解析函数的孤立奇点与留数

1、.,解析函数的孤立奇点与留数,留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。,一.孤立奇点及其分类:,1.定义 若f(z)在z0不解析, 但在z0的某一去心邻域0|zz0| 内解析, 则称z0为f(z)的孤立奇点.,由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味着在z0的某个领域里只有z0一个奇点。 并非所有的奇点都孤立，例如：,.,1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点；,2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点；,若c-m 0, 而cn = 0 (n-m), 则称z0为f(z)的m级极点,2.分类,由Laurent级数中负幂项的个数来分

2、类,.,3).若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。,判别： (1)如果z0为f(z)的可去奇点,(2) z0为f(z)的极点,(3) z0为f(z) 的本性奇点：,.,二. 零点与极点的关系,(1)定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (zz0)m(z),其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整数, 则称z0为f(z)的m级零点.,(2)性质,(a)如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点,f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, , m1), f (m)(z0) 0.,.,例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：,.,.,

3、三. 函数在无穷远点的性态,(1)分类:,则称为f(z)的孤立奇点.,令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点.,我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点,(m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z),的可去奇点(m级极点, 本性奇点).,若f(z)在z = 的去心邻域R|z|+内解析,.,(2)判定,若f(z)在R|z|+内解析, 则在此圆环内有,(*),.,.,关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。,.,例2. z = 是,的可去奇点.

4、,z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.,.,四 .留数,.,无穷远点处的留数,.,留数计算法：,.,2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式,的系数 中可能有一个或几个为零而已，这不影响证明结果。,.,例3 求下列函数的奇点并计算留数：,.,.,例如：,0 |z1| +,所以z = 1是f(z)的本性奇点, 且Resf(z), 1 = c-1 = 0.,思考：,可去奇点留数是否必为零？,留数为零的(有限远奇点)是否一定是可去奇点？,故Resf(z), = 10.,.,五.留数定理,设函数f(z)在区域D

5、内除去有限个孤立奇点z1, z2, , zn外处处解析, L是D内包围诸奇点的任意一 条逆时针简单闭曲线, 则,由复合闭路定理,可得,留数定理1,利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分， 转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的 留数。,.,如果函数f(z)在扩充复平面内除去有限个孤立奇 点外处处解析, 那么f(z)在所有奇点(包括点)的 留数的总和等于零.,留数定理2,.,利用留数计算复积分,.,.,六 . 用留数计算某些实积分,其中zk (k=1,2,n)为f(z)在|z|1内的孤立奇点.,.,例6. 计算,其中a 0且a 1.,.,注: 若R(cosx, sinx)为x的偶函数, 则,仍然可令z