百度云盘-工程信号处理-201503-傅立叶变换_h

1、第三讲傅立叶变换第三讲提纲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT) 连续时间信号的采样及采样定理离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 2连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)n 连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)n 连续时间信号的采样及采样定理n 离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)n 连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)第三讲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)连续周期信号的傅立叶级数,。在满周期信号 x(t) ,周期为T足狄氏条件时，可展成x(t) = a0 + an cos(nw0t )

2、 + bn sin (nw0t )n=1称为三角形式的傅里叶级数，其系数= 1T= 2T= 2TT /2ax(t) d t直流分量0-T /2T /2x(t) cos(nw t )d ta余弦分量的幅度n0-T /2T /2x(t) sin(nw t )d tb正弦分量的幅度n0-T /2上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 4基波角频率为 w0 = 2pT第三讲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)连续周期信号的傅立叶级数的狄义赫利(Dirichlet)条件n 根据高等数学的知识，我们知道，满足“狄义赫利(Dirichlet) 条件”的任何周期函数可以展成“正交函

3、数线性组合”的无穷级数-傅立叶级数n (1)同一个周期内n (2)同一个周期内n (3)同一个周期内间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号“绝对可积”t0 +Ttx(t) d t 0上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 5第三讲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)连续周期信号的傅立叶级数(例)n 求周期锯齿波的傅里叶级数展开式x (t )A/2T2 -TA t T t T x(t) =2 T2t-2T21T2TATT22TAa=t d t = 0t cos(nw0t )d t = 0Tan =0T2T2-2w0=T2AA()wTb=(-1)n+1n =

4、1,2,3t sinntd t TT2n0n-上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 6x (t ) = 0 + A sin w t -A sin 2w t -020 直流基波谐波 第三讲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)n 用三角函数表示周期锯齿波n Matlab程序演示x (t ) = 0 + A sin w t -A sin 2w t -002n 吉布斯现象 Gibbs phenomenonn 吉布斯现象Gibbs phenomenon(又叫吉布斯效应)： 将具有不连续点的周期函数(如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所

5、合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这种现象称为吉布斯现象。 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 7第三讲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)连续周期信号的傅立叶级数-复指数形式a(e-inw0t+ einw0t )()w t=acosnnn02iq= cosq i sinqeib ()()w t=inw tinw t- en2eb sinn000n+ ibn= anc= ac-n002a- ib c= c*=nn-nn2x(t)e1TT /2inw t-c =d t0n-T /2上海交

6、通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 8x(t) = c+ ce-inw0t + c einw0t0-nnn=1n=1= c einw0tn =- 2, -1, 01, 2nn=-x(t) = a0 + an cos(nw0t ) + bn sin (nw0t )n=1第三讲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)n (例)周期方波信号x(t)n 一个周期内x(t)表达式x(t)-T 2 t -0.5-0.5 t 0.50.5 t T20x(t) = 1t0周期方波信号时域波形sin nw0= 1T2T /2x(t)e-inw 0td t =(n =- 2, -1,01,

7、2c)nw Tn _ square2-T /20离散谱，谱线 nw0上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 9w= 2p0TTc= 2sin nw0nnw201-T-0.5 O0.5T第三讲连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)n (例)周期三角波信号x(t)x(t)n 一个周期内x(t)表达式1-T 2 t -1-1 t 1 1 t 0)fw()p/ 2f(w) = - tan-1(w )aX (w) = x(t)e-iwtdt-o 1a +iw-iw-at=dt =tee-p/20相位谱上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 18第三讲

8、连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)n (例)矩形方波信号x(t)x(t)- t -0.5-0.5 t 0.5 0.5 t 0X (w) = x(t)e-iwtdtx(t) = 1-sin(w / 2) (w / 2)0=矩形方波信号n (例)三角波信号x(t)x(t)1-X (w) =x(t)e-iwtdt-T2 t -1-1 t 1 1 t t / 2tttOt-22w) =x(t)e-iwt dtX (- X (w) = sin(wt / 2)w /2 2pto4pt= t sin(wt / 2) = t sinc(wt / 2)wt /2上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室201

9、5年9月25日星期五 20第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)x(t)e-iwt d t = X (w)FT的基本性质FTx(t) =-FTax1(t) + bx2 (t) = aX1(w) + bX2 (w)n 线性性质- jwtFTx(t - t0 ) = e0 X (w)X (-w) = X*(w)n 时移性质n 共轭对称性n 尺度变换性质n 时域卷积性质n 时域微分性质n 时域积分性质上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 21第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)X (w )a1FT的尺度变换性质n 证明+FTx(t) = X (w)FTx(

10、at) =a- jwt1+FTx(at) = x(at)e- jwtdt =x(t )ea dt| a |- j wt 1 X (w ) 1 | a |+x(t )edt =a| a |a-n 意义(1) 0 a 1(3) a = -1时域压缩，频域扩展x(t ) x(-t ),X (w) X (-w)上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 22第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)FT的尺度变换性质x(t)中的压缩(扩展)等于频域中的扩展(压缩)2X (2)频域压缩x(t/2)2tt展t20ttptpt-1 X()2频域扩展2t20-4p4p-t/4t/4t

11、0tt上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 23时域压缩 1x (2t)1时域扩 t0-1-t O2第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)FT的基本性质wwb1=- jFTx(at - b)X ()ean 带有尺度变换的时移特性aaFT x(t)e jw0t =X (ww )n 频移特性0X (w)X (w - w0 )X (w +w0 )w0-w0wwwOOO上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 24第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)FT的基本性质n 对偶性FTx(t) = X (w)FTX (t) = 2p x(-

12、w)x(t) = 1+X (w)edwjwt2p-变量替换+pw) =X (t)e jwtdt2x(-+p-wX (t)e- jwtdt) =2x(-上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 25第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)冲激函数和直流信号的FTX (w )x(t)d (t )e- jw td t = 11-(1)d (t) 1wOtOX (t )2px(w)2p- ed t = 2pd (w)- jw t11 2pd(w)tOwO上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 26第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)若x

13、(t)为偶函数，则时域和频域完全对称X (w)x(t)12p2ptt-0-t /2t/20tX (t)2p- 2tpt0t上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 272p2p x(w)t0-2t2第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)FT的基本性质n 时域微分性质 1 2pX (w)e jwtdw d 1 2p jwX (w)ejwtdwx(t) =x(t) =dt- FTx1(t) * x2 (t) = X1(w)X2 (w)n 时域卷积性质x (t ) x (t -t )dte- jwtdt- -FTx (t) * x (t) = 卷积定义 交换积分次序

14、时移性质1212x (t )x(t -t )e- jwtdtdt-=12-x (t ) X (w)e- jwtdt-=12= X1(w)X2 (w)上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 28FT dx(t) = jw X (w)dt第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)n FT的基本性质n 频域卷积性质x (t ) x(t )e- jwtdt-FTx (t) x (t) =1212X(u )e jutdu x1(t )e- jwtdt- 2p -= 傅里叶逆变换121(u)(t )e- j (w -u )tdt du2p -=Xx 交换积分次序12-1-X(

15、u)X(w -u)du=p1221X (w) * X(w)=2p12上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 29傅里叶变换卷积定义 FTx (t) x (t) =1X (w) * X(w) 122p12第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)符号函数的FT+1,t 0t 0w 0w 00w 0第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)n 解析信号瞬时幅值、瞬时相位、瞬时频率a (t) = x(t) + jx(t) = A (t)e jfx (t )xxn 瞬时幅值A (t) =x2 (t) + x2 (t)xn 瞬时相位x (t)tan-1(x(t) / x(

16、t)n 瞬时频率wx (t) = fx (t) = dfx (t) / dt上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 37第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)wm wcn 例：幅值调制信号x(t) = m(t)cos(wct) = (Ac + Am sin(wmt)cos(wct)+ Asin(wt)e jwcta (t) = x(t) + jx(t) = A (t)e jfx (t )= (Axxcmmwx (t)wc上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 38第三讲连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)n 例：频率调制信号x(t

17、) = Accos(wct + Am sin(wmt)Amwm ，可将采样矩形脉冲串p(t)近似为冲激函数串pd(t)，采样输出信号则近似为输入的连续时间信号xa(t)与冲激函数串pd(t)的乘积：xa (t) = xa (t) pd (t)xa (t)t0pd(t)pd (t)t0Ts3Ts2Tsxa (t)x(t)= x (t)d (t - nT )atas0n=-上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 43第三讲连续时间信号的采样及采样定理pd(t) pd (t) x (t) = x (t) p(t)n 采样信号的频谱daat0Ts 2Ts3Tsn 冲激函数串

18、pd(t)是一个周期函数(周期Ts)，可用付氏级数展开： cd (t - nT )=eimwstpd (t) =smn=-m=- 1Ts eimwstm=-pd (t) =上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 44Ts / 2c=p(t)e-imwstdtmT-Ts / 2ds= 1 Ts / 2 d (t)e-imwstdt = 1Ts-Ts /2Ts 基频是采样频率ws=2p/Ts第三讲连续时间信号的采样及采样定理n 采样信号的频谱n 将冲激函数串pd(t)级数表达式带入 xa (t) 傅立叶变换公式：+X (w) = FTx (t) =-x (t) p(t)

19、e- jwtdtdaaa 1 1+-eimwste- jwtdt =(t)e- j (w -mws )tdt=x (t)xaaTTm=-m=-ssn 采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，重复周期为ws(采样频率)+Xa (w) = FTxa(t) =xa (t)e- jwtdt-上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 45X (w) = 1 X(w-mw )aTass m=-第三讲连续时间信号的采样及采样定理Xa (w)n 采样信号的频谱w采样信号的频谱是原连续信号的频谱以ws为周期，进行周期性延拓而成如右图例，设连续信号xa(t)是带限信号，最高截止频率为wc

20、，采样频-wc0wcPd(w)w-ww0ssX a (w)w-w率为w 。当w w/2时，ccscsw 2-w02作周期延拓时会发生频域的“混叠”现象，导sswX()a致Xa (w)与Xa (w)周期内不相等在一个w0wsc上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月252日星期五 46X (w) = 1 X (w-mw )aTass m=-采样频率为wsxa(t)的截止频率为wc第三讲连续时间信号的采样及采样定理n 采样定理n 要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于ws2wmax信号最高频率的两倍n 实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高

21、频率wmax更大些，(35) wmax如wsn 同时，为避免高于ws /2(折叠频率)的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器(抗混叠滤波)，阻止高于ws /2频率分量进入上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 47第三讲连续时间信号的采样及采样定理n 一些典型的数字信号处理系统的上限频率w=2p f上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 48应用系统 上限频率 fmax采样频率 f s地质勘探 500Hz1-2 kHz生物医学 1kHz2-4 kHz机械振动 2kHz4-10 kHz语音 4kHz8-1

22、6 kHz音乐 20kHz40-96 kHz视频 4MHz8-10 MHz离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)n 连续周期时间信号的傅立叶变换(FS)n 连续非周期时间信号的傅立叶变换(FT)n 连续时间信号的采样及采样定理n 离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)第三讲离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)n 采样信号的频谱n 表达形式1+ xa (t) = xa (t) pd (t)1Ts+xa (t) ew) =- jwtimw t- jwtdt =(xa (t) pd (t)e edtsa- m=- 1 1+m=-m=-(t)e- j (w -mws )tdt =X(w-mw )=xaas

23、TTssn 表达形式2+ X (w) =-x (t)d (t - nTs ) e- jwt dtaa n=-()d (t - nT )x (t)e- jwtdt= -(nT )e- jwnT sx=saasn=-n=-上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 50xa (t) = xa (t)d (t - nTs )n=-第三讲离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)=Ts=1fsn 采样频率归一化x(n)xa (t)xa (t)xa (t)nt0231Ts2Ts 3TsXD (w)X a (w)ww-pp-2p2p-ws -wswsws0/ 2/ 20X (w) = x

24、(w) = x(n)e- jwnn=-(nT )e- jwnTsXaasDn=-上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 51频率轴归一化时间轴归一化第三讲离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)n 离散时间信号傅立叶变换(DTFT)的定义X (w) = x(n)e- jwnn DTFT的特点n=-n X(w)是w的连续函数n X(w)是w的周期函数，周期为2pX (w) = X (w + 2p )n X(w)是w的复函数X (w) = ReX (w) + j ImX (w)n DTFT是z仅在单位圆取值的z变换j ImzX (w) = X (z) |jwz=eRez上海

25、交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 52推广0DTFTz 变换z = 1特例z平面 第三讲离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)n DTFT反变换XD(w)是w的连续，周期函数，可利用连续周期函数的傅立叶级数来求DTFT反变换： x(n)e- jwnjn0tc eX(w) =f (t) =nDn=-n=-1TT /2- jn0tc=f (t)ed tn-T /2上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 53DTFT反变换x(n) =1pX(w)e jwndw2p-pD= 20TDTFT连续周期函数的傅立叶级数第三讲离散时间信号的傅立叶变换(D

26、TFT)n DTFT的性质表 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室2015年9月25日星期五 54性质 时域 频域 线性 x(n) = ax1 (n) + bx2 (n)XD (w) = aXD1(w) + bXD2 (w)时移 y(n) = x(n - n0 )Y (w) = e- jwn0 X(w)DD频移 y(n) = e jw0n x(n)YD (w) = XD (w -w0 )时域卷积 y(n) = x(n)*h(n)YD (w) = XD (w)HD (w)频域卷积 y(n) = x(n)h(n)YD (w) = XD (w)* HD (w)=1 p X(q )H(w -q )dq 2p-pDDPar