3.4分式方程、无理方程和超越方程.ppt

1、分式方程、无理方程和超越方程,一、分式方程, 定义： 形如 的方程叫做分式方程， 、 、 、 其中均为多项式， 且 、 至少有一个不是常数。,解分式方程的基本思想： 分式方程 整式方程,步骤： 、将方程各项移到等号左边，使等号右边为零； 、将左边各项通分合并成一个分式； 、将分式化成既约分式； 、令所得既约分式的分子为零，解这个方程； 、检验，使分母为零的根为增根。,分式方程的有关同解定理：,定理1 如果分式方程 的左边是既约分式，那么方程 与整式方程 同解。,注：把一个分式方程 变形为以后，如果 和 互质，那么 的根必是原方程的根，不会出现增根。,定理2 对于方程 与方程 ,、在 ， ， ，

2、 都不为零时，方程与方程同解； 、使 与 都不为零，而使 与 都为零的值，是方程而不是方程的解； 、使 与 都为零，而使 与 都不为零的值，是方程而不是方程 的解。,注：在解分式方程时，如果使用合分比定理变形，在原方程和新方程的分母都不为零时，它们是同解的，在其他情况下，有可能遗根或增根。也就是说，如果新方程的分母有公共根，而公共根能使原方程各个分母都不等于零，那么这个公共根就是原方程的遗根；如果原方程的分母有公共根，而公共根能使新方程各个分母都不等于零，那么这个跟就是原方程的增根。,例1 解方程,解 将方程移项、通分整理得 约分，得 令分子为零得 ， 。 经检验， 是原方程的根， 是增根。,

3、例2 解方程,解 将方程右边展开经变形可得 令 ，代入上式，得 ， 解得 ， 。 由 ，解得 ， ；由 解得 ， 。它们都是原方程的解。,二、无理方程,定义： 形如 的方程叫做无理方程，其中 ， 至少有一个含有根式。,解无理方程的基本思想： 无理方程 有理方程,注：在变形时，通常采用在方程两边同次乘方，以消去方程中的根号。但在实数集上采用这一变形，通常产生增根，因此验根是解无理方程的一个必要步骤。,定理3 对于方程 两边同时n次乘方，有 那么方程的解一定是方程的解。,证 方程与方程可以分别变形为与它们同解的方程 与 由于方程又可以变形为 而方程与方程及方程 同解。 显然方程的解是方程的解，但不

4、一定是方程的解，而方程的解一定是方程的解，即方程的解一定是方程的解，反过来不一定是，也就是说，方程的解对方程来说可能是增根。,解无理方程的一般方法：乘方有理化,例3 解方程 解 两边立方，得到同解方程 整理变形后可得 ，即 由定理3得 或 由 解得 ，而后一方程在定义域 内，解 得 或 ，故原方程的为 ， ， 。,解无理方程的特殊方法：,1、利用算术根的定义 2、因式分解法 3、换元法 4、共轭因式法 5、应用合分比定理 6、三角代换法,三、超越方程,几种常见的超越方程,1、方程 变形为 因为同一底的幂相等，必须且只需它们的幂指数相等，所以有 故方程与方程是同解变形。,2、方程 变形为 因为在

5、方程的定义域内，有 由于同一底的对数相等，必须且只需它们的真数相等，所以得出的结论：在方程的定义域内，方程与方程同解。 同理，方程 与方程 在方程的定义域内是同解的。,3、方程 变形为 因为方程的定义域为 ， ， ， 而在这样的范围内， 恒成立，所以得出结论：在方程的定义域内，方程与方程同解。,例4 解方程 解 令 则 ，于是原方程为 解这个关于t的分式方程，得 ， 当m1时，原方程有两解 ； 当m=1时，原方程有解 ； 当m1时，原方程无解。,例5 解方程,解 利用换底公式化简原方程得 再化简得 令 ，即 ，解得 ， ， 也即 ， 。,经检验， ， ，是原方程的根。,总结：,中学我们学习的方程并无详细的分类，是一个统一的概念，现在，我们将方程分为了整式方程、分式方程、无理方程和超越方程四大类，这一节我们学习了分式方程、无理方程和超越方程，要学好这一节的内容，首先我们要了解方程的定义和性质，并与中学我们所学的方程进行比较，这样可以启发我们学习这一