《三角函数》复习方案总体设计

1、 三角函数复习方案总体设计 一、考试说明对本专题的要求 1考试说明要求：内 容知识要求了解（A）理解（B）掌握（C）基本初等函数（三角函数）、三角恒等变换、解三角形三角函数任意角的概念、弧度制任意角的正弦、余弦、正切的定义诱导公式、同角三角函数的基本关系式周期函数的定义三角函数，的图象和性质函数的图象和性质三角函数模型的简单应用三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的三角恒等变换解三角形正弦定理、余弦定理解三角形及其简单应用2考试说明阐述：从近三年的湖北省考试说明来看，关于三角函数这部分内容高考的知识要求，没有任何改动，这意味着这部分在高考中的考查要求、方

2、式等是成熟的。“三角函数”的内容主要包括三角函数的图象和性质、三角恒等变换和解三角形三部分，这些内容是高中数学的传统内容，也是全国各地高考数学试题的重要组成部分。进入新课程以后，为了突出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数作为描述周期变换的数学模型这一本质，新课程标准对这部分内容做了一些调整，如删除了已知三角函数值求角、用半角公式等作复杂的恒等变形等。3课改以来，湖北省高考对三角函数的考查：年份题号题型所考知识点难度2012年11填空题余弦定理的应用易2012年17解答题三角函数图象与性质易2013年4选择题恒等变形及函数图象的平移易2013年17解答题正、余弦定理与解三角形易2014年17

3、解答题恒等变形及三角函数的应用易从上表可以看出，湖北省高考理科数学对三角函数这部分内容的考查是严格按照考试说明内容规定的范围来命题，而且题目难度不大，每年这部分内容的分数在12-17分之间，所以，我们2015届复习三角函数这部分内容应在扎实基础，规范解题过程上下功夫。二、专题知识体系构建的方法与总体构思1本章知识网络体系任意角的三角函数定义（三角函数线）三角函数图象及其性质两角差的余弦公式锐角三角函数的定义角的度量角的表示符号分布特殊角的三角函数值诱导公式同角关系式 和角、差角、倍角公式角的扩充解三角形正弦定理余弦定理2本章专题知识总体构思通过考试说明和知识网络结构图，引导学生明白本章在高考中

4、要考什么，怎么考，自己需要掌握哪些有用的东西，我在复习这一章的具体做法就是在第一节课当中，先给出一张练习页子，上面的题目都是今年全国各地的有关三角函数的考题，由于有部分学生知识上的遗忘，公式不记得，做的并不好，通过这个页子，学生知道自己在哪些方面没有掌握好，后面的学习就会有针对性写，其次我通过整整两节课的时间，利用上面的三角函数知识网络结构图，带领他们一起复习回顾本章基本知识点，背诵理解三角函数中的公式，初步掌握公式在解题中的运用，并开展一次背记公式比赛活动，让每个学生公式过关，为后面的学习打好了基础。三、重点知识强化策略，难点知识突破策略及常见题型解题方法1三角函数的图象和性质（1）由图象写

5、解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。例1：已知函数(R,且)的部分图象如图所示(1) 求的值；(2) 若方程在内有两个不同的解,求实数m的取值范围【解析】(1) 由图像可知函数周期为，得 解得 (2) ，令，则原方程可以变为在上有一个根，即在上有一个根由二次函数图像可知 m的取值范围是：或【说明】1.利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期，求三角函数的最小正周期一般化成，形式，利用周期公式即可.2.掌握一些常规技巧：“1”的代换，和积互化等，异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊角与特殊角的三角函数互化；（3）注意

6、利用转化的思想，本题转化为求最值,熟悉公式的整体结构，体会公式间的联系，倍角公式和辅助角公式应用是重点.（2）通过结合图象解决与三角函数有关的问题（如方程，不等式），发展用图象思考问题的能力。例2：已知函数，下列结论中错误的是（ ）A的图象关于点中心对称B的图象关于直线对称C的最大值为D既是奇函数，又是周期函数【解析】对于A选项，因为，故的图象关于点中心对称；对于选项B， ，故的图象关于直线对称；对于选项C，令，则，。令，解得，在与上单减，在上单增，又，即为函数的最大值为；对于D选项，因为，又，故既是奇函数，又是周期函数。【说明】将基本函数经过“加工”产生一些新的函数，考查新函数的图象或者性质

7、是高考命题的一个热点，要注重引导学生学会适应。（3）通过解决三角函数与其它知识融合的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合运用能力。例3：已知函数的周期为，图象的一个对称中心是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度后得到函数的图象。（I）求，的解析式；（II）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由；（III）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点【解析】（）由函数的周期为，得又曲线的一个对称中心为，故，得，所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位

8、长度后得到函数（）当时，所以问题转化为方程在内是否有解设，则因为，所以，在内单调递增又，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，即存在唯一的满足题意（）依题意，令当，即时，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，现研究时方程解的情况令，则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况，令，得或当变化时，和变化情况如下表当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在

9、正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，所以综上，当，时，函数在内恰有个零点。【说明】数学知识之间的联系千丝万缕，函数、方程、不等式本来就是一个整体，体会这样的联系非常有必要，更要注重对数学思想方法的运用。2三角恒等变换与解三角形（1）通过常规题目，再次熟悉并掌握“通性、通法”，进一步强化三角恒等变换能力。例4：若，则A B C D【解析】，又，.【说明】1.“变角”是三角恒等变换的核心，在教学中，应引导学生明确：角的变换应首先考虑“已知角”和“所求角”之间的关系，灵活运用“已知角”表示“所求角”，要注意，和角、差角、倍角、半角的相对性，积累常见角的变换形

10、式；2.角的取值范围会影响三角函数的符号，要注意符号的重要性。（2）灵活运用所学知识（如正、余弦定理等）解三角形，通过多种思路的探寻引导学生寻找解决问题的切入点；通过解法多样化，拓展学生解三角形问题的思路，串联方法，体会解法的优劣与繁简。例5：如图，在三角形中，已知，且是的中点，求的长。【解析】（法1）在三角形中，由余弦定理可得，所以。在三角形中，再由余弦定理，在三角形中，由余弦定理可得 所以。（法2）如右图，将三角形补成平行四边形，则，由余弦定理得 所以，。【说明】本题是一道余弦定理运用的基本题型，解法丰富，通过不同解题思路的探寻，不同层次的学生都有收获，从而积累数学解题活动的经验，提高解题

11、能力。3三角函数与平面向量的综合（1）运用向量数量积和向量共线等知识，经历三角恒等变形的过程，进行三角函数图象的研究和三角求值；强化解题规范要求，培养解题方向的选择、调整。例6：已知向量，。（I）若，试研究函数的单调性；（II）若，且，试求的值。【解析】（I）当时， ，由，得。当，即时，函数 单调递增；当，即时，函数 单调递减。（II）由 可得由，可得，（若则，此时，与条件矛盾）。从而有，即，两边同时除以，可得，所以，。【说明】像本题以向量为载体，注重三角恒等变形，三角求值，三角函数图象与性质的研究，是向量与三角综合问题中的基本模型之一，也是高考中常见的基本问题，指导学生解决这类问题应注重向量

12、运算转化的准确性，三角变形的合理性，书写表达的规范性。同时注重把握解题节奏，注意思路的方向性，提高解题效能。（2）熟悉三角形中边角互化的处理策略，培养平面向量问题化归为基向量的基本意识，强化自觉运用坐标法将几何问题转化为代数问题的转化思想。例7：在三角形中，分别是角的对边，若。（I）试判断三角形的形状；（II）设，点是三角形内切圆上的动点，求的取值范围。【解析】（I）由正弦定理，条件可以化为，又 ，故，由此可得，因此，所以，三角形为直角三角形。（II）结合（1）知，可得 ，则可设，内切圆半径，故圆心坐标为，内切圆方程为。设的坐标为，则，又点在圆上，有，代入上式并化简得，由 可得，所以。【说明】

13、本题着重转化意识和坐标意识的培养，正、余弦定理是边角互化的主要依据，应有自觉使用的意识。4有关概述三角函数这部分内容重点、难点及典型题型上面有所介绍，高考中的三角函数题目尽管不是怎么难，但是对一般的学生来说，得到满分也不是特别容易的事情，我们在给学生复习这部分内容时，应该做到：“熟记公式，夯实基础，学会变通，规范格式”。以此为指导思想，要求学生不折不扣的完成训练任务，并见识历年各地高考题的考法，打有准备之仗，才能在考试中这部分内容完美过关。五、训练题的选择及其意图本章训练题的选取不宜偏难怪，以基础，贴近高考为基准，选题要做到既要全面细致，又要有侧重点，重点照顾到高考热点考点，达到训练目的，下面

14、以一单元检测题为例说明训练意图。单元训练卷（一）1已知点（）在第三象限，则角在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B考点：三角函数的符号.2已知，则( )A. B C D【答案】B考点：同角三角函数的基本关系.3已知函数，下面结论错误的是（ ）A.函数的最小正周期为2B.函数在区间0，上是增函数C.函数的图象关于直线0对称D.函数是奇函数【答案】D.考点：三角函数的图象和性质.4函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 （ ）A.B. C. D.【答案】D考点：三角恒等变换.5已知，则（ ）A、2 B、-2 C、0 D、【答案】B考点：

15、诱导公式6 A B C D 【答案】D考点：诱导公式的应用.7已知函数，若，则的取值范围为（ ） A B C D【答案】B考点：三角函数的取值8已知，则（ ）A B C D【答案】C考点：三角函数公式9的值为 ( )A B C D【答案】A考点：三角恒等变换10在ABC中，已知向量，则ABC为（ ）A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角 D等边三角形【答案】D考点：三角函数与向量综合11函数具备的性质有 （将所有符合题意的序号都填上）（1）是偶函数；（2）是周期函数，且最小正周期为；（3）在上是增加的；（4）的最大值为2【答案】（1）考点：1.函数的奇偶性、周期性、单调性及最值；

16、2.数形结合思想.12在，角A、B、C所对的边分别为，若，则=.【答案】.考点：正弦定理的应用.13如图，在矩形ABCD中，在上取一点P，使,求【答案】18考点：两角和的正切公式14已知，且，则= .【答案】考点：1向量的数量积；2两角和差公式。15中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_（写出正确命题的编号）.若最小内角为，则；若，则；存在某钝角，有；若，则的最小角小于；若，则.【答案】考点：本题考查三角函数与解三角形、利用导数求函数的最值、不等式的应用等知识 ，意在考查学生综合解题能力.16已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.试题解析：（1）解：， 4分， 所以的

17、最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，所以，因此的值为. 考点：1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.17已知函数的最大值为（）求常数的值；（）求函数的单调递增区间；（）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值试题解析：解：（1），由，解得，所以函数的单调递增区间将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，取最大值当时，取最小值-3.考点：（1）求三角函数的单调区间；（2）求三角函数在闭区间上的最值.18.设函数 （1）求的单调递增区间. （2）已知函数的图象在点A()处，切线斜率为，求： 试题解析：（1） 在每一个区间上单调递增（2） 又考点：三角函数的性质，求三角函数值19已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为（1）当时，求的单调递减区间； （2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象当时，求函数的值域试题解析：（1）由题知, 相邻两对称轴的距离为,又为奇函数, , 即,要使单调递减, 需, ,的单调减区间为(2) 由题知, , , ，, 函数的值域为考点：1三角函数的周期性奇偶性；2三角函数的单调性；3三角函数伸缩平移变换。20如图,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若,求的长.试题解析：(1)由关于的余弦定理可得,所以.(2)因为为四边形内角,所