高三数学数列总复习例题讲解

1、高三数学数列总复习例题讲解 数列专题复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。 如设an是等差数列，求证：以bn=等差数列。 2、等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。 如(1)等差数列an中，a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答： a1?a2?an n?n*为通项公式的数列bn为 n8?d?3） 3n(a1?an)n(n?1)d。 ，sn?na1?223151*如（

2、1）数列 an中，an?an?1?(n?2,n?n)，an?，前n项和sn?， 2223、等差数列的前n和：sn?则a1 ，n（答：a1?3，n?10）； （2）已知数列 an的前n项和sn?12n?n2，求数列|an|的前n项和tn（答： 2*?12n?n(n?6,n?n)tn?2）. *?n?12n?72(n?6,n?n)4、等差中项：若a,a,b成等差数列，则a叫做a与b的等差中项，且a?a?b。 2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及 sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2。（2）为

3、减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?， a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差为2d） 5、等差数列的性质： （1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和sn?na1?函数且常数项为0. 1 / 31 n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次222（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别

4、地，当m?n?2p时，则有 am?an?2ap. 如（1）等差数列an中，sn?18,an?an?1?an?2?3,s3?1，则n_（答：27）； (4) 若an、bn是等差数列，则kan、kan?pbn (k、p是非零常数)、 a?也成等差数列，而an成等比数列；若ansn,s2n?sn,s3n?s2n ，ap?nq(p,q?n*)、 是等比数列，且an?0，则lgan是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答： 225） （5）在等差数列an中，当项数为偶数2n时，s偶s奇?nd；项数为奇数2n?1时，；s奇：s偶?n:?n-1?。 s奇?s偶?

5、a中，s2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an） 如（1）在等差数列中，s1122，则a6_（答：2）； （2）项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. （6）若等差数列an、bn的前n和分别为an、bn，且 an?f(n)，则bnan(2n?1)ana2n?1?f(2n?1).如设an与bn是两个等差数列，它们的前n项和分bn(2n?1)bnb2n?1别为sn和tn，若 a6n?2sn3n?1，那么n?_（答：） ?8n?7bntn4n?3(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增 等差数

6、列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 ?an?0?an?0?确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于?或?an?1?0?an?1?0?n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?n*。上述两种 方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如（1）等差数列an中，a1?25，s9?s17，问此数列前多少项和最大？并求此最大 2 / 31 值。（答：前13项和最大，最大值为169）； （2）若an是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和 sn?0成

7、立的最大正整数n是 （答：4006） （3）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a1则（ ） 1?|a10|，sn是其前n项和，a、s1,s2b、s1,s2c、s1,s2d、s1,s2s10都小于0，s11,s12s19都小于0，s20,s21s5都小于0，s6,s7s20都小于0，s21,s22都大于0 都大于0 都大于0 都大于0 （答：b） (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm. 二、等比数列的有关概念： 1、等比数列的判断

8、方法：定义法 an?1?q(q为常数），其中q?0,an?0或anan?1a?n(n?2)。 anan?1如（1）一个等比数列an共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1为_（答：）；（2）数列an中，sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列bn是等比数列。 2、等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。 如等比数列an中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和sn126，求n和q.（答： 56n?6，q?1或2） 2a1(1?qn)a1?anq?3、等比数列的前n和：当q?1时，sn?na1；当q?1

9、时，sn?。 1?q1?q如（1）等比数列中，q2，s99=77，求a3?a6?a99（答：44）； （2） ?(?cn?1k?010nkn； )的值为_（答：2046） 3 / 31 特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。 4、等比中项：若a,a,b成等比数列，那么a叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个?ab。如已知两个正数 a,b(a?b)的等差中项为a，等比中项为b，则a与b的大

10、小关系为_（答：ab） 提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及 sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?， aaaa2q,a,aq,aq?（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为?,aq,aq3，?，23qqqq因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8

11、,16） 5.等比数列的性质： （1）当m?n?p?q时，则有aman?apaq，特别地，当m?n?2p时，则有 2aman?ap2. 如（1）在等比数列an中，a3?a8?124,a4a7?512，公比q是整数，则a10=_（答：512）； lg（2）各项均为正数的等比数列an中，若a5?a6?9，则o（答：10）。 31aolg?32a?olg?301a? (2) 若an是等比数列，则|an|、ap?nq(p,q?n)、kan成等比数列；若 *an成等比数列；则anbn、 若an是等比数列，且公比q?1，an、bn成等比数列， bn则数列sn,s2n?sn,s3n?s2n ，?也是等比数列

12、。当q?1，且n为偶数时，数列 sn,s2n?sn,s3n?s2n ，?是常数数列0，它不是等比数列. ?loagxn(n?n*)，且如（1）已知a?0且a?1，设数列xn满足logaxn?1?1 4 / 31 x1?x2?x100?100，则x101?x102?； ?x200? . （答：100a100） （2）在等比数列an中，sn为其前n项和，若s30?13s10,s10?s30?140，则s20的值为_（答：40） (3)若a1?0,q?1，则an为递增数列；若a1?0,q?1, 则an为递减数列；若则an为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则an为递增数列；若q?0，a1?0,0?

13、q?1 ， 则an为摆动数列；若q?1，则an为常数列. (4) 当q?1时，sn?a1naq?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，1?q1?q是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据sn，判断数列an是否为等比数列。 如若an是等比数列，且sn?3n?r，则r （答：1） (5) sm?n?sm?qmsn?sn?qnsm.如设等比数列an的公比为q，前n项和为sn，若sn?1,sn,sn?2成等差数列，则q的值为_（答：2） (6) 在等比数列an中，当项数为偶数2n时，s偶?qs奇；项数为奇数2n?1时， s奇?a1?qs偶. (7)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数