高等数学（黄立宏）（第三版）习题七课后答案

1、高等数学（黄立宏）（第三版）习题七课后答案 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： a(1,2,3); b(-2,3,4); c(2,-3,-4); d(3,4,0); e(0,4,3); f(3,0,0). 解：点a在第卦限；点b在第卦限；点c在第卦限； 点d在xoy面上；点e在yoz面上；点f在x轴上. 2. xoy坐标面上的点的坐标有什么特点？yoz面上的呢？zox面上的呢？ 答: 在xoy面上的点，z=0; 在yoz面上的点，x=0; 在zox面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x

2、=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1）s?22?32?42?29 (2) s?22?(?3)2?(?4)2?29 (3) s?(1?2)2?(0?3)2?(3?4)2?67 (4) s?(?2?4)2?(1?2)2?(3?3)2?35. 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3

3、，0），（0，0，5）. 2?5 2故 s0?42?(?32)?5sx?(4?4)2?(?3?0)2?(5?0)2?34 sy?42?(?3?3)2?52?41 sz?42?(?3)2?(5?5)2?5. 6. 在z轴上，求与两点a（-4，1，7）和b（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为m（0，0，z），则 (?4)2?12?(7?z)2?32?52?(?2?z)2 解得 z?14 9 153 14）. 97. 试证：以三点a（4，1，9），b（10，-1，6），c（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|ab|=|ac|=7.且有 |ac|2+|ab|2=49+49=

4、98=|bc|2. 故abc为等腰直角三角形. 即所求点为m（0，0， 8. 验证：(a?b)?c?a?(b?c). 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设u?a?b?2c, v?a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解： 2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)?2a?2b?4c?3a?9b?3c ?5a?11b?7c10. 把abc的bc边分成五等份，设分点依次为d1，d2，d3，d4，再把各分点与a连接，试以ab?c，bc?a表示向量d1a,d2a,d3a和d4a. 1解：d1a?ba?bd1?c?a 52d2a?ba?bd2?c?a 53d3a

5、?ba?bd3?c?a 54d4a?ba?bd4?c?a. 511. 设向量om的模是4，它与投影轴的夹角是60，求这向量在该轴上的投影. 解：设m的投影为m?，则 1prjuom?omcos60?4?2. 212. 一向量的终点为点b（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点a的坐标. 解：设此向量的起点a的坐标a(x, y, z)，则 ab?4,?4,7?2?x,?1?y,7?z 154 解得x=-2, y=3, z=0 故a的坐标为a(-2, 3, 0). 13. 一向量的起点是p1（4，0，5），终点是p2（7，1，3），试求： （1） pp12在各坐标轴

6、上的投影； （2） pp12的模； （3） pp12的方向余弦； （4） pp12方向的单位向量. 解：（1）ax?prjxpp12?3, ay?prjypp 12?1, az?prjzpp12?2. (2) pp(7?4)2?(1?0)2?(3?5)2?14 12?(3) cos?axpp12?3 14 cos?aypp12azpp12?1 14?2. 14 cos?(4) e0?pp12pp12?31?2312,?i?j?k. 14141414141414. 三个力f1=(1,2,3), f2=(-2,3,-4), f3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力r的大 小和方向余弦. 解：

7、r=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4） |r|?22?12?42?21 cos?214, cos?, cos?. 21212115. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量 ea,eb,ec来表达向量a, b, c. 解：|a|?12?12?12?3 |b|?22?(?3)2?52?38 |c|?(?2)2?(?1)2?22?3 155 a?3ea, b?38eb, c?3ec. 16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

8、解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j. 17.解：设a?ax,ay,az则有 ?a?i cos?axa(?3a?i 求得ax?1. 2i1?, 1) 设a在xoy面上的投影向量为b则有b?ax,ay,0 2ax2?ay2 则cos? ?224a?b2ax?ay?a?b2? 则ay11 求得ay? 42222 又a?1,则ax?ay?az?1 112112 从而求得a?,?或,?,? 22222218. 已知两点m（5，-3），m（-2，5），点m在线段m1m2上，且m1m?3mm2，12

9、，23，求向径om的坐标. 解：设向径om=x, y, z m1m?x?2,y?5,z?3mm2?3?x,?2?y,5?z 因为，m1m?3mm2 11?x?4?x?2?3(3?x)?1?所以，?y?5?3(?2?y) ? ?y? 4?z?3?3(5?z)?z?3? 156 故om= 111,?,3. 4423619. 已知点p到点a（0，0，12）的距离是7，op的方向余弦是,，求点 777p的坐标. 解：设p的坐标为（x, y, z）, |pa|2?x2?y2?(z?12)2?49 得x2?y2?z2?95?24z cos?zx2?y2?z2?67 ? z5701?6, z2?49 又co

10、s?xx2?y2?z2?27 ? x2, x1901?2?49 cos?y3285x2?y2?z2?7 ? y1?3, y2?49 故点p的坐标为p（2，3，6）或p（19049,28549,57049）. 20. 已知a, b的夹角?23，且a?3,b?4，计算： (1) ab; (2) (3a-2b)(a + 2b). 解：（1）ab =cos?|a|?|b|?cos213?3?4?2?3?4?6 (2) (3a?2b?)a(?2b?)a3?a?6a?b?2b?a? 4b?b?3|a|2?4a?b?4|b|2 ?3?32?4?(?6)?4?16 ?61.21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算： （1）ab; (2) (2a-3b)(a + b)； （3）|a?b|2解：（1）a?b?4?6?(?2)?(?3)?4