的正应力计算公式,尽管横力弯曲和纯弯曲存在差异，但通过分析表明，用公式 计算横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差（在横力弯曲的情况下，对于跨长与截面高之比大于5的梁仍使用，且误差很小。），能满足工程问题所需精度。,例题,图示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用，计算截面B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。已知l=0.400m，b=0.120m，d=0.020m。,B-B,解：,1. 弯曲应力分析,最大弯曲拉应力发生在截面上边缘。最大弯曲压应力发生在截面下边缘。,(1

9、) 求组合图形形心：,2. 横截面几何性质计算,1,2,(2) 求组合图形对z轴的惯性矩,(3) 计算最大拉、压正应力,已知简支梁的尺寸及载荷如图所示，弹性模量E200GPa。 求： （1）C 截面上K点正应力； （2）C 截面上的最大正应力； （3）全梁上的最大正应力； （4）C 截面的曲率半径。,例题,求支座反力，并绘制内力图。,（压应力）,解：,(1) 求C截面上K点正应力,（2）C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,（3） 全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,（4） C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,5-3 对称弯曲切应力,1、基本假设： （1）横截面上各点

10、的切应力的方向都平行于剪力FS； （2）切应力沿截面宽度均匀分布。,一、矩形截面梁的弯曲切应力（弯曲剪应力）,实验证明：在截面高度大于宽度的情况下，根据此假定得到的解与精确解相比具有足够的准确度。,(+),(-),分析方法（截面法）：,1、沿 mm,nn 截面截开， 取微段dx。,dx,2、沿 kl 截面截开，根据剪应力的互等定理：,dx很小，在 kl 面上可认为均布。,3、列平衡方程，由 ：,w,w,横截面上任一点处弯曲正应力计算公式：,代入得：,截面w对z轴的静矩,又称为部分静矩,b,dx,m,n,k,l,y,z,y*,w,y,根据平面图形对任一轴静矩的定义：,b,h,z,y,b,h,z,

11、y,部分静矩的计算,而,因此矩形截面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的高度抛物线规律分布。,并且,横截面中性轴上的切应力最大，边缘处切应力为零。,二、工字形截面梁的切应力,主要考虑工字形截面梁腹板上的切应力计算。,可按照矩形截面梁的切应力公式计算：,式中：d 腹板宽度,S(w)图中阴影部分面积对中性轴之静矩。,静矩计算如下：,代入切应力公式得：,工字形截面梁腹板上的弯曲切应力沿腹板高度按抛物线规律分布。,当 时， 最小；,当 时， 最大。,（1）腹板上的max 远远大于翼缘上的max； （2）切应力在工字形截面的腹板上大致均匀分布； （3）横截面上的剪力Fs 的绝大部分由腹板所承担。,当腹板厚度

12、d远小于翼缘宽度b时，最大与最小切应力相差甚小，因此，腹板上的切应力可近似看成时均匀分布的。即,三、圆形截面梁,圆形截面边缘上各点的切应力不是平行于截面剪力而是与圆周相切。在平行于中性轴的同一轴线上，各点处的切应力方向也不相同。最大切应力发生在中性轴上，可近似认为中性轴上各点处切应力平行于剪力。,四、 弯曲正应力与弯曲切应力的比较,l,y,z,C,宽 b 高h,最大弯矩,最大剪力,A,当梁的长度远大于截面高度时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。,在一般细长的非薄壁截面梁中，主要应力是弯曲正应力。,例：简支梁的受力和横截面如图所示。试求：（1）1-1截面上a 、b两点的正应力和切应力，并

13、画出沿截面高度正应力和切应力的分布图；（2）危险面上的最大正应力和最大切应力。,解：（1）绘制内力图,（2）求1-1截面的内力,截面系数,（3）求1-1截面上的正应力和切应力,a, b 两点的正应力和切应力,1-1截面的最大切应力,（4）求危险截面上的最大正应力和最大切应力,抗弯截面系数,正应力 和切应力分布情况,最大正应力,最大切应力,例：简支梁受力如图所示。已知P40kN，l = 10m。试计算下列两种截面形式梁中的最大正应力和最大切应力。（1）横截面为b = 100mm，h = 200mm的矩形；（2）采用型号为I32a的工字钢。,为了求解最大正应力和最大切应力，首先需要确定最大弯矩和最

14、大剪力作用面及其大小，也就是确定危险截面，然后正确判断产生最大正应力和最大切应力的点在危险截面上的位置，即确定危险点。最后按正应力和切应力计算公式求解。,解：（1）绘制简支梁的剪力图和弯矩图。,以简支梁为研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程可得：,分析：,剪力图,弯矩图,剪力图和弯矩图如图所示。,简支梁跨中有最大弯矩，此截面为危险截面。最大正应力发生在该横截面的上下边缘（危险点），其值为,（2）矩形截面梁,梁中的最大剪力Fsmax=20kN.m，最大切应力发生在截面的中性轴上（危险点）。其值为,比较计算结果,可知，梁中的最大正应力比最大切应力要大得多。因此，在校核梁的强度时，可以忽略剪力的影

15、响。,（3）I32a工字型钢截面梁,由型钢表查得,由型钢表查得,则梁内最大正应力发生在跨中（危险截面）的工字形截面的上下边缘（危险点），其值为,梁内最大切应力发生在截面的中性轴上，其值为,5-4 梁的强度条件与合理强度设计,一、弯曲正应力强度条件,说明：,（1）最大弯曲正应力可能发生在最大正弯矩或负弯矩截面上，即危险截面。,（2）最大弯曲正应力可能发生在危险截面上离中性轴最远的各点处，即危险点。,（3）对于变截面梁而言，需要综合考虑M和Iz 。,（4）对于塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压强度相同（如低碳钢），因此要求绝对值最大的弯曲正应力不超过材料的许用弯曲正应力。对等截面直梁来说，危险截面

16、仅有一个，即|Mmax|所在截面，而截面上的危险点，即ymax 所在之点。,（5）对脆性材料而言，由于材料的抗拉和抗压强度不等，因此要求最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力都不超过材料的许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力。就关于中性轴不对称等截面直梁来说，危险截面有两个：正弯矩最大的截面和负弯矩最大的截面。而每个危险截面有两个危险点，即ymax 和ymin 所在之点。因此要满足全梁的强度，必须这些点的强度均满足。,二、弯曲切应力强度条件,梁的最大弯曲切应力通常发生在中性轴上的各点处，而该处的弯曲正应力为零。因此中性轴上的各点处于纯剪切应力状态，相应的强度条件是,对于一般细长的非薄壁截面梁，通常只需按弯曲

17、正应力强度条件进行分析即可。只有在下述一些情况下，要进行梁的弯曲切应力强度校核：,（1） 梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力较大；,（2）经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面等，一般要进行切应力计算和校核。,说明： （1）最大弯曲切应力max的计算，应视截面为矩形、工字形、圆形等不同情况，应用不同的计算式。当为等截面梁时，只需校核最大剪力Fmax所在截面的中性轴上点的切应力是否满足强度条件；当为非等截面梁时，还需考虑未出现Fmax的截面。 （2）在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。在工程中，通常先按正应力强

18、度条件设计出截面尺寸，然后进行切应力强度校核。,例题 5-4,圆截面轴AD，BC段受均布载荷的作用，已知载荷集度q=1kN/m，许用应力s=140MPa，确定轴径。,A,B,C,D,q,A,B,C,D,q,A,B,C,D,q,剪力图,弯矩图,圆截面轴：,应分别计算BC段和AB段的直径。,例：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T 型截面，已知材料的许用拉应力为t40MPa，许用压应力c100MPa。试校核梁的强度。,单位：mm,解：（1）绘制弯矩图,最大负弯矩,弯矩图,最大正弯矩,以外伸梁为研究对象，受力图如图所示。由平衡方程得A、B处的约束力分别为,绘制弯矩图,截面形心距底边,（2）确定中性

19、轴的位置,单位：mm,（3）截面对中性轴的惯性矩,拉应力强度校核,A截面为负弯矩，上部受拉,C截面为正弯矩，下部受拉,（4）校核梁的强度（绘出应力分布图）,A截面应力分布,C截面应 力分布图,拉应力强度足够。,A截面下部受压 ：,C截面上部受压 ：,压应力强度校核,A截面应力分布图,C截面应 力分布图,由于 ，最大压应力发生在A截面的下边缘,压应力强度足够。,要点讨论,如果将此梁的截面倒放成形，这时梁的最大拉应力将发生在A截面的上边缘，其值为：,这时梁的强度就不足。由此可见，对于抗拉、拉压强度不相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况来合理放置。,例题 5-6,图示简易起重机梁，

20、用工字钢制成，若载荷F=20kN，并可沿梁轴移动，选择工字钢的型号。已知梁的跨距l=6m，许用应力s100MPa， ，许用切应力t60MPa,型 钢,解：,（1）内力分析，确定危险截面 当集中载荷位于梁的跨距中点时，弯矩最大,A,载荷无限靠近支座时，剪力最大。,2. 选择截面尺寸,查型钢表，选用22a工字钢,3.校核梁的剪切强度,查表22a工字钢,腹板宽度,剪切强度满足要求。,弯曲正应力强度条件：,在一定时，提高弯曲强度的主要途径：,一、选择合理截面,矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。,1、根据应力分布的规律选择：,提高弯曲强度的一些措施,2.为降低重量，可在中性轴附近开孔。,3. 根据材料特性选择：,塑性材料：,宜采用中性轴为对称轴的截面。,工字形截面梁、矩形截面梁、箱形截面梁,脆性材料：抗拉强度低于抗压强度，采用中性轴偏于受拉一侧的横截面。 T形截面梁、槽形截面梁,受拉,受拉,例如T字形截面：,即：力求使最大拉、压应力同时达到许用应力值。,截面的合理设计,已知：简支梁的最大弯矩Mmax=7.5kNm,=160MPa,求：按正应力强度条件选择下列截面的尺寸并比较其重量。,解：,圆形,矩形,圆环,工字钢,圆形,圆环,矩形,例：根据材料的特性选择截面形状。,试从强度方面考虑，哪种截面形状最合适 ？ 若为T形截面 ，则哪种放置方式最为合理