2017大学一年级高等数学试题及答案

1、期末总复习题一、填空题rrrrrrrrrr。1、已知向量 aij2k ， b2ijk ，则 ab = -12、曲线 zx 2 绕 z 轴旋转所得曲面方程为 z=x2 + y 2。3、级数 n11的敛散性为发散。1 n3n、设L是上半圆周222），则曲线积分1=4xya （ y 02y2 dsaL x5交换二重积分的积分次序：022dx0f ( x, y)dy1dyf ( x, y)dx 11y1-x6级数1的和为1。1 n( nn1)二、选择题1、平面 (x1) 3y(z 1) 0 和平面 ( x2)( y 1)2z0的关系（ B）A、重合B、平行但不重合C、一般斜交D、垂直2. 下 列 曲

2、面 中 为 母 线 平 行 于 z 轴 的 柱 面 的 是（ C ）A、 x22z21 B 、 y22z21C 、 x 22 y21D 、 x 22 y2z213.设 D : x2y24( y 0) , 则x 3 ln( x 2y 21)（ A）x 2y21dxdyDA、 2B、0C、 1D、 44、设 D : x 2y24( y0) ，则dxdy （ A）DA、16B、 4C、 8D、 25、函数 z 50 x24 y2 在点（ 1，-2 ）处取得最大方向导数的方向是（ A）A、2i16 jB、2i16 jC 、2i16 jD、 2i16 j6、微分方程( y )2( y )2y20的阶数为

3、（ B）A、1B、2C、4D、67 下 列 表 达 式 中 ， 微 分 方 程 y4y 3 y 0 的 通 解 为（ D ）A、 y exe3xCB、 y exCe3xC、 y Cexe3 xD、 y C1 exC2 e3 x8 limun0为无穷级数u收敛的nnn 1（ B ）A、充要条件B、必要条件C 、充分条件D、什么也不是三、已知 a1， b3 ， ab ，求 ab 与 ab 的夹角 .P7解： abab0a b（ a2(103) 2b）a - b( a b) 2(1 0 3) 2(a b)(a b)1 32cos(ab)( ab)21a b a - b42120 O解：设平面方程为A

4、xByCzD0依题可得，- 2 AB3C0D 0又， ，A - 4 B 5C0n1 - 4 5故有： 47 x13 yz 0四、一平面垂直于平面x4y5z10 且过原点和点2,7,3 ，求该平面方程.（参考课本 P7 例题）五、设 zuev ,ux 2y2 ,vxy, 求 dz,z , z . P19xy解：由全微分方程的不 变性，得dzz duz dvuvevdu uevdvexyd ( x2y2 ) (x2y2 )exyd( xy)exy( 2xdx2ydy)( x2y2 )exy( ydxxdy)exy( 2x x2 y y3)dx exy (x32y xy2 )dy进而可得zxy23

5、，zxy( x32)xe (2x xy y )ye2 y xy六、求由 xyzsin z 所确定的函数 zz x, y的偏导数 z ,zxy解：由 xyzsin z得 xyz sin z0两边对 求偏导数得：coszzyzxyzxx0x解得： zyzxcos zxy两边对 求偏导数得：coszzxzxyzyy0y解得： zxzycos zxy七、求旋转抛物面 z2x22y2 在点 M 01,2 处的切平面和法线方程 .1,2解：令 f ( x, y)2 x22 y2 ,则：f x ( x, y)4 x, f y (x, y)4 y所以： n4 x,4 y,1 , nM 04,2,1故曲面在点

6、M 0 处的切面方程式为：4(x1)2( y1(z2)0)2即：2 y z304x法线方程式为： x1y1z22421即：x12 y1z244八、求函数 f x, yxysin( x2 y) 在点 P 0,0处沿从点 P 0,0到点 Q 1,2的方向的解：这里的方向 即向量PQ，的方向，1 2易知上单位向量01 ，2PQ55方向导数。又f x ( x, y) ycos(x2 y), f y ( x, y) x2 cos( x2 y)f x(0,0)1, f y (0,0)2故 ff x (0,0) ?1f x(0,0) ? 2( 0, 0)551? 12 ? 2555九、计算二重积分xydxd

7、y ，其中 D 是由 x 轴， y 轴与单位圆 x 2y 21在第一象D限所围的区域 .解：画出微积分区域D 的草图，如图所示，从D 的草图可判断D既是 X 型区域也是 Y 型区域，把 D 看成 Y 型区域，则先对x积分，后对 y积分，此时 D 可用不等式组表示： 1xy,1 y2y故x2y xdx121)dy9dsdydy 1( yy 3Dy1y y2116十、计算 ?yds ，其中 L 是顶点为 A 1,0， B 0,1 和 O 0,0 的三角形边界 .（参考LP79 例 2）解：AB, OB,OA的方程分别为：y1 x,0x1,x，0y1,0y0,0x1,则： ( xy)ds1x 1 x 1( 1) 2 dx0AB12dx20(xy)ds10)102 dx1( xxdxOA00( xy)ds1y)021dy1(0ydyOB00故得： ( xy)ds( xy)ds( xLOAAB1 ,21,2y)ds( x y)ds2 1OB十一、求微分方程 sin xcos ydxcos xsin ydy0 满足初始条件 y x 0的特解 .P1674解：将方程分离变量得：sin xsin ydy,将条件 y x0带入，cos xdx4cos y2 ,两边积分： sin x dxsin y dy,得： C2cos xcos y故所求方程的特解为：得： ln cos