一元一次不等式知识点及典型例题

1、 宿州市第二初级中学 陆连荣 一元一次不等式考点一、不等式的概念 （3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质 （35分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不

2、等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式 （6-8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组 （8分） 1、一元一次不等式组的

3、概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数

4、，不等号方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。知识点与典型基础例题 一 不等式的概念：例 判断下列各式是否是一元一次不等式？-x5 2x-y0 二 不等式的解 ： 三 不等式的解集：例 判断下列说法是否正确，为什么？ x=2是不等式x+32的解。 x=2是不等式3x7的解。 不等式3x7的解是x2。 x=3是不等式3x9的解 四 一元一次不等式：例判断下列各式是否是一元一次不等式例 五不等式的基本性质问题例1 指出下列各题中不等式的变形依据 1）由3a2得a 2) 由3+70

5、得a-7 3）由-5a- 4)由4a3a+1得a1例2 用”或”填空，并说明理由 如果aa x7 5x-1 2x+5ab b acab c cbab d c+by，求k的范围。如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。若|2a+3|2a+3,求a的范围。 若（a+1）xa+1的解是x1,求a的范围。若的解集为，求的取值范围。已知关于x的方程的解是非负数，是正整数，求的值。如果的整数解为、，求整数、的值。题型五求最小值问题 例 x取什么值时，代数式的值不小于的值，并求出x的最小值。题型六不等式解法的变式应用例 根据下列数量关系，列不等式并求解。 x的与x的2倍的和

6、是非负数。 c与4的和的30不大于-2。 x除以2的商加上2，至多为5。 a与b两数和的平方不可能大于3。例取何值时，（）（）的值是非负数？例取哪些非负整数时，的值不小于与的差。题型七解不定方程例求方程的正整数解。已知无解，求的取值范围。题型八比较两个代数式值的大小例已知，求与，与的大小关系题型九不等式组解的分类讨论例解关于的不等式组8、常见题型一、选择题在平面直角坐标系中，若点p(m3，m1)在第二象限，则m的取值范围为( )a1m3 bm3 cm dm 答案：a已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）a b c d答案：d四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为p、

7、q、r、s，如图3所示， 则他们的体重大小关系是（ d ）a、 b、 c、 d、把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）答案：c不等式的解集是（）答案：c若不等式组有实数解，则实数的取值范围是（ ）abcd 答案：a若，则的大小关系为（ ）abc d不能确定 答案：a不等式x50的解集在数轴上表示正确的是（）答案：b不等式的正整数解有( ) （a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个 答案：c把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） abcd答案：b不等式组，的解集是（ ） a b c d无解 答案：c不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）a b c

8、 d答案：d实数在数轴上对应的点如图所示，则，的大小关系正确的是（ ）abc d答案：d如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）aacbbbaccabcdcab答案：c不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） 答案：c把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图3中的（ ） a b c d答案：b用 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）答案：a不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）答案：a在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） 答案：a二、填空题已知3x+46+2(x-2),则 的最小

9、值等于_. 答案：1如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为 答案：不等式组的解集为 答案：不等式组的整数解的个数为 答案：46.已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是 答案：9.不等式组的解集是 答案：10直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 答案：-1 13.已知不等式组的解集为1x2，则(mn)2008_答案：1三、简答题解不等式组解：解不等式（1），得 解不等式（2），得原不等式组的解是 解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.解：解不等式x+10,得x-1 解不等式x，得x2 不等式得解集为-1x2 该不等式组的最大整数解是2 若不

10、等式组 的整数解是关于x的方程的根，求a的值。解：解不等式得，则整数解x=-2代入方程得a=4。解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x2；同理，若x对应点在2的左边，可得x3，故原方程的解是x=2或x=3参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为 （2）解不等式9；（3）若a对任意的x都成立，求a的取值范围解：（1）1或 （2）和的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与的两侧当在3的右边时，如图（2）， 易知 当在的左边时，如

11、图（2），易知 原不等式的解为或 （3）原问题转化为： 大于或等于最大值 当时，当，随的增大而减小，当时， 即的最大值为7 故解不等式组 并把解集表示在下面的数轴上. 解：的解集是： 的解集是： 所以原不等式的解集是：（3分）解集表示如图（5分）解不等式组解： 由不等式（1）得：5由不等式（2）得：3所以：5x3解不等式组：并判断是否满足该不等式组解：原不等式组的解集是：，满足该不等式组解不等式3x-27,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解解：3x-273x7+23x9x-5的解集如图所示，则m的值为（ ）a, 1 b, 0 c, -1 d, 3 2、不等式2x+1b，那么acbc 性

12、质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果ab，c0，那么acbc（或） 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果ab，c0，那么ac） 不等式的其他性质：若ab，则bb，bc，则ac；若ab，且ba，则a=b；若a0，则a=0 4一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向 5一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问

13、题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要例题解析 例1 解不等式x-5，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形 【解答】去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）15x-60 去括号，得8x-4-20x-215x-60 移项合并同类项，得-27x-54系数化为1，得x2在数轴上表示解集如图所示 【点评】分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；不等式

14、两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；在数轴上表示不等式的解集，当解集是x时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是xa或xa时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握 例2 若实数anm bmnp cnpm dmpn 【分析】本题主要考查代数式大小的比较有两种方法：其一，由于选项是确定的，我们可以用特值法，取a1内的任意值即可；其二，用作差法和不等式的传递性可得m，n，p的关系 【解答】方法一：取a=2，则m=2，n=，p=，由此知mpn，应选d 方法二：由a1知a-10 又m-p=a-=0，mp； p-n=

15、-=0，pn mpn，应选d 【点评】应用特值法来解题的条件是答案必须确定如，当a1时，a与2a-2的大小关系不确定，当1a2a-2；当a=2时，a=2a-2；当a2时，a0的解集是x2，则不等式-3x+n0，x，=2 即n=6 代入-3x+n0得：-3x+62 例4某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元甲乙价格/（万元/台） 7 5每台日产量/个10060 （1）按该公司要求可以有几种购买方案？ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那

16、么为了节约资金应选择哪种购买方案？ 【解析】（1）可设购买甲种机器x台，然后用x表示出购买甲，乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过24万元”列不等式求解 （2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案 解（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台，则 7x+5（6-x）34 解得x2 又x0 0x2 整数x=0，1，2 可得三种购买方案： 方案一：购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台 （2）列表如下：日生产量/个总购买资金/万元方案一 36

17、0 30方案二 400 32方案三 440 34 由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二 【点评】部分实际问题的解通常为整数；方案的各种情况可以用表格的形式表达 例5某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元 （1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童

18、装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？ （2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？ 【分析】（1）五月份工人加工的最少套数为15060%，若设平均每套奖励x元，则该工人的新工资为（200+15060%x），由题意得200+15060%x450； （2）六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，若设小张六月份加工了y套，则依题意可得200+5y1200 【解答】（1）设企业每套奖励x元，由题意得：200+60%150x450 解得：x2.78 因此，该企业每套至少应奖励2.78

19、元； （2）设小张在六月份加工y套，由题意得：200+5y1200， 解得y200 【点评】本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键强化训练一、填空题1若不等式ax1，则a的取值范围是_2不等式x+3x的负整数解是_3不等式5x-93（x+1）的解集是_4不等式4（x+1）6x-3的正整数解为_5已知3x+46+2（x-2），则x+1的最小值等于_6若不等式a（x-1）x-2a+1的解集为x0 bab0 ca+b013如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过a，b两点，则不等式kx+b0的解集是（ ）ax0 bx2 cx-3

20、d-3x的解集是x5 ba=5 ca-5 da=-515关于x的不等式2x-a-1的解集如图所示，则a的取值是（ ）a0 b-3 c-2 d-116初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ ） a2个 b3个 c4个 d5个17四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ） aprsq bqsprcspqr dsprq18某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：三好学生优秀学生干部优秀团员市级 3 2 3校级 1

21、8 6 12 已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为（ ） a3项 b4项 c5项 d6项三、解答题19解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来（1）； （2）x-320王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？21甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折

22、优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠设顾客预计累计购物x元（x300） （1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由22福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条 （1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？ （2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？23某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种

23、零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件 （1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式；（2）若要使每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？24足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问： （1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （2）这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？ （3）通过对比赛情况的分析，这支球队打

24、满14场比赛得分不低于29分，就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？25宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到550名，其中面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班学生由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？答案:1a0 2-5，-4，-3，-2，-13x6 41，2，3 51 6a100），就比在乙商场购物优惠，由题意得：100+0.8（x-100）150 答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠21（1）在

25、甲超市购物所付的费用是： 300+0.8（x-300）=（0.8x+60）元； 在乙超市购物所付的费用是： 200+0.85（x-200）=（0.85x+30）元 （2）当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600 当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；当0.8x+600.85x+30时，解得x300，300x600即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠； 当0.8x+60600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠22（1）设应安排x名工人制作衬衫，由题意得： 3x=5（24-x） x=15 24-x=24-15=9 答：应安排15名工人制作衬衫，9

26、名工人制作裤子 （2）设应安排y名工人制作衬衫，由题意得： 330y+516（24-y）2100 y18 答：至少应安排18名工人制作衬衫23（1）依题意，得 y=1506x+2605（20-x）=-400x+26000（0x20） （2）依题意得，-400x+2600024000 解得x5，20-x=20-5=15 答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适24（1）设这支球队胜x场，则平了（8-1-x）场， 依题意得：3x+（8-1-x）=17，解得x=5 答：前8场比赛中这支球队共胜了5场 （2）最高分即后面的比赛全胜，因此最高得分为： 17+3（14-8）=35（分） 答：这个球打完1

27、4场最高得分为35分 （3）设胜x场，平y场，总分不低于29分，可得17+3x+y29，3x+y12，x+y6 x，y为非负整数， x=4时，能保证不低于12分； x=3，y=3时，也能保证不低于12分所以，在以后的比赛中至少要胜3场才能有可能达到预期目标25设去年招收“宏志班”学生x名，普通班学生y名 由条件得： 将y=550-x代入不等式，可解得x100 于是（1+10%）x110， 答：今年最少可招收“宏志班”学生110名20102011学年度第二学期第一单元测试题一元一次不等式和一元一次不等式组班别：_学号：_姓名：_评分：_一填空题：（每小题2分，共20分）1若，则 ；（填“或=”号

28、）2若，则；（填“或=”号） 3不等式的解集是_；4当_时，代数式的值至少为1；5不等式的解集是_ _；6不等式的正整数解为： ；7若一次函数，当_ _时，；8的与12的差不小于6，用不等式表示为_9不等式组的整数解是_；10若关于的方程组的解满足，则p的取值范围是_；二选择题：（每小题3分，共30分）11若,则下列不等式中正确的是 （ ）（a） （b） （c） （d） 12在数轴上表示不等式的解集，正确的是 （ ）（a） （b） （c） （d）13已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为 （ ）（a） （b） （c） （d） 14不等式的非负整数解的个数为 （a） 1 （b） 2

29、 （c） 3 （d） 415下列不等式求解的结果，正确的是 （a）不等式组的解集是 （b）不等式组的解集是（c）不等式组无解 （d）不等式组的解集是16把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是图中的 （ ）17如图所示，天平右盘中的每个破码的质量都是1g，则物体 a的质量(g)的取值范围在数轴上：可表示为图111中的 （ ）18已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 （ ）（a） （b） （c） （d） 19一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 （ ）（a） （b） （c） （d） 20观察下列图像，可以得出不等式组的解集 （ ）（a） （b） （c） （d） 三解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（每小题6分，共24分）21 2223