高中数学第一章三角函数1.3蝗制课件1北师大版必修.ppt

1、1.3 弧度制,思 考,有人问：上海到南京有多远时，有人回答约300公里，但也有人回答约188英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）,回答：显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.,1.角度制的定义 规定周角的 为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制.,2.弧长公式及扇形面积公式,在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？,我们这节课要

2、研究的主要内容就是弧度制.,1.理解弧度的意义,熟记特殊角的弧度数.（重点） 2.能熟练地进行弧度与角度的换算.（难点） 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.（难点）,探究点1 弧度制的有关概念,在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为_，它的单位符号是rad,读作弧度.,设弧长为l，若l=r，,则AOB= 1弧度.,1弧度,1弧度的角,2弧度,若l=2r，,若l=2r，,2弧度,若圆心角AOB表示一个负角，且它所对的弧长为3r，则AOB的弧度数的绝对值是,即AOB =,-3弧度.,-3弧度,-,思考：通过上面的实例我们能得到什么结论？ 提示：圆心角AOB的弧度数的绝对值等于它

3、所对的弧长与半径长的比.,一般地，任一正角的弧度数都是一个_；任一负角的弧度数都是一个_；零角的弧度数是_.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.,正数,负数,0,总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确 立了角的弧度数与实数间的一一对应关系，,正实数,零,负实数,对应角的弧度数,【即时训练】,判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)角的弧度数的大小与角的大小有关.( ) (2)角的弧度数与角所在圆的半径的大小有关.( ) (3)角=5表示的是5弧度的角.( ）,【解析】(1) 角的大小决定了弧

4、度数的大小. (2) 由弧度数的概念知弧度数与角所在圆的半径无关. (3) 在用弧度表示角时“弧度”两字可以省略.,探究点2 弧度制与角度制的换算,因为周角的弧度数是2，而在角度制下它是360，所以,由180=rad还可得,1= rad 0017 45 rad.,180,1rad =（ ） 5730=5718.,把角度换成弧度,把弧度换成角度,【即时训练】,用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_.,【解题关键】角的终边落在x轴上方，即角的终边落在 第一象限、第二象限以及y轴的非负半轴上. 【解析】若角的终边落在x轴上方， 则2k2k+,kZ. 答案:|2k2k+,kZ,例1 把45化成弧度

5、. 解: 45= 例2 把 化成度. 解:,方法：用弧度与角度的相互转化公式求解,0,2,提升总结 一些特殊角的度数与弧度数的对应表,对于0360之外的角，我们也不难得到它们的 弧度数.例如，-30=- rad,420= 360+60 = rad.,思考：在进行角度制和弧度制的换算时，应注意什么？ 提示：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”两字或“rad”可以不写. (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数. (3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.,设r为圆的半径, l是圆心角所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角的弧度数通常也用来

6、表示，由弧度的定义可知，角的弧度数的绝对值满足：,即 l =| |r,探究点3 扇形的弧长和面积,即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积.,证明:(1)由于半径为r，圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别是： 将n转换为弧度，得 于是， (2)将 代入上式，即得,例3 如图，利用弧度制证明扇形面积公式,其中r是半径，l是弧长， 为圆心角，S是扇形的面积.,思考：弧长、扇形的面积公式中的角是否可以是 角度制？ 提示：不可以.在不同的度量角的制度下，扇形的弧 长和面积公式是不同的，角度制下的弧长和扇形面 积公式：弧长l= ,扇形的面积S= = lr.在应用 时必须选用与角的度量制对应的

7、公式.,已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积. 【解析】设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l=2r. 由题意知l+2r=2r+2r=4r=8 cm. 解得r=2 cm.从而l=4 cm. 故扇形的面积,【变式练习】,1.把下列各角化成弧度. (1)6730. (2)120.(3)75. (4)135.(5)300.(6)-210.,解：,2.把下列各弧度化成度. (1) (2) (3),(1)15.,(2)-144.,(3)-150.,解：,3. 半径为1 cm，圆心角为150的角所对的弧长为( ),【解析】因为150=,所以

8、,D,4.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形的圆心角的弧度数.,解：设扇形半径为r，弧长为l，则由,故该扇形的圆心角的弧度数为,5.已知扇形的面积为4，当扇形的圆心角为多少弧 度时，扇形的周长最小？并求出此最小值 【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，由 得 所以扇形周长 因为r 时， 为减函数，r(2,+)时， 为增函数，故r=2时扇形的周长最小为8，此时l=4，圆心角=2.,【特别提醒】,弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及其注意点 (1)解题策略 明确弧度制下弧长公式l=|r,扇形的面积公式是 = (其中l是扇形的弧长,是扇形的圆心角). 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇