高中数学常用结论（新课标文科版）

1、高中数学常用结论（新课标文科版） 高中数学常用结论（文科版） 1.德摩根公式 cu(a?b)?cua?cub;cu(a?b)?cua?cub. 2.a?b?a?a?b?b?a?b?cub?cua?a?cub?cua?b?r 3. 若=a1,a2,a3?an,则的子集有2n个,真子集有(2n1)个,非空真子集有(2n2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 一般式f(x)?a2x?b?x(c?a0;) 顶点式 f(x)?a(x?h)?k(a?0);零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 213.若数列?an?是等差数列，sn是其前n项的和，k?n*，那么sk，s2k?sk，s3k?

2、s2k成等差数列。如下图所示： 3k?a1?a2?a3?ak?ak?1?a2k?a2k?1?a3k? ssks2k?sks3k?s2k5.设x1?x2?a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x1)?f(x2)?0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函数； ?0?f(x)在?a,b?上是减函数. 其前n项和公式 sn?n(a1?an)2?na1?n(n?1)2d?d2n?(a1?212d)n. 14.数列?an?是等差数列?an?kn?b,数列?an?是等差数列?sn=an2?bn

3、15.等比数列?an?的通项公式an?a1qn?1?等比数列?an?的变通项公式an?amqn?ma1qn*?q(n?n)； 设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数； 如果f?(x)?0，则f(x)为减函数. 6.函数y?f(x)的图象的对称性: 函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x) 函数y?f(x)的图象关于直x?a?b2 ?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1?其前n项的和公式sn?1?q或sn?1?q. ?na,q?1?na,q?1?1?116. 对于等比数列?an?，若n?m?u?v

4、(n,m,u,v为正整数)，则an?am?au?av 1n?a,a2,a3,?,an?2,an?1,an ?。如图所示：1?对称?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?x)?f(x). 也就是：a1?an1ma?a函数y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f(x)?f(2a?x) 函数y?f(x)的图象关于点(a,b)对称?f(x)?2b?f(2a?x) m?a2?an?1?a3?an?2a2?an?17.分数指数幂 an?a（a?0,m,n?n，且n?1）.a?bnm?mn?（a?0,m,n?n，且n?1）. ?17. 数列?an?是等比数列，sn是其前n项的和，k?n*，那么sk，s2

5、k列。如下图所示： 3k?a1?a2?a3?ak?ak?1?a2k?a2k?1?a3k? ?sk，s3k?s2k成等比数ans8. logan?b?a?n(a?0,a?1,n?0). logam?logan?logamn(a?0.a?1,m?0,n?0) logam?logan?logamn(a?0.a?1,m?0,n?0) logmnlogmasks2k?sks3k?s2k9.对数的换底公式 logan?对数恒等式alogan.推论 logabn?mnmlogab. 18. 同角三角函数的基本关系式 sin2?cos2?1，tan?=19. 正弦、余弦的诱导公式 sin?cos?， ?n（a

6、?0,a?1） n?1?s1,10.an?( 数列an的前n项的和为sn?a1?a2?an). s?s,n?2n?1?nnn?22n?n?(?1)sin?,n为偶数?(?1)cos?,n为偶数sin(?)?cos(?)? n?1n?122?22cos?,n为奇数sin?,n为奇数?(?1)?(?1)11.等差数列?an?的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?n*)； 12.等差数列?an?的变通项公式an?am?(n?m)d 对于等差数列?an?，若n?m?p?q，(m,n,p,q为正整数)则an?am?ap?aq。 即:奇变偶不变,符号看象限,如 cos(?2)?sin?,

7、sin(?2)?cos? sin(?)?sin?,cos(?)?cos?20. 和角与差角公式sin(?)?sin?cos?cos?sin?;cos(?)?cos?cos?sin?sin?; 第 1 页 共 4 页 高中数学常用结论（文科版） tan(?)?tan?tan?1?tan?tan?. ba31.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 ab?b=a ?x1y2?x2y1?0. ). a?b(a?0)?ab=0?x1x2?y1y2?0. ?32.若oa?xob?yobasin?bcos?=a2?b2sin(?)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定

8、,tan?21. 二倍角公式 sin2?2sin?cos?. cos2?cos?sin?2cos?1?1?2sin?cos?2则a,b,c共线的充要条件是x+y=1 2222.（升幂公式） 2tan?1?tan?233. 三角形的重心坐标公式 abc三个顶点的坐标分别为a(x1,y1)、b(x2,y2)、c(x3,y3), . 则abc的重心的坐标是g(34.常用不等式： （1）a,b?r?a2?b2?2ab(当且仅当ab时取“=”号) （2）a,b?r?a?b2?abx1?x2?x33,y1?y2?y33). 1?cos2?2,sin?21?cos2?2（降幂公式）tan2?22. 三函数的

9、周期公式 函数y?asin(?x?)，xr及函数y?acos(?x?)，xr(a,?为常数，且a0，0)的周期t?2?；若未说明大于0,则t?2,k?z2?|?| . (当且仅当ab时取“=”号) 21a?1b?ab?a?b2?a?b222函数y?tan(?x?)，x?k?23. (a,?为常数，且a0，0)的周期t?单调递减区间为 （3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).（4） 333(a?0,b?0) ?y?sinx的单调递增区间为?2k?,2k?k?z22?35.极值定理 已知x,y都是正数，则有 （1）如果积xy是定值p，那么当x?y时和x?y有最小值2p； （2）如果和

10、x?y是定值s，那么当x?y时积xy有最大值s2. 41?3?2k?,2k?k?z22?，对称轴为x?k?2(k?z),对称中心为?k?,0?(k?z) 24. y?cosx的单调递增区间为?2k?,2k?k?z单调递减区间为?2k?,2k?k?z， ?对称轴为x?k?(k?z),对称中心为?k?,0?(k?z) 2?36.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,?b2?4ac?0)，如果a与ax2?bx?c同号， k25. y?tanx的单调递增区间为?k?2,k?k?z2?，对称中心为(?,0)(k?z) 2则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号，则其解集在两根之间

11、.简言之：同号两根之外，异号两根之间. x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). 26. 正弦定理 asina22?bsinb2?csinc?2r 22222237.斜率公式 k?y2?y1x2?x1（p1(x1,y1)、p2(x2,y2)） b27. 余弦定理a?b?c?2bccosa;b?c?a?2cacosb; c?a?b?2abcosc. 28.面积定理（1）s?（2）s?12absinc?1212aha?12bhb?1212chc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c边上的高）. 直线的方向向量v=

12、(a,b),则直线的斜率为k=(a?0) a38.直线方程的五种形式: （1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点p1(x1,y1)，且斜率为k) （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). y?y1y2?y1?ybbcsina?casinb. 29.三角形内角和定理 在abc中，有 a?b?c?c?(a?b)?c2?2?a?b2?2c?2?2(a?b). （3）两点式 （4）截距式 xa?x?x1x2?x1(y1?y2)(p1(x1,y1)、p2(x2,y2) (x1?x2). 30.平面两点间的距离公式 ?da,b=|ab|?ab?ab?1(a,b分别为x轴y轴上的

13、截距,且a?0,b?0) (x2?x1)?(y2?y1)(a(x1,y1)，b(x2,y2). 22（5）一般式 ax?by?c?0(其中a、b不同时为0). 第 2 页 共 4 页 高中数学常用结论（文科版） 39.两条直线的平行和垂直 （1）若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 l1?l2?k1?k2,b1?b2;l1?l2?k1k2?1. (2)若l1:a1x?b1y?c1?0,l2:a2x?b2y?c2?0, l1?l2?a1b2?a2b1?0且a1c2?a2c1?0；l1?l2?a1a2?b1b2?0； 40.点到直线的距离 d?|ax0?by0?c|a?b2247. p

14、(x0,y0)是抛物线y2?2px上的一点,f是它的焦点,则|pf|=x0+48.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 ab?(x1?x2)2?(y1?y2)2或 ab?|x1?x2|1?k2p2 ?a?y?kx?b2 消去y得1?k（弦端点a(x1,y1),b(x2,y2)，由方程?f(x,y)?0?y?kx?b?f(x,y)?0(点p(x0,y0),直线l：ax?by?c?0). 到ax2?bx?c?0，?0,k为直线的斜率）. 若（弦端点a(x1,y1),b(x2,y2)由方程?线的斜率）.则ab?|y1?y2|1?1k43241.两条平行线的间距离 d?|c2?c1|a?b22 消去x得到ay

15、2?by?c?0，?0,k为直 1k2(直线l1：ax?by?c1?0,l2ax?by?c2?0,c1?c2). ?a1? 42. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r. 22249.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab?存在实数使a=b 22（2）圆的一般方程 x?y?dx?ey?f?0(d?e?4f0). 2250.球的半径是r，则其体积是v?r,其表面积是s?4?r2v锥?313sh,v柱?sh （3）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0 (圆的直径的端点是a(x1,y1)、b(x2,y2). 43.圆中有关重要

16、结论: (1)若p(x0,y0)是圆x2?y2?r2上的点,则过点p(x0,y0)的切线方程为xx0?yy0?r2 (2)若p(x0,y0)是圆(x?a)?(y?b)?r上的点,则过点p(x0,y0)的切线方程为 222251.判定两线平行的方法：（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（5）在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 52.判定线面平行的方法：（1）据定义：如果一条直线和一个平面没有

17、公共点（2）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（3）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（4）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面（5）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 53.判定面面平行的方法：（1）定义：没有公共点（2）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（3）垂直于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平面的两个平面平行 54.面面平行的性质：（1）两平行平面没有公共点（2）两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面（3）两平行平面被第三个平面所截

18、，则两交线平行（4）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 55.判定两线垂直的方法：（1）定义：成90?角（2）直线和平面垂直，则该线与平面内任一 (x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r (3) 若p(x0,y0)是圆x2?y2?r2外一点,由p(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为a,b 则直线ab的方程为xx0?yy0?r2 (4) 若p(x0,y0)是圆(x?a)2?(y?b)2?r2外一点, 由p(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为a,b则直线ab的方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r 244.双曲线双曲线 xbxa2222?y

19、a22yb2222?1(a?0,b?0)的准线方程为x?aa22c ?xa?1(a?0,b?0)的准线方程为y?yb22c baab245. 双曲线双曲线 xb22?ya22?1(a?0,b?0)的渐近线方程为y?x p(x?,y?)，其中 y?2?2px?. 直线垂直（3）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（4）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直（5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 56.判定线面垂直的方法：（1）定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面（4）一条直线垂直于两个平行平 第 3 页 共 4 页 ?1(a?0,b?0)的的渐近线方程为y?y?2x46.抛物线y2?2px上的动点可设为p(2p,y?)或p(2pt,2pt)或高中数学常用结论（文科版） 面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（5）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（6）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 57.判定面面垂直的方法：（1）定义：两面成直二面角,则两面垂直（2）