理论力学B(1)

1、第一篇 运动学,运动学-从几何角度研究物体的运动规律，如点的运动方程（轨迹）、速度、加速度，刚体的转动方程，角速度、角加速度等,一、几个重要概念,1.参考空间（参照系）,参考空间常与某物体（参照物）固连，,参照物有限大，参考空间无限大,描述物体的运动必须指明相对于哪个参考空间,但 参考空间参照物,2.坐标系 在参考空间中选定，如直角坐标系、柱坐标系、 球坐标系、自然轴系等。,3.运动的描述,运动学-根据已知的运动学量求其他的运动学量,（1）矢量法-在参考空间中选定原点，描述物体 任意时刻的矢径 简单、直观，矢量方程，结论只与参考空间有关,（2）分析法-建立坐标系，描述物体任意时刻的坐标 复杂，

2、便于上机，标量方程，结论依赖于坐标系,由运动方程(含时间)或运动轨迹(不含时间)描述。,任意时刻物体中任意质点的空间位置, 1.1 约束 1.2 广义坐标与自由度 1.3 点的一般运动及其描述 1.4 刚体运动的分类 1.5 刚体的基本运动及其描述,1 运动学基础,对于一个系统的运动如何描述？,1 运动学基础, 1.1 约束 约束是指物体的运动所受到的几何限制条件。,自由物体-运动不受其他物体限制 非自由物体-运动受到周围物体限制,几种典型的约束,（1）柔绳约束， 刚性杆约束,1 运动学基础,(2)光滑面约束,（3）光滑圆柱铰链约束,(4)光滑球铰链约束,（5）固定铰支座,（6）活动铰支座,(

3、7)固定端（固支端）约束, 1.2 广义坐标与自由度,自由度 S 广义坐标的个数,系统中各质点的空间位置是qi的函数，,系统中各质点的速度是qi和 的函数，,系统中各质点的加速度是qi、 和 的函数,不同研究对象、运动形式与自由度,（1）杆AB，在杆所在的平面内作平面运动,S=3 广义坐标：xA, yA, ,（2）对杆的平面运动加以约束,S=1 广义坐标：,S=1 广义坐标：,（4）刚体系统,S=2 广义坐标：，,（3）,S=0 结构,(5),m为质点 S=1,A为圆轮,S=2,广义坐标： ,广义坐标： ，,行星轮机构 S=1,活塞连杆机构 S=1,四连杆机构 S=2,讲授过的几个重要概念；,

4、参考空间（参照系）,约束,广义坐标,自由度,解析法；,矢量法,二、关于矢量代数、矢量分析的复习（附录I）,针对自由矢量（可在空间中自由移动）的常用规则,1.矢量的表示,（1）符号,（2）图示,（3）矢量相等,（4）负矢量,（5）单位矢量,2.矢量代数,(2)数乘,（3）矢量的分解 （分解不惟一）,（6）混合积： 三个矢量的运算，其结果为标量， 记为,（7）矢量的投影,为l 方向的单位矢量,在自身方向上的投影,当 指向已知时a 0,当 指向未知时 假设 的指向为,（8）若,（9）注意区别：矢量的投影与矢量分解的分量,若沿正交轴分解,若沿斜交轴分解,则投影不等于分量的大小,则投影等于分量的大小,（

5、10）本课程中矢量的表示方法,矢量：大小，方位，指向,完全已知 图示方向、指向，写出大小,已知方位，未知指向和大小 图示方位，任意假设指向 求出结果若F0，则假方向设正确，若F0，则与假设方向相反,3.矢量分析,运动学中，常有矢量函数,(1)矢量的导数,（2）矢量的微分 ，常矢量,（3）矢量微分的运算规则，若, 1.3 点的一般运动及其描述,一、点的运动的矢量描述，矢量法,研究对象：点M，选定参考空间及一参考点,点的运动方程 （1.1）,点的运动轨迹 - 的矢端图,1.点的运动方程,2.点的速度、加速度,速度 （1.2）,速度大小 ： ，速度方向：沿轨迹切线， 指向运动方向,加速度 （1.3）

6、,加速度大小 加速度方向：速度矢端图的切线方向,注意： 都与参考空间有关,二、点的运动的坐标描述，分析法,选定参考空间，建立坐标系（直角坐标系或其他）,M为非自由质点，S=2，可选择广义坐标(t),(t),矢量法与分析法的关系,位置： （1.8）,三、建立点的运动方程的方法,（1）建立坐标系，明确研究对象，自由度，选定广义坐标（多数选题中已给定随时间变化规律的几何参数）。,（2）将点的坐标表示为广义坐标的函数，并将广义坐标随 时间变化的规律代入。,（3）进一步，由运动方程求导可求速度、加速度。,例1.2,解：研究对象为小环M（质点）,M的自由度为1，选广义坐标为,（1）将参考空间与大圆环固连，

7、建立坐标系Oxy,（2)将参考空间与直杆固连，建立坐标系Oxy,小环相对于大圆环,例3,绳的一端连在小车的A点上另一端跨过B点的小滑轮绕在鼓轮C上，滑轮离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当 时B、C之间绳上一点P的速度和加速度。,几何关系：,解：以为广义坐标,1.4 自然轴系（弧坐标系）,当点M在一条已知曲线上运动时，常选择该曲线作为自然坐标轴描述M的运动。,一、自然轴系的建立，运动方程，运动轨迹,设已知点M的运动轨迹为空间曲线，其方程为,选择曲线上的弧长S为广义坐标：任选曲线上一点O1为原点，规定O1一侧的弧长为正，另一侧弧长为负。,点的运动方程 S=S(t) (1.1

8、2),空间曲线的密切面,二、关于曲线几何性质的预备知识,设空间曲线上任意一点P,2. 法平面：过P点垂直于切线的平面,3. 密切面：过P点的切线PT，且与法平面垂直,4. 主法线PN：密切面与法平 面的交线，单位矢 ，正 向为指向曲线曲率中心,即P点的弧段ds所在平面，对平面曲线，密切面就是曲线ds所在的平面。,构成P点的自然轴系基矢,从切面,注意：自然轴系基矢量 大小不变，但方向随S变化,可视为切线 绕副法线 的转角,6. 曲率,曲率-曲线在P点处无限小弧段ds(位于密切面内)的弯曲程度,(1.15),三、点的速度、加速度在自然轴系中的投影,点的运动方程 S=S(t),点的速度 (1.19)

9、,位于该点 密切面内,若已知v(t), a(t),则,四、其他坐标系 柱坐标、球坐标、极坐标（参见教科书）,例1.3,同例1.2，试求小环的速度、加速度在自然轴系中的投影。 已知 （1）t (2) A sin t,1）当t,速度 方向如图,解：小环相对于固定参考空间的轨迹为大圆环，取t=0时小环的位置M0为原点，逆时针方向S为正。,2)当A sin t,S(t)=2R2RA sin t,1、不可矢量标量不分或矢量标量混用！,需要注意的几个问题,3、解题过程一定要画出图示，在图中 标出用到的速度、加速度方向和符 号。,2、速度、加速度均为矢量，一定要表 示清楚其大小和方向。, 1.4 刚体运动的分类,1. 平移(平动),刚体上任意一条直线在运动中始终平行。各点的轨迹都相同（各点的速度、加速度都相同）。,2.定轴转动,刚体内或延伸部分始终存在一根固定不动的直线，各点（除转轴上各点外）的轨迹为大小不同的圆周。,3.平面运动,刚体上各点轨迹均为平面曲线，并且这些曲线所在平面相互平行。,4.定点运动,刚体上或其延拓部分始终存在一个且只有一个静止