第2章 单自由度线性振动.ppt

1、1,第一节 概述 第二节 单自由度系统的自由振动 第三节 单自由度系统的受迫振动 第四节 单自由度系统振动分析实例,第二章 单自由度线性振动,2,第一节 概述,许多机械系统的振动都可以简化为单自由度或多自由度系统，而多自由度振动经过适当的处理，也可以转化为单自由度系统振动的叠加。所以，单自由度系统振动是整个振动理论的基础。,单自由度系统：在简化模型中，振动体的位置或形状只需用一独立坐标来描述的系统称为单自由度系统。,图为我国返回式卫星的搭载桶正在进行振动试验,工程实际问题的可简化为单自由度系统,4,一、无阻尼自由振动 如图所示为单自由度振动系统模型，其中m为质量，k为弹簧刚度,第二节 单自由度

2、系统的自由振动,线性恢复力,线性恢复力,5,由于不存在阻尼则自由振动方程：,（1）,其解为：,（2）,式中为固有圆频率（单位rad/s）：,（3）,代入边界条件其解为：,6,f 称为系统的频率，单位为赫兹（Hz）：,（4）,T为振动的周期（单位s）,（5）,系统的固有频率只与系统的固有物理参数有关，是反映系统刚性和共振特性的重要参数。当质量不变时，加大弹簧刚度可使固有频率提高；当系统刚度不变时，减轻质量可使系统固有频率提高。,7,式中,（7）,（8）,单自由度系统解也可表示为,（6）,A称力振幅；j称为初相位，单位为孤度（rad），由初始条件确定， 设振动物体具有初位移 和初速度,8,结论：

3、(1)单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数或统称为谐波函数表示的，故称为简谐振动; (2)自由振动的角频率即系统的自然频率仅由系统本身的参数所确定，而与外界激励、初始条件等均无关; (3)无阻尼自由振动的周期为 (4)自由振动的振幅X和初相角由初始条件所确定。 (5)单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动。,9,承受集中载荷的简支梁如图所示。梁的跨度l350，截面尺寸如图所示（图中单位为mm）。材料为铝，弹性模量为E7104MPa，密度为2700kg/m3。设有一重物G12400N从h2.5cm高处落下，落于跨矩的中点。求梁的固有频率和最大动挠度。,单自由度无阻尼系统例题1,10,由

4、图可算出截面积，从而可算出梁自身的重量为251N，可忽略不计。重物可视为一个集中的质量块，而梁则可视为一个没有质量的弹簧。则系统可视为一个单自由度振动系统。 根招材料力学可知，简支梁在重物作用下中点静挠度为,式中，I为粱的截面惯性矩，据图可算出I406cm4。由此式可得静变形为st0.755cm,梁的刚度为：,固有频率为：,11,重物与梁接触瞬间速度为,系统自由振动的振幅为,梁的最大挠度为,由此计算结果可以看出动挠度比静挠度大的多，动挠度与静挠度之比称为动力放大系数，用表示，此处,单自由度无阻尼系统例题2,基于单自由度系统，求解图示滑轮系统的固有频率，不计滑轮的质量和摩擦。,解：将图示滑轮系统

5、等效为单自由度。由于不计滑轮的质量和摩擦，故绳索中的拉力为常数，等于重物的重力mg。,作用于滑轮1向上的拉力为2mg，故滑轮1中心向上的位移为2mg/k1。作用于滑轮2向下的拉力为2mg，故滑轮2中心向下的位移为2mg/k2。,故质量快向下的位移为4(mg/k1 +mg/k2),依据定义可求得等效刚度为,滑轮系统的固有频率为,13,二、粘性阻尼的自由振动 物体表面间的摩擦力、周围介质的阻力、材料的内摩擦等，这类阻力通称为阻尼。在前面的讨论中，忽略了阻尼对振动的影响。实际上阻尼总是存在的。阻尼的性质可能很复杂，通常把它简化为所谓的粘性阻尼。粘性阻厄的特点是阻尼力的大小与速度成正比，阻尼力的方向与

6、速度相反。有阻尼自由振动的运动微分方程为,（1）,令,则式（1）化为,（2）,有阻尼自由振动方程为, 为衰减系数（c/2m）（单位：1/s）,其中c 为粘性阻尼系数 （单位kgs/cm）,这个二阶常系数微分方程的特征根为,（5）,（6）,设式（2）的解为,（3）,有阻尼自由振动方程的解,特征方程为,（4）,则式（2）的通解为,式中的C1和C2由初始条件确定,15,方程式（2）的解的性质即取决于这两个特征根。 引入无量纲量,（7）,称为阻尼比或相对阻尼系数。则特征根可写为,（1）大阻尼 当an或1且时称为大阻尼。此时特征根为两个不等的负实根。方程的解为,（5）,式中 。 此式所表示的运动是一个非

7、周期性的运动而不是一个振动。,有阻尼自由振动方程解的性质,根据特征根的取值分三种情况讨论。,（8）,16,（2）临界阻尼 当an或1且时称为临界阻尼。此时特征根为二重根。方程的解为,此式所表示的运动也是一个非周期性的运动。,（3）小阻尼 当an或1且时称为临界阻尼。此时特征根为共扼复根。令,（6）,此时方程的解为,（7）,式中之待定系数A1、 A2根据初始条件确定。设振动物体具有初位移x0和初速度 ，则系统对初始条件的响应力,17,（8）,也可写为,（9）,式中,这时系统的运动为周期性的振动。其振动圆频率为d，称为有阻尼振动的固有圆频率，它随时间成指数形式衰威。如图给出了这种衰减振动的响应曲线

8、。,18,(1) 振动周期变大， 频率减小。,当 时， 可以认为,有阻尼自由振动的特点,(2) 阻尼对振动形式影响。,有阻尼自由振动的特点,20,(3) 振幅按几何级数衰减,对数减缩率,相邻两次振幅之比,有阻尼自由振动的特点,锻锤砧板的质量为M=500kg，安装在基础上，基础的支承刚度为5106N/m,粘性阻尼系数为104N.s/m。锻造时，质量为m=100kg的锻锤由2m高处自由落体掉下，与砧板发生冲击，冲击前砧板静止，砧板与锻锤之间的冲击恢复系数为0.4。求砧板的响应，并分析其振动位移幅值何时小于0.1mm。,解：,有阻尼自由振动系统例题1,设锻锤冲击前后的速度为,设砧板冲击前后的速度为,

9、由动量定理得,由恢复系数得,得砧板的初始条件为,阻尼比为,有阻尼固有频率,砧板的位移响应为,22,质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。,解：,由于 很小，,有阻尼自由振动系统例题2,三、摩擦阻尼的自由振动,振动方程,方程的解,上述方程属于非线性微分方程，没有单一的解析解。但如果用 对应时刻把时间轴分段，则可写出其解析解。设初始条件为,在t=0时刻，质量块位于平衡点的右侧x0处，在弹簧力作用下，质量块由右向左运动，其运动方程为,（1）,（3）,该方程为二阶非齐次常微分方程，其通解为,（4）,（2）,由初始条件（2）可得：,（5

10、）,因此通解可写为：,（6）,其速度为：,（7）,当速度为0时， 质量块到达最左侧，完成了第一个半周期，这时质量块的位移为：,（8）,在第2个半周期中，质量块由左向右运动，其运动方程为：,（9）,该方程为二阶非齐次常微分方程，其通解为,（10）,由第2个半周期的初始条件可得：,（11）,因此通解可写为：,（12）,其速度为：,（13）,当速度为0时， 质量块到达最右侧，完成了第2个半周期，这时质量块的位移为：,在第3个半周期中，质量块由右向左运动，一致重复运动，直到弹簧恢复力小于摩擦力，即 ，这时运动的半周期数为,26,第三节 单自由度系统的受迫振动,一、简谐激振力作用下的受迫振动,的作用下系

11、统的运动方程为,或写为,式中,在简谐激振力,27,方程的通解为,式中积分常数C1、C2由初始条件来确定。,设特解具有下列形式：,将上式代人运动方程，可解得B1和B2，特解x2可进一步写为,有阻尼强迫振动微分方程为一个二阶常系数非齐次微分方程，其解为：,28,受迫振动的响应和激振力的相位差,方程的通解可写为,式中B强迫振动的振幅,式中 st静变形,频率比，激振力频率与固有频率之比,29,解的前一项代表有阻尼自由振动，随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下，它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B，相位差只与系统本身性质、激振力大小、频率有关，

12、与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。,30,则,称为放大因子或动力系数，它是频率比和阻尼比两个变量的函救。若将阻尼比视为参量，则可绘出对一系列值的曲线，如图a所示，幅频特性曲线。,稳态受迫振动的振幅的大小在工程技术上意义十分重耍，必须对它作深人的研究。令：,31,由上页图可以看出： 1）当n，即1时，1，Bst，此频率段称为准静态区。 2）当n，即 1时，1 / 2 0，此频率段称为惯性区。 3）当n，即 1时，动力系数迅速增大，阻尼对动力系数的影响最为显著。此频率段称为共振区（或阻尼区）。,（振幅共振曲线）,（速度共振曲线）,例题1 Francis水轮机示意图如图所示。已知转子的质量（不

13、计轴的质量）为250kg，其残余不平衡质径积5kgmm，假定转子轴上端部固定在轴承中。转子与定子之间的初始径向间隙为5mm，转子工作转速为6000r/min, 确定转子轴的直径，使转子在工作时不与定子相碰，不计阻尼。,解,该系统的振动方程为,不平衡力引起的振动位移幅值为,系统刚度系数,轴的设计,33,二、由基础运动所引起的受迫振动,在许多情况下，振动系统的受迫振动是由基础的运动所引起的。这种情况称位移激励。设基础的绝对位移为x(t)，质量块m的绝对位移为y(t)，如图所示。考察质量块M对基础的相对运动，则M的相对位移的(y-x)。其运动方程为：,34,35,例题1 某洗衣机质量为M2000kg

14、，由四个垂直的螺旋弹簧支承。每个弹簧的刚度由实验测定k830Ncm。另有四个阻厄器，总的相对阻尼系数0.15。可筒化为如图所示。洗衣机在初次脱水时以n300r/min运行。此时衣物的偏心质量为m13kg，偏心距为e50cm。试计算其垂直振幅。由于结构的对称性，在计算其垂直方向振幅时，可作为单自由度系统来处理。,解：偏心质量的离心惯性力在垂直方向的分量引起洗衣机机体在垂直方向上的受迫扳动，其振动方程为：,36,式中右边分子上的 为离心惯性力， 为激振力频率：,系统的四个弹簧为并联，总刚度为K4k3320N/cm，固有频率n为,频率比为,这说明此时超过共振点较远，不会发生共振。 振幅为,例题2 汽

15、车四分之一竖向振动模型如图所示。设汽车的质量为1200kg，悬架系统的刚度系数为k400kNm,相对阻尼系数0.5。若汽车行驶速度为20km/h，求汽车竖向振动的位移幅值。已知路面的起伏按正弦规律变化，幅值为0.05m，波长为6m。,解,基础激励的频率为,悬架系统的固有频率为,频率比为,振幅为,38,三、周期激振力作用下的受迫振动 在工程中，有许多激振力虽然不是按简谐规律变化的，但是具有周期性，如四冲程内燃机的爆发压力就是一例，解决这类问题的有效方法就是把周期性的激振力展开成傅里叶级数，然后利用叠加原理进行求解。,39,式中的a0、ak、bk为傅立叶系数，其表达式为,激振力F(t)进行傅立叶变

16、换：,也可写为,40,将激振力进行谐波分析以后，其中某阶分量的频率与系统的固有颇率最为接近，则该阶分量所唤起的响应最为显著。相比之下。离开固有频率越远的分量唤起的响应越小。在近似计算中可以略去。,则稳态响应可写为,式中,受迫振动方程为,c0相当于一个静载荷它不引起振动，只改变系统的平衡位置。 若令,41,上式也可写为：,四、在任意激振力作用下的强迫振动 一个有阻尼的单自由度系统在任意激振力的作用下，其运动微分方程为,任意激振力作用下的受迫振动响应，可看成是连续作用的一系列冲量对系统产生的动力反应之和。,卷积积分法求强迫响应,42,t=0时瞬时冲量作用,设系统在,时静止,瞬时冲量,产生的初速度,

17、初位移,系统的动力响应为,43,时瞬时冲量作用,的位移响应,任一时刻,微分冲量,微分冲量下系统的动力响应,Duhamel积分,积分可得位移响应,数值积分法求强迫响应,当激励无法表示为时间的解析函数时，可以采用数值积分法求强迫响应。如下图所示，用一系列的矩形脉冲逼近激励函数。脉冲Fj-1的大小取为tj时段中间的激励函数值。,系统在任意时间段tj-1t tj的响应可以通过将脉冲Fj-1的响应和t=tj-1的响应（初始条件）相加达到。,将t = tj代入上式和其导数式，即可得系统在时间段tj-1t tj结束时的位移与速度，即xj响和vj,作为下一时段初始条件。,45,作业,1. 用加速度计测得一弹簧质量系统在简谐振动时某点最大加速度为5g（ ）。已知系统的固有频率为25Hz。试求此系统的振幅和最大速度是多少?,2. 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。,3. 图示一刚性直杆，长为l，杆的一端铰支，另一端由一刚度为k的弹簧支承。在离铰支端为a处有一集中质量m，如忽略刚性杆的