近世代数复习提纲

1、近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）；（4）；（5）；。3、元素的阶使成立的最小正整数叫做元素的阶，记作；若这样的正整数不存在，则称的阶是无限的，记作。（1）。（2）若，则；由可得。（3）当群是有限群时，有且。（4），其中。证明 设。因为，所以。另一方面，因为，所以，从而，又，所以，故。注：1 ，但若，且，则有（P70.3）。2 ；但。例1 令，则关于普通乘法作成群。显然，1是的单位元，所以，有，但。二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，

2、叫做无限群。3、变换群：集合上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合上的变换群。（1）变换群的单位元是的恒等变换。（2）的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成上最大的变换群。（3）一般地，变换群不是交换群。（4）任一个群都与一个变换群同构。4、置换群：有限集合上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例2 设是中元素，求。解 （1）元集合的所有置换作成的置换群，叫做次对称群，记作。（2）。（3）每个元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。（4）。（5）任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群：若群中存在元素，使得，则称是循环群。（1）

3、循环群是交换群（P61.1）。（2）素数阶群是循环群（P70.1）。（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。（4）当时，； 当时，。（5）（6）当时，有且仅有两个生成元； 当时，有且仅有个生成元，这里表示小于且与互素的正整数个数。且当时，是的生成元。（7）若与同态，则1也是循环群；2 当时，；3 的阶整除的阶。例3（P79、3）三、子群1、定义：设是群的非空子集，若关于的于是也构成群，则称是的子群，记作。2、等价条件（1）群的非空子集是子群，有 ，有（2）群的非空有限子集是子群，有。3、运算（1）若，则（可推广到任意多个情形）。（2）若，则未必是的子群。（3）若，则未必是的子群。（4）若，则

4、不是的子群。4、陪集设，则的子集叫做的包含的左陪集；的子集叫做的包含的右陪集。（1）一般地，。（2）；。（3）。（4）。（5）是的一个分类，也是的一个分类。即，且（当时）或，且（当时）5、指数：群的子群的左陪集（右陪集）个数叫做的指数，记作。当时，有。6、不变子群设是群的子群，若，都有，则称是的不变子群，记作。群的子群是不变子群，有 ，有。例4（P74、1）例5（P74、3）1不变子群的交是不变子群。2交换群的子群是不变子群。3群的中心是的不变子群。4设且有一个是不变子群，则。7、商群 设，令，定义则它是的代数运算，叫做陪集的乘法。关于陪集的乘法作成群，叫做关于的商群。当时，有。四、群同态 设

5、是群到的同态满射，则1、也是群；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、。注：若，则映射是到的同态满射，叫做自然同态。环论部分一、基本概念1、环的定义设是一个非空集合，“”与“。”分别是加法与乘法运算，若（1）关于“”作成交换群（叫做加群）；（2）关于“。”封闭；（3），有；（4），有则称关于“”与“。”作成环。2、基本性质（1），；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）当是交换环时，有。3、环的几种基本类型 设是环（1）交换环：，有。例6（P89.2）（2）有单位元环：存在，使得，有。（3）无零因子环：，当时，。注：无零因子环的特征：无零因子环中的非零元关于加法

6、的阶，叫做的特征。1 无零因子环的特征，或是或是素数；2 当无零因子环的元素个数有限时，的特征整除。（4）整环：有单位元无零因子的交换环。（5）除环：有单位元，且非零元都有逆元。（6）域：交换的除环。二、两类特殊的环1、模剩余类环：。（1）是有单位元的交换环，且是的单位元；（2），则不是零因子；（3）无零因子是素数；（4），则不是零因子是可逆元；（5）是域是素数。2、多项式环：。例7（P109.2）三、理想1、定义：设是环的非空子集，若（1），有；（2），有。则称是环的理想子环，简称理想。注：1 理想一定是子环，但子环不一定是理想。2 环的中心是子环，但未必是理想。2、运算（1）若是环的理想，

7、则也是环的理想（可推广到任意多个情形）。（2）若是环的理想，则未必是环的理想。（3）若是环的理想，则也是环的理想。（4）若是环的理想，则不是环的理想。3、生成理想：设环的一个非空子集，则的所有包含的理想的交仍是的理想，这个理想叫做由的理想，记作。（1）是的包含的最小理想。（2）当时，记，叫做由生成的主理想。1 当是交换环时，；2 当是有单位元环时，；3 当是有单位元的交换环环时，。（3），记。且有例8（P113.例3）例9（P114.3）4、最大理想：设是环的理想，且。若包含的环的理想，只有与，则称是环的最大理想（极大理想）。（1）环的理想是最大理想 当的理想适合时，必有或。（2）环的理想是最大理想 商环只有平凡理想。（3）设是有单位元的交换环，则的理想是最大理想 商环是域。例10（P119.1）已知：。求证：是域。证明：因为是有单位元的交换环，所以，存在使得所以，由此可见，当奇偶性相同时，同为偶