专题：数列求和讲义.docx

1、专题：数列求和（一）主要知识：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式Sn（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. 3倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的4错位相减法：如果一个数

2、列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ，则两式错位相减并整理即得.5裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法（1），特别地当时，；（2），特别地当时，；（3）（4）（5）6分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也

3、不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.7并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如类型，可采用两项合并求解例如，. 易错提示利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误应用错位相减法求和时需注意：给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.主要方法：

4、1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和利例1.【2016北京文15】已知是等差数列，是等比数列，且，.（1）求的通项公式；（2）设 ，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.（2）由（1）知，.因此.从而数列的前项和. 已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n

5、项和解：(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn，记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn，故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.,练习求和： 思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：（1）当时，（2）当错位相减法求和的具体步骤步骤1写出Snc1c2cn；步骤2等式两边同乘以等比数列的公比q，即qSnqc1qc2qcn；步骤3两式错位相减转化成等比数列求和；步骤4两边同除以1q，

6、求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论 2(2015山东，18，12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n2时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n2时，bn31nlog33n1(n1)31n，所以T1b1；当n2时，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n

7、)(n1)31n(n1)31n，所以Tn.经检验，n1时也适合综上可得Tn. (2015湖北，18，12分)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)由题意有即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn，可得Tn23，故Tn6.用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项

8、例3.求和解: 【1-2】设为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式；（2）令， ，若对一切成立，求实数的最小值【答案】（1）（）；（2）5【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式，前n项和公式，列方程组求解即可；（2）采用裂项相消的方法求和，分析单调性即可求参数的范围.试题解析：（1）等差数列中， ， ，解得 ，（）（2），随着增大而增大，是递增数列，又， (2015安徽文，18，12分)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题设知a1a4a2a38，又a1

9、a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.,巩固练习：1求下列数列的前项和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：（1）（2），（3）（4）， 当时， 当时， ， ， 两式相减得 ，（5）， 原式（6）设， 又， ，2已知数列的通项，求其前项和解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ，所以，1(2012大纲全国，5，易)已知等差数列an的前n项和为S

10、n，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B. C. D.1A考向3由S55a3及S515得a33，d1，a11，ann，所以数列的前100项和T10011，故选A.2(2015江苏，11，中)设数列an满足a11，an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_2考向3【解析】a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，以上n1个式子相加得，ana1234n，a11，an123n，2，S1022.【答案】4(2016山东，18，12分，中)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和T

11、n.4考向2解：(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.6(2015四川，16，12分，中)设数列an(n1，2，3)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值6考向

12、1解：(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，所以q2.从而a22a1，a32a24a1，又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)所以a14a12(2a11)，解得a12.所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列故an2n.(2)由(1)得.所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1 000.因为295121 0001 024210，所以n10.于是使|Tn1|成立的n的最小值为10.1(2015山东青岛模拟，5)数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数n为()A120 B99 C11 D1211A考向3因为an，所

13、以a1a2an(1)()()110.即11，所以n1121，n120.2(2016山西大同模拟，12)已知数列an的通项公式为an(1)n(2n1)cos1(nN*)，其前n项和为Sn，则S60()A30 B60 C90 D1202D考向1由题意可得，当n4k3(kN*)时，ana4k31；当n4k2(kN*)时，ana4k268k；当n4k1(kN*)时，ana4k11；当n4k(kN*)时，ana4k8k.a4k3a4k2a4k1a4k8，S60815120.4(2016河南郑州一模，18，12分)已知等差数列an的各项均为正数，a11，且a3，a4，a11成等比数列(1)求an的通项公式

14、；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.4考向3解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意知d0，因为a3，a4，a11成等比数列，所以a3a11，所以(12d)(110d)，即44d236d450，所以d，所以an.(2)bn，所以Tn.5(2016山东临沂模拟，18，12分)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn.5考向1解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(nN*)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bnan2n13n2n1(nN*)(2)由(1)知bn3n2n1(nN*)所以Sn3(123n)(12222n1)3n(n1)2n1.所以数列bn的前n项和为Snn(n1)2n1.187（2012湖北高考理）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意得解