数系的扩充和复数的概念

1、数系的扩充和复数的概念,柏乡中学 赵慧超,一、创设情景，探究问题,联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？,自然数,整数,有理数,实数,负整数,分数,无理数,10:58,回忆数的扩充,1、在原有数集中某种运算不能进行,想一想：数系为什么要扩充？在扩充过程中什么是保持不变的？,2、原数集中的运算规则在新数集中得到了保留,思考？,上述方程在实数中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解？,二、合情推理，类比扩充,为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：,问题解决:,(2)实数可以与i 进行四

2、则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立.,(1) 1 ；,10:58,注：虚数单位i是瑞士数学家欧拉最早引用的，它取自imaginary(想象的，假想的)一词的词头.,由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具.,实际应用,1、下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？,10:58,说一说,2、这些数的形式有什么共同点？你能用一个式子来表示这些数吗？,定义：把形如a+bi的数叫做复数（a,b 是实数） 其中i叫做虚数单位,复数全体组成的集合叫复数集，记作C,10:58,1、复数的概念,自然数,整数,

3、有理数,实数,？,负整数,分数,无理数,数 系 的 扩 充,复数,虚数,10:58,10:58,2、复数代数形式,注：对于复数 以后不作特殊说明，都有,10:58,10:58,观察下列复数，你有什么发现？,= -1,1、复数z=a+bi,10:58,3、复数的分类,当b=0时，z是实数； 当b0时，z是虚数； 当a=0且b0时，z是纯虚数； 当a=0且b=0时，z是0,i不存在,i要存在,只有i,2、复数z=a+bi,10:58,3、即时训练 若m+(m-1)i为实数，则m=（ ） 若x+(2x-1)i为纯虚数，则x=（ ）,复数集与实数集、虚数集、纯虚数集 之间有什么关系？,10:58,想一

4、想,由上可知，实数集R时复数集C的真子集。,10:58,4、复数相等,注：两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。,若2-3i=a-3i,求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值； 3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。,10:58,即时训练：,虚数,例1、完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）,10:58,三、典例分析，巩固提升,例2、实数m取什么值时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数,解：（1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z是虚数,10:58,解：根据复数相等的定义，得方程组,得,10:58,例3、已知 ， 其中 , 求 与 .,四、当堂检测,1.以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的复数是 （ ） A. -2+3i B. 3-3i C. -3+3i D. 3+3i 2.若复数 是纯虚数，则实数 的值为( ) 3.复数 与复数 相等，则实数 的值为( )。,z = a + bi,(a,bR),复数的分类,当b=0时z为实数;,当b0时z为虚数；,当b0且a =0时z