与四边形、三角形、相似有关的动态问题

1、与四边形、三角形、相似有关的动态问题-作者 : _-日期 : _三角形，四边形，圆与相似相关的动态问题1（ 8 分）如图，已知 e o 的半径为 6cm，射线 pm 经过点 o ， op10cm ，射线 pn 与 e o 相切于点 q a，b 两点同时从点 p 出发，点 a 以 5cm/s 的速度沿射线 pm 方向运动，点 b 以 4cm/s的速度沿射线 pn 方向运动设运动时间为t s（ 1）求 pq 的长；n（ 2）当 t 为何值时，直线 ab 与 e o 相切？qbp aom3 如图 10，平行四边形 abcd 中， ab5，bc10， bc 边上的高 am=4， e 为 bc 边上的一

2、个动点（不与 b、 c 重合）过 e 作直线 ab 的垂线，垂足为f fe 与 dc 的延长线相交于点g，连结 de，df （1） 求证：bef ceg（2） 当点 e 在线段 bc 上运动时， bef 和 ceg 的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设 bex， def 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时 ,y 有最大值，最大值是多少？4.如图，平面直角坐标系中，的圆心（圆心坐标为）在轴上，半径为，直线为 y=2x-2 ，若沿轴向右运动，当与有公共点时，点移动的最大距离是（）2、 5、5、35 已知：在矩形 aobc 中， ob 4 ， oa

3、3分别以ob，oa 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系f 是边 bc上的一个动点（不与 b，c 重合），过 f 点的反比例函数k0) 的图象与y(kxac 边交于点 e （ 1）求证： aoe 与 bof 的面积相等；（ 2）记 ssoefs ecf ，求当 k 为何值时， s 有最大值，最大值为多少？（ 3）请探索：是否存在这样的点f ，使得将 cef 沿 ef 对折后， c 点恰好落在 ob 上？若存在，求出点f 的坐标；若不存在，请说明理由6（本题满分 9 分）（ 1）如图 7，点 o 是线段 ad 的中点，分别以 ao 和 do为边在线段 ad 的同侧作等边三角

4、形oab 和等边三角形 ocd，连结 ac和 bd ，相交于点 e，连结 bc求 aeb 的大小；3cbbceedoaoad图 7图 8（ 2）如图 8， oab 固定不动，保持ocd 的形状和大小不变，将ocd 绕着点 o 旋转（ oab 和 ocd 不能重叠），求 aeb 的大小 .7 如图，在边长为4 的正方形abcd中，点p 在 ab 上从 a 向 b 运动，连接dp交 ac于点q。（1）试证明：无论点p 运动到 ab上何处时，都有 adq abq；（2）当点 p 在 ab上运动到什么位置时，adq的面积是正方形abcd面积的 1 ；6（ 3）若点 p 从点 a 运动到点 b，再继续在

5、 bc上运动到点 c，在整个运动过程中，当点 p 运动到什么位置时， adq恰为等腰三角形。48 如图，在 abc 中，点 o 是 ac 边上的一个动点，过点o 作直线 mnbc，a设 mn 交 bca 的角平分线于点e，交 bca 的外角平分线于点f（ 1）求证： eo=fo；meof n（ 2）当点 o 运动到何处时，四边形 aecf 是矩形？ b( 第19题图）c并证明你的结论9 小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线 ca 剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），其中 acb ，然后将这两张三角形纸片按如图 3 所示的位置摆放， efd 纸片的直角顶点 d 落在 acb 纸片的斜边 ac

6、上，直角边 df 落在 ac所在的直线上 .（ 1） 若 ed 与 bc 相交于点 g ，取 ag 的中点 m ，连接 mb 、 md ，当efd纸片沿 ca 方向平移时（如图 3），请你观察、测量 mb 、 md 的长度，猜想并写出 mb 与 md 的数量关系，然后证明你的猜想；（ 2） 在（ 1）的条件下，求出bmd 的大小（用含的式子表示），并说明当 45 时， bmd 是什么三角形？（ 3） 在图 3 的基础上，将efd 纸片绕点 c 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于 90），此时cgd 变成 chd ，同样取 ah 的中点 m ，连接mb 、 md （如图 4），请继续探究 mb

7、与 md 的数量关系和bmd 的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，bmd 为等边三角形 .da fdabcbce5图 1图 2aamdmdcbgbcfefhe图 4图 310如图 1，正方形 abcd 和正三角形 efg 的边长都为 1，点 e，f 分别在线段ab，ad 上滑动，设点 g 到 cd 的距离为x ，到 bc 的距离为 y ，记hef 为（当点 e， f 分别与 b， a 重合时，记0o ）（ 1）当0o时（如图 2所示），求，的值（结果保留根号）；x y（ 2）当为何值时，点 g 落在对角形 ac 上？请说出你的理由，并求出此时x，y 的值（结果保留根号）；（

8、3）请你补充完成下表（精确到0.01）：0o15o30o45o60o75o90ox0.0300.296y0.290.130.03（ 4）若将“点e，f 分别在线段 ab，ad 上滑动”改为“点e，f 分别在正方形abcd 边上滑动”当滑动一周时，请使用（ 3）的结果，在图 4中描出部分点后，勾画出点 g 运动所形成的大致图形（参考数据：h3，o62，o62 a0.966d）1.732 sin1540.259 sin 754hhhfad a(f)dadggecbcc b(e)bcb图 1图 2图 3图 412如图 1，四边形 abcd 是正方形， g 是 cd 边上的一个动点 (点 g 与 c、

9、 d不重合 )，以 cg 为一边在正方形 abcd 外作正方形 cefg，连结 bg，de我们探究下列图中线段bg、线段 de 的长度关系及所在直线的位置关系：（ 1）猜想如图 1 中线段 bg、线段 de 的长度关系及所在直线的位置关系；7将图 1 中的正方形 cefg 绕着点 c 按顺时针 (或逆时针 )方向旋转任意角度，得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立, 并选取图 2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图4 6），且 ab=a ，bc=b，ce=ka，cg=kb (ab，k0)，第 (1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立

10、，以图 5 为例简要说明理由（3）在第 (2)题图 5 中，连结 dg 、 be ，且 a=3，b=2，k= 1 ，求 be 2dg 2 的2值814 课堂上，老师将图 中 aob 绕 o 点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当 aob 旋转 90o 时，得到a1ob1 已知a(4，2) ， b(3，0) （ 1） a1ob1 的面积是；a1 点的坐标为（，）； b1点的坐标为（，）；（ 2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图中 aob 绕 ao 的中点c (2，1) 逆时针旋转 90o 得到 a o b ，设 o b 交 oa 于 d ， o a 交 x

11、轴于 e 此时 a ， o 和 b 的坐标分别为 (13)， ， (3， 1) 和 (3，2) ，且 o b 经过 b 点在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与 aob 重叠部分的面积不断变小，旋转到 90o 时重叠部分的面积（即四边形cebd 的面积）最小，求四边形cebd 的面积（ 3）在（ 2）的条件下， aob 外接圆的半径等于a1yyb1a (1,3)a(4， 2)b (3,2)da(4,2)11c1 o1b(3，0) x1 o1 e b(3,0 x11o )(3,-1)图图916如图甲，在 abc 中， acb 为锐角点 d 为射线 bc 上一动点，连接ad ，以 ad

12、 为一边且在 ad 的右侧作正方形adef 解答下列问题：（1）如果 ab=ac ， bac=90o当点 d 在线段 bc 上时（与点 b 不重合），如图乙，线段cf、bd之间的位置关系为，数量关系为当点 d 在线段 bc 的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？feaaaffb de cbdecbc d图甲图乙图丙第 16 题图（ 2）如果 ab ac ， bac 90o，点 d 在线段 bc 上运动试探究：当 abc 满足一个什么条件时， cf bc（点 c、 f 重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若 ac 4 2 ， bc=3，在（ 2）的条件下，设正

13、方形adef 的边de 与线段 cf 相交于点 p，求线段 cp 长的最大值1017（本题满分 8 分）如图所示， e o 的直径 ab=4，点 p 是 ab延长线上的一点，过 p 点作 e o的切线，切点为c，连结 ac.（ 1）若 cpa=30，求 pc的长；(2 ）若点 p 在 ab的延长线上运动， cpa的平分线交 ac于点 m.你认为 cmp的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；c若不变化，求出 cmp的大小 .maobp18. 两个全等的直角三角形abc 和 def 重叠在一起，其中 a=60，ac=1. 固定 abc 不动，将 def 进行如下操作：(1) 如图 11(1) ，

14、 def 沿线段 ab 向右平移 (即 d 点在线段 ab 内移动 )，连结 dc、cf、fb，四边形 cdbf 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积 .cfabed图 11(1)(2)如图 11(2)，当 d 点移到 ab 的中点时，请你猜想四边形cdbf 的形状，并 说明理由 .cfad图 11(2)be11(3)如图 11(3)， def 的 d 点固定在 ab 的中点，然后绕d 点按顺时针方向旋转 def，使 df 落在 ab 边上，此时 f 点恰好与 b 点重合，连结 ae，请你求出 sin 的值 .c(f)a(f)(e)bd图 11(3)e3.(2008 年永州 )

15、（ 10 分）如图，已知o 的直径 ab2，直线 m与o 相切于点 a， p 为o上一动点（与点 a、点 b 不重合）， po的延长线与o 相交于点 c，过点 c 的切线与直线 m相交于点 d（ 1）求证： apc cod（ 2）设 ap x， od y，试用含 x 的代数式表示 y（ 3）试探索 x 为何值时， acd 是一个等边三角形1(2008 年内江市 ) 如图，当四边形 pabn 的周长最小时， a1222.（2008 年湖北省宜昌市）如图，在rt abc 中， ab=ac ，p 是边 ab （含端点）上的动点，过p 作 bc 的垂线 pr，r 为垂足， prb 的平分线与 ab 相

16、交于点 s，在线段 rs 上存在一点 t，若以线段 pt 为一边作正方形ptef，其顶点 e、f 恰好分别在边 bc、ac 上 .（ 1） abc与 sbr是否相似？说明理由；（ 2）请你探索线段 ts与 pa的长度之间的关系；（ 3）设边 ab=1，当 p 在边 ab （含端点）上运动时，请你探索正方形 ptef 的面积 y 的最小值和最大值 .21. (2008 年东莞市)（本题满分 9 分）（ 1）如图 7，点 o 是线段 ad 的中点，分别以 ao 和 do 为边在线段 ad 的同侧作等边三角形oab 和等边三角形ocd，连结 ac 和 bd，相交于点 e，连结 bc求 aeb 的大小

17、；cbbceedoaoad图 7图 8（ 2）如图 8， oab 固定不动，保持ocd 的形状和大小不变，将ocd 绕着点 o 旋转（oab 和 ocd 不能重叠），求 aeb 的大小 .答案：13cbe513d426oa图 71. （2008 年泰安市） 1 如图，将边长为 1 的正三角形 oap 沿 x 轴正方向连续翻转 2008 次，点p依次落在点 p， p ， p，l， p的位置，则点 p的横坐标1y2320082008为pl lao1xp答案： 2008（第 19解析：由题意得：p1 的横坐标为 1， p2 的横坐标为 2，有一定的规律，横坐标每翻转一次，就增加1，所以点 p2008

18、 的横坐标为 2008。（ 2010哈尔滨）如图，在abc 中， acb 90，ac bc10，在dce 中，dce90，dcec6，点 d 在线段 ac 上，点 e 在线段 bc14的延长线上将 dce 绕点 c 旋转 60得到dce（点d 的对应点为点 d，点e 的对应点为点 e），连接ad 、be，过点 c 作 cn be，垂足为n，直线 cn 交线段 ad 于点m ，则 mn 的长为如图，已知 abc 是边长为 6cm 的等边三角形，动点p、q 同时从 a、 b 两点出发，分别沿 ab、bc 匀速运动，其中点p 运动的速度是 1cm/s，点 q 运动的速度是 2cm/s，当点 q 到达

19、点 c 时， p、q 两点都停止运动，设运动时间为t（ s），解答下列问题：（ 1）当 t2 时，判断 bpq 的形状，并说明理由；（ 2）设 bpq 的面积为 s（ cm2），求 s 与 t 的函数关系式；（ 3）作 qr/ba 交 ac 于点 r，连结 pr，当 t 为何值时， apr prq？1 （2008 年龙岩市） （ 14 分）如图，等腰梯形 abcd 中， ab=4，cd=9， c=60，动点 p 从点 c 出发沿 cd 方向向点 d 运动，动点 q同时以相同速度从点d 出发沿 da 方向向终点 a 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（ 1）求 ad 的长；

20、（ 2）设 cp=x，问当 x 为何值时 pdq的面积达到最大，并求出最大值；（ 3）探究：在 bc 边上是否存在点 m 使得四边形 pdqm 是菱形？若存在，请找出点 m，并求出 bm 的长；不存在，请说明理由 .15（第 25 题(2010 台州市 ) 22类比学习： 一动点沿着数轴向右平移3 个单位，再向左平移2 个单位，相当于向右平移1 个单位用实数加法表示为3+（ 2 ）=1若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移 b 个单位），则把有序数对 a，b 叫做这一平移的“平移量”；“

21、平移量”a，b 与“平移量”c， d 的加法运算法则为 a， b c， d ac， bd 解决问题： （ 1）计算： 3 ，1+1 ， 2 ；1 ， 2+3 ，1 （2）动点 p 从坐标原点 o 出发，先按照“平移量”3 ，1 平移到 a，再按照“平移量”1 ， 2 平移到 b；若先把动点 p 按照“平移量”1 ， 2 平移到 c，再按照“平移量”3 ， 1 平移，最后的位置还是点b 吗? 在图 1 中画出四边形 oabc.证明四边形 oabc 是平行四边形 .（ 3）如图 2，一艘船从码头o 出发，先航行到湖心岛码头p（2，3），再从码头 p 航行到码头 q（5，5），最后回到出发点 o.

22、请用“平移量”加法算式表示它的航行过程yyq（5, 5）1xp（2, 3）o 1xo图 1图 2（第 22 题）16解：（1）3 ， 1+1 ，2=4 ，3 2分1 ，2+3 ，1=4 ，3 2分 y（2）画 2分bc最后的位置仍是 b1分1a 明：由知， a （ 3， 1）， b(4，3)， c（ 1， 2）o 1xoc=ab= 122 2 = 5 ，oa=bc= 3212 = 10 ，四 形 oabc 是平行四 形3分（ 3） 2 ，3+3 ，2+-5 ，-5=0, 0 2分（2010 河南） 19（ 9 分）如 ，在梯形abcd 中， ad/bc，e 是 bc 的中点， ad=5， bc

23、=12， cd= 4 2 ， c=45，点p 是 bc 上一 点， pb 的长为 x（1）当 x 的 _ ，以点 p、a、d、 e 点的四 形 直角梯形；（2）当 x 的 _ ，以点 p、a、d、 e 点的四 形 平行四 形；（3）点 p 在 bc 上运 的 程中，以p、a、d、e 点的四 形能否构成菱形？ 明理由adbpec17(1)3 或 8(2) 1 或 11(3)由(2)可知，当 bp=11 时，以点 p、 a 、d、e 为顶点的四边形是平行四边形 ep=ad=5 过 d 作 dfbc 于 f，则 df=fc=4， fp=3 dp=5 ep=dp 故此时 pdae 是菱形即以点 p、

24、a 、d、e 为顶点的四边形能构成菱形。（ 2010广东中山） 22如图（ 1），（ 2）所示，矩形 abcd 的边长 ab=6，bc=4，点 f 在 dc 上， df=2。动点 m、n 分别从点 d、b 同时出发，沿射线da、线段 ba 向点 a 的方向运动（点m 可运动到 da 的延长线上），当动点 n 运动到点 a 时， m、n 两点同时停止运动。连接fm 、fn，当f、n、m 不在同一直线时，可得 fmn ，过 fmn 三边的中点作 pqw。设动点 m、 n 的速度都是 1个单位 /秒， m、n 运动的时间为 x 秒。试解答下列问题：（ 1）说明 fmn qwp；（ 2）设 0x4（即

25、 m 从 d 到 a 运动的时间段）。试问 x 为何值时， pqw为直角三角形？当 x 在何范围时， pqw 不为直角三角形？（ 3）问当 x 为何值时，线段 mn 最短？求此时 mn 的值。dfcdfcpwwpmqan 18baqnbm第 22 题图（ 1）第 22 题图（ 2）22、（ 1）提示： pq fn， pw mn qpw=pwf，pwf =mnf qpw= mnf同理可得： pqw=nfm 或pwq=nfmfmn qwp（ 2）当 x4 或 x 4 时， pqw 为直角三角形；3当 0x 4 ， 4 x 3 时，连结 cc，设四边形 acca 的面积为s，求 s 关于 t 的函数

26、关5系式；当线段 a c 与射线bb，有公共点时，求 t的取值范围 ( 写出答案即可 ) 1920（ 2010浙江湖州）25如图，已知在矩形 abcd 中， ab 2， bc 3， p 是线段ad 边上的任意一点（不含端点 a、d），连结 pc， 过点 p 作 pepc 交ab 于 e（ 1）在线段 ad 上是否存在不同于p 的点 q，使得 qcqe？若存在，求线段ap 与 aq 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（ 2）当点 p 在 ad 上运动时，对应的点e 也随之在 ab 上运动，求 be 的取值pad范围ebc第 25 题（此题没有给答案）24（2010 年山东省青岛市） 已知：把

27、 rt abc 和 rt def 按如图（ 1）摆放（点 c 与点 e 重合），点 b、c（ e）、 f 在同一条直线上 acb = edf = 90， def = 45 ，ac = 8 cm，bc = 6 cm， ef = 9 cm如图（ 2）， def 从图（ 1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿 cb 向 abc 匀速移动，在 def 移动的同时，点 p 从 abc 的顶点 b 出发，以 2 cm/s 的速度沿 ba 向点 a 匀速移动 .当 def 的顶点 d 移动到 ac 边上时， def 停止移动，点 p 也随之停止移动 de 与 ac 相交于点 q，连接 pq，设移动时间为 t

28、（s）（ 0t 4.5）解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 a 在线段 pq 的垂直平分线上？21（2）连接 pe，设四边形 apec 的面积为 y（ cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t，使面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由（3）是否存在某一时刻 t，使 p、q、 f 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由（图（ 3）供同学们做题使用）aaadpdqbc efbe cfbc图（ ）图（ 2）图（ 3）【关键词】（用圆珠笔或钢笔画【答案】 解：（ 1）点 a 在线段 pq 的垂直平分线上，图） ap =

29、aq. def = 45 ， acb = 90 ， def acb eqc = 180 ， eqc = 45 . def =eqc.ce = cq.由题意知： ce = t，bp =2 t， cq = t. aq = 8 t.在 rtabc 中，由勾股定理得： ab = 10 cm .则 ap = 102 t. 102 t = 8t.解得： t = 2.答：当 t = 2 s时，点 a 在线段 pq 的垂直平分线上 .（2）过 p 作 pmbe ，交 be 于 m， bmp90 .acpm在 rtabc 和 rtbpm 中， sin bbpab4 分ad，p pm8. pm = 8t .q2t

30、105bm ecfbc = 6 cm， ce = t， be = 6 t.图（ 2） bpe=1ac1be pm =118t y = sabcsbc26 86t= 4 t 22= 484 .22524 t 24t 32555540 ，抛物线开口向上 . a5当 t = 3 时， y最小=84.522答：当 t = 3s 时，四边形 apec 的面积最小，最小面积为84 cm2. 8 分5（3）假设存在某一时刻t，使点 p、 q、f 三点在同一条直线上 .过 p 作 pnac ，交 ac 于 n，aanpacbpnq 90 .panbac ， pan bac. pn ap an .bcabac

31、pn102tan .6108 pn 66 t ， an 88 t .55dpnqbe cf图（ 3） nq = aq an， nq = 8 t( 88 t ) = 3 t 55 acb = 90 ， b、c（e）、 f 在同一条直线上， qcf = 90 ， qcf = pnq. fqc = pqn， qcf qnp .663t pnnqt. 55.fccq9tt66t3 0 t59t5解得： t = 1.答：当 t = 1s，点 p、q、f 三点在同一条直线上 .25（ 2010 年门头沟区）已知，正方形abcd 中， man=45 , man 绕点a 顺时针旋转，它的两边分别交cb、dc（

32、或它们的延长线）于点m 、n，ah mn 于点 h（1）如图 ，当 man 绕点 a 旋转到 bm=dn 时，请你直接写出ah 与ab 的数量关系：；（2）如图 ，当 man 绕点 a 旋转到 bmdn 时，（ 1）中发现的 ah 与ab 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由如果成立请证明；23（3）如 ，已知 man=45 ，ah mn 于点 h，且 mh=2 ，nh=3 ，求ah 的 （可利用（ 2）得到的 ）ad【关 】正方形与旋 【答案】 解：（ 1）如 ah=ab .1分n（2）数量关系成立 .如 ，延 cb 至 e，使 be=dnhabcd 是正方形bmcab=ad ， d=

33、abe=90图 rtaeb rtand 3 分ae=an ， eab= nad eam= nam=45am=am aem anm .4 分ab 、ah 是 aem 和 anm 上的高，adab=ah . .5 分（3）如 分 沿 am 、an 翻折 amh 和anh ，得到 abm 和andbm=2 ， dn=3 ， b=d=bad=90nhebmc24分 延 bm 和 dn 交于点 c，得正方形 abce 由（ 2）可知， ah=ab=bc=cd=ad.设 ah=x ， mc= x 2 ,nc= x 3 在 rt mcn 中，由勾股定理，得amn 2mc 2nc 2d 52( x2)2( x

34、 3) 2 6 分解得 16,x21.（不符合 意，舍去）xhbnmah=6.7分c图 1.(2010 福建泉州市惠安 )如 ，正方形 abcd 的 是ab3cm，一个 1cm 的小正方形沿着正方形abcd 的边 ab bccddaab 地翻 ，那么 个小dc正方形第一次回到起始位置 ，它的方向是下 的第 7 题图（）abcd【关 】翻 ,旋 【答案】 a2.(2010 福建泉州市惠安 )如 ，已知直角梯形 abcd 中， ad bc， ab bc ， ad 2，ab 8，cd10(1)求梯形 abcd 的周 ；25(2)动点 p 从点 b 出发，以 1cm/s 的速度沿 b a dc 方向向点 c 运动；动点 q 从点 c 出发，以 1c