第七章-微分方程经典例题

1、第七章 微分方程例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度(水面与孔口中心间的距离)随时间的变化规律.解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔水面的高度由降至则 比较和得: 即为未知函数得微分方程. 所求规律为 例10 求解微分方程解 原方程变形为令则方程化为分离变量得两边积分得整理得 所求微分方程的解为 例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 旋转抛物面.解 设旋转轴轴，光源在 设为上任一点，为切线，斜率为为法线，斜率为 由夹角正切

2、公式得 得微分方程 令 方程化为 分离变量得令 得 积分得 即平方化简得 代回得 所求旋转轴为轴得旋转抛物面的方程为 例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽, 两岸为平行直线, 水流速度为, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为, 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程.解 设水流速度为鸭子游速为则鸭子实际运动速度为取坐标系如图，设在时刻鸭子位于点则鸭子运动速度故有现在而其中为与同方向的单位向量.由故于是由此得微分方程即 初始条件为令则代入上面的方程,得分离变量得 积分得即故将初始条件代入上式得故所求迹线方程为一、一阶线性微分方程形如 (3.1)的方程称

3、为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. 当方程(3.1)成为 (3.2)这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解 (3.3)其中为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数变易为待定函数，并设一阶非齐次方程通解为 一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为 (3.5)二、伯努利方程：形如 (3.7)的方程称为伯努利方程，其中为常数，且. 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以，得或 于是，令，就得到

4、关于变量的一阶线性方程.利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解例5（E03）求方程的通解.解 当将看作的函数时，方程变为这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将看作的函数，方程改写为则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为分离变量，并积分得即其中为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为代入原方程,得积分得 故原方程的通解为，其中为任意常数.例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出.

5、 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？解 令是在时刻罐中的添加剂的总量. 易知. 在时刻罐中的溶液的总量 因此，添加剂流出的速率为 添加剂流入的速率，得到微分方程 即 于是，所求通解为由确定C，得 ，故初值问题的解是，所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是 g.注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的变化率=化学品进入的速率化学品离开的速率.例10

6、（E06） 求方程的通解.解 令则于是得到伯努利方程令上式即变为一阶线性方程其通解为 回代原变量，即得到题设方程的通解例11（E07）求解微分方程 解 令则利用分离变量法解得 将代回，得所求通解为 二、型这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是：令 则，原方程化为以为未知函数的一阶微分方程，设其通解为然后再根据关系式 又得到一个一阶微分方程对它进行积分，即可得到原方程的通解三、型这种方程的特点是不显含自变量x. 解决的方法是：把暂时看作自变量，并作变换 于是，由复合函数的求导法则有这样就将原方程就化为这是一个关于变量y、p的一阶微分方程. 设它的通解为这是可分离变量的方程，对其积分即得到

7、原方程的通解例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.解 设绳索的最低点为取轴通过点铅直向上，并取轴水平向右，且等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为考察绳索上点到另一点间的一段弧设其长为假定绳索的线密度为则弧的重量为由于绳索是柔软的，因而在点处的张力沿水平的切线方向，其大小设为在点处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为其大小为(如图).因作用于弧段的外力相互平衡，把作用于弧段上的力沿铅直及水平两方向解得 两式相除得 由于代入上式即得 将上式两端对求导，便得满足得微分方程 (1)取原点到点的距离为定值即则初始条

8、件为对方程(1)，设则代入并分离变量得： 由得 即 将条件代入上式，得 于是该绳索的曲线方程为 这曲线叫做悬链线.型二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换, 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次

9、方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程 (5.10)其中在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程的通解已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具有形如 (5.11)的特解, 其中是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.降阶法例2（E01）已知是方程的一个解, 试求方程的通解.解 作变换则有代入题设方程，并注意到是题设方程的解,有将代入，并整理,得故所求通解为常数变易法例3（E02）求方程的通解.解 先求对应的齐次方程的通解.由 即 从而得到对应齐次方程的通解 为求非齐次方程的一个解将换成待定

10、函数设则根据常数变易法，满足下列方程组 积分并取其一个原函数得 于是，题设原方程得一个特解为 从而题设方程的通解为 例4（E03）求方程的通解.解 因为易见题设方程对应的齐次方程的一特解为由刘维尔公式求出该方程的另一特解从而对应齐次方程的通解为可设题设方程的一个特解为由常数变易法, 满足下列方程组积分并取其一个原函数得于是，题设方程的通解为 内容要点 一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 (6.1)特征方程 (6.2)称特征方程的两个根为特征根.这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.二、 n阶常系数齐次线性微分方程的解法阶常系数齐次线性微分方程的一般

11、形式为 (6.6)其特征方程为 (6.7) 根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:注: n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到阶常系数齐次线性微分方程的通解为例8（E05）求方程的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程不是特征方程的根，故设代入辅助方程得取实部得到所求非齐次方程的一个特解:所求非齐次方程的通解为例11 已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解, 试确定常数与及该方程的通解.解 将已知方程的特解改写为因对应齐次方程的解应是型的,如是对应齐次方程的解,

12、 也可能是，因原方程的自由项是而或是原非齐次方程的解,故也是对应齐次方程的解(即也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为即于是得将代入方程得原方程的通解为 内容要点 形如 的方程称为欧拉方程, 其中为常数.欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同.作变量替换 或 将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(8.1)化为以t为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t换为lnx, 即得到原方程的解. 如果采用记号D表示对自变量t求导的运算 则上述结果可以写为 ，一般地，有. 例3 设有方程 求由此方程所确定的函数解 将方程两边对求导，整理后

13、得且有这是欧拉方程,令或将它化为常系数非齐次线性微分方程其通解为故原方程的通解为由初始条件可求得故由题设方程确定的函数为例1（E01）求解微分方程组 解 由(2)得 (3)把(3)代入(1),得这是一个二阶常系数线性微分方程,易求出它的通解为 (4)将上式代入(3),得 (5)联立(4),(5)即得所求方程组的通解.例3（E03）解微分方程组 解 记则方程组可写成设法消去变量为此作如下运算:得 (3)得，即 (4)方程(4)对应的齐次方程的特征方程为特征根为又易求得方程(4)一个特解为故方程(1)的通解为 (5)将其代入方程(3),可得 (6)联立(5),(6)即得所求方程组的通解.追迹问题例

14、3（E03）设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速向正北行走；甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到. 解 设所求追迹曲线方程为经过时刻甲在追迹曲线上的点为乙在点于是 (1) 由题设，曲线的弧长为 解出代入(1)，得 整理得 追迹问题的数学模型设则方程化为 或 两边积分，得 即 将初始条件代入上式，得于是 (2)两边同乘并化简得 (3)(2)式与(3)式相加得 两边积分得 代入初始条件得故所求追迹曲线为甲追到乙时，即点的横坐标此时即乙行走至离点个单位距离时被甲追到.例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力). 解 取连结地球中心与该物体的直线为轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点(如图).设地球的半径为物体的质量为物体开始下落时与地球中心的距离为在时刻物体所在位置为于是速度为由万有引力定律得微分方程 即 其中为地球的质量，为引力常数.因为当时， (取负号是因此时加速度的方向与轴的方向相反). 代入得到初始条件为 先求物体到达地面时的速度. 由得代入并分离变量得 把初始条件代入上式