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1、,5.1 层治法的设计思想,2020/11/11,第5章 层治法,Page 2,规模为n的原问题的解与较小规模（通常是n/2）的子问题的解之间具有关系： （1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中； （2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。 由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。,5.1 层治法的设计思想,2020/11/11,第5章 层治法,Page 4,例：计算an的值，应用层治技术得到如下计算方法：,应用分治法得到an的计算方法是：,O (log2n),O (nlog2n),5.1 层

2、治法的设计思想,2020/11/11,第5章 层治法,Page 5,所以，通常来说，应用层治法处理问题的效率是很高的，一般是O(log2n)数量级。,层治法只对一个子问题求解，并且不需要进行解的合并。应用层治法（例如层半法）得到的算法通常具有如下递推式：,5.1 层治法的设计思想,对比分治法：,2020/11/11,第5章 层治法,Page 6,5.1 层治法的设计思想,一个简单的例子两个序列的中位数,问题描述：一个长度为n（n1）的升序序列S，处在第n/2个位置的数称为序列S的中位数 。两个序列的中位数是他们所有元素的升序序列的中位数。现有两个等长升序序列A和B，试设计一个在时间和空间两方面

3、都尽可能高效的算法，找出两个序列的中位数。,A=11, 13, 15, 17, 19, B=2, 4, 10, 15, 20，则中位数为13,想法：分别求出两个序列的中位数，记为a和b；比较a和b，有下列三种情况： a = b：则a即为两个序列的中位数； a b：则中位数只能出现在b和a之间，在序列A中舍弃a之后的元素得到序列A1，在序列B中舍弃b之前的元素得到序列B1； 在A1和B1中分别求出中位数，重复上述过程，直到两个序列中只有一个元素，则较小者即为所求。,1. 循环直到序列A和序列B均只有一个元素 1.1 a = 序列A的中位数； 1.2 b = 序列B的中位数； 1.3 比较a和b，执行下面三种情况之一： 1.3.1 若a=b，则返回a，算法结束； 1.3.2 若ab，则在序列A中舍弃a之后的元素，在序列B中舍弃b之前的元素，转步骤1； 2. 序列A和序列B均只有一个元素，返回较小者；,判定树描述折半查找的判定过程。 长度为n的判定树的构造方法为： （1）当n=0时，判定树为空； （2）当n0时，判定树的根结点是有序表中序号为mid=(n+1)/2（取地板）的记录

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