2009年高考全国卷I数学(文)试题及参考答案

1、20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修文科数学（必修+ +选修选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至至 2 页，第卷页，第卷 3 至至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回回 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字毫米黑色墨水签字 笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核，并贴好条形

2、码请认真核 准条形码上的准考证号、姓名和科目准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在 试题卷上作答无效试题卷上作答无效 3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么球的表面积公式AB， ()( )( )P ABP

3、AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么其中表示球的半AB，R 径 球的体积公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生 次的概率其中表示球的nkR 半径 ( )(1)(01,2) kkn k nn P kC PPkn ， 一、选择题一、选择题 （1）的值为 o 585sin (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2 3 2 3 2 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。 解：，故选择 2 2 45sin)45180sin()225360sin(585sin oooooo A

4、。 (2)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集，UAB 则集合中的元素共有() U AB (A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1） 解：，故选故选 A A。也可。也可3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8 U ABAB 用摩根定律：用摩根定律：()()() UUU ABAB （3）不等式的解集为1 1 1 x x （A） （B）011xxx x 01xx （C） （D）10 xx 0 x x 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。 解：，0040)1()1(|1|1|1 1

5、1 22 xxxxxx x x 故选择 D。 （4）已知 tan =4,cot= ,则 tan(a+)=a 1 3 (A) (B) (C) (D) 7 11 7 11 7 13 7 13 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基 础题。 解：由题，故选择3tan 11 7 121 34 tantan1 tantan )tan( B。 （5）设双曲线的渐近线与抛物线相切， 22 22 00 xy ab ab 1 ， 2 1yx 则该双曲线的离心率等于 （A） （B）2 （C） （D）356 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置 关系、双曲线的离心率，基础题

6、。 解：由题双曲线的一条渐近线方程为， 22 22 00 xy ab ab 1 ， a bx y 代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所0 2 abxax 以，即，故选择 C。04 22 ab55 22 eac （6）已知函数的反函数为，则( )f x( ) 10g xx2l gx )1()1(gf （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。 解：由题令得，即，又，所以1lg21 x1 x1)1( f1)1( g ，故选择 C。2)1()1( gf （7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女 同学，若从甲、乙两组中各选出 2

7、 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题， 基础题。 解：由题共有，故选择 D。345 2 6 1 3 1 5 1 2 1 6 2 5 CCCCCC （8）设非零向量 、 、 满足，则abccbacba |,| ba, （A）150 （B）120 （C）60 （D）30 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础 题。 解：由向量加法的平行四边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻ab 边，且 、 为起点处的对角线长等于菱形的边长，

8、故选择 B。ab （9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面 111 ABCABC 1 A 上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值ABCBCAB 1 CC 为 (A) (B) (C) (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同 理 7） 解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线BC 1 A 1 A AB 与所成的角,由三角余弦定理，易知AB 1 CC .故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么3cos(2)yx 4 (,

9、0) 3 的最小值为 (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。 解: 函数的图像关于点中心对称cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故选 A 4 2 32 k 13 () 6 kkZ min | 6 （11）已知二面角为 600 ，动点 P、Q 分别在面内，P 到l , 的距离为，Q 到的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小32 3 值为 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10） 解:如图分别作 ,QAA AClC PBB于于于 ，连 PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则 ，2 3,3AQ

10、BP2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选 C。0AP AP点与点 （12）已知椭圆的右焦点为 F,右准线 ，点，线段 2 2 :1 2 x CylAl AF 交 C 于点 B。若,则=3FAFB AF (A) (B) 2 (C) (D) 323 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础 题。 解：过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知BMll FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得3FAFB 2 | 3 BM .故选 A 2 22 | 233 BF |2AF 20092009 年普通高等学校招生全

11、国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修文科数学（必修 选修选修） 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自毫米黑色墨水签字笔将自 己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形 码上的准考证号、姓名和科目码上的准考证号、姓名和科目 2第第卷共卷共 7 页，请用直径页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各 题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 3本

12、卷共本卷共 10 小题，共小题，共 90 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在分把答案填在 题中横线上题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） （13）的展开式中，的系数与的系数之和等于 10 ()xy 73 x y 37 x y _. 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13） 解: 因所以有 rrrr r yxCT 10 101 )1( 373 101010 ()2240CCC （14）设等差数列的前 项和为。若，则 n an n S 9 72S _. 249 aaa

13、【解析】本小题考查等差数列的性质、前 项和，基础题。 （同理n 14） 解: 是等差数列,由,得 n a 9 72S 59 9,Sa 5 8a 。 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa (15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球OAOOAMOA 面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于MM3O _. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。 解：设球半径为，圆 M 的半径为 ，则，即由题得Rr 3 2 r3 2 r ，所以。3) 2 ( 22 R R 1644 22 RR （16）若直线被两平行线所截得的线段m 12 :10:30lxylxy 与 的长

14、为，则的倾斜角可以是22m 1530456075 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的 距离，考查数形结合的思想。 解：两平行线间的距离为，由图知直线与 的夹角2 11 |13| dm 1 l 为， 的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或 o 30 1 l o 45m 00 754530 o 。故填写或 00 153045 o 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,证明证明 过程或演算步骤过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意注意:在试

15、题卷上作答无效在试题卷上作答无效) 设等差数列的前 项和为，公比是正数的等比数列的 n an n s n b 前 项和为，已知的通项公n n T 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a 式. 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 项和，n 基础题。 解：设的公差为 ，数列的公比为， n ad n b0 q 由得 33 17ab 2 12317dq 得 33 12TS 2 4qqd 由及解得0q 2 , 2 dq 故所求的通项公式为。 1 12(1)21,3 2n nn annb (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷

16、上作答无效） 在中，内角的对边长分别为.已知，ABCABC、abc、 22 2acb 且，求 .sin4cossinBACb 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得，Abcbcacos2 222 又 ，0,2 22 bbca ，bAbcb2cos2 2 即 2cos2 Acb 由正弦定理得 sin sin bB cC 又由已知得 sin4cossinBAC ， sin 4cos sin B A C 所以 4 cosbcA 故由解得 4 b (19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无（注决：在试题卷上作答无 效）效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，SABCDABCD

17、 底面，点在侧SD ABCD2AD 2DCSDM 棱上，SC60ABM （）证明：是侧棱的中点；MSC （）求二面角的大小。 （同理 18）SAMB 解法一：解法一： （I） 作交于点 E，则，平MECDSDMEABME 面 SAD 连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形 作，垂足为 F，则 AFME 为矩形MFAB 设，则，MExSEx 222 (2)2AEEDADx 2 (2)2,2MFAExFBx 由 2 tan60 ,(2)23(2)MFFBxx 。得 解得1x 即，从而1ME 1 2 MEDC 所以为侧棱的中点MSC （），又,所以为等边 22 2MBBCMC60 ,2ABMAB

18、 ABM 三角形， 又由（）知 M 为 SC 中点 ，故2,6,2SMSAAM 222, 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则 ,由此知为二面角的平面角,BGAM GHAMBGHSAMB 连接，在中，BHBGH 22 31222 3, 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角的大小为SAMB 6 arccos() 3 解法二解法二: : 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标 系 D-xyz 设，则( 2,0,0)A( 2,2,0),(

19、0,2,0), (0,0,2)BCS （）设,则(0)SMMC 2222 (0,),( 2,) 1111 MMB 又(0,2,0),60ABMB AB 故| |cos60MBABMBAB 即 222 422 ( 2)()() 111 解得，即1SMMC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II） 由，得 AM 的中点(0,1,1), ( 2,0,0)MA 2 1 1 (, ) 22 2 G 又 2 31 (,),(0, 1,1),(2,1,1) 222 GBMSAM 0,0GBAMMSAM 所以,GBAM MSAM 因此等于二面角的平面角,GB MSSAMB 6 cos, 3| | GB MS

20、GB MS GBMS 所以二面角的大小为SAMB 6 arccos() 3 (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概 率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件 同时发生的概率，综合题。 解：记“第 局甲获胜”为事件， “第 局乙获胜”为i)5 , 4 ,

21、3( iAij 事件。(3,4,5) j Bj （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 ，由于各局比赛结果相互独立，故 4343 BBAAA 34343434 ( )()()()P AP AABBP AAP BB 3434 () ()() ()P A P AP B P B 52 . 0 4 . 04 . 06 . 06 . 0 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、 乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲 先胜 2 局，从而 ，由于各局比赛结果相互独立， 54354343 ABAAABAAB 故 )()( 54354343 ABAAABAAP

22、BP 648 . 0 6 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0 )()()()()()()()( )()()( 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP （21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数. 42 ( )36f xxx （）讨论的单调性；( )f x （）设点 P 在曲线上，若该曲线在点 P 处的切线 通过( )yf xl 坐标原点，求 的方程l 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解：（） 3 66 ( )464 (

23、)() 22 fxxxx xx 令得或；( )0fx 0 2 6 x 2 6 x 令得或( )0fx 2 6 x 2 6 0 x 因此，在区间和为增函数；在区间 xf) 0 , 2 6 ( ), 2 6 ( 和为减函数。) 2 6 ,( ) 2 6 , 0 ( （）设点，由 过原点知， 的方程为，)(,( 00 xfxPll 0 ()yfx x 因此， 000 ()()f xx fx 即，0)64(63 0 3 00 2 0 4 0 xxxxx 整理得，0)2)(1( 2 0 2 0 xx 解得或2 0 x2 0 x 因此切线 的方程为或lxy2 2 2yx (22)（本小题满分 12 分）

24、（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相交于 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr A、B、C、D 四个点。 （）求 的取值范围r （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角 线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 解：解：（）将抛物线代入圆的方程， 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 消去， 2 y 整理得 22 7160 xxr 与有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正EM 根 12 xx、 由此得 22 12 2 12 ( 7)4(16)0 70 160 r xx xxr A 解得 2 15 16 4 r 又0r 所以 的取值范围是r 15 (,4) 2 （II） 设四个交点的坐标分别为、 11 ( ,)A xx 、。 11 ( ,)B xx 22 (,)C xx 22 (,)D xx 则由（