控制系统的时域数学模型

1、封面,自动控制原理第二章电子讲稿,2-1控制系统的时域数学模型,1、线性元件的微分方程 2、控制系统微分方程的建立 3、线性系统的基本特性 4、线性定常微分方程的求解 5、非线性微分方程的线性化,数学模型：描述系统输入，输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,静态数学模型：变量的各阶导数为0。 动态数学模型：变量的各阶导数不为0。,分类,动态数学模型,微分方程 差分方程 状态方程 传递函数 结构图 频率特性,时域中常用,频域中用,复数域中用,建立数学模型的方法：解析法、实验法。,电阻、电容、电感(补充),R,C,L,u(t)= i (t)R,i(t)=,i(t)=,i(t)=,1、线性元

2、件的微分方程,RLC无源网络(P21),弹簧质量阻尼器(P22),电枢控制直流电机(P22),减速器(P23),两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同,（1）确定系统的输入变量和输出变量。,2、 控制系统微分方程的建立,一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出来 ，便可求出整个系统的微分方程。,列写系统微分方程的一般步骤：,根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。,（2）建立初始微分方程组。,将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。,（3）消除中间变量，将式子标准化。,速度控制系统(P24),ui,

3、R1,SM,TG,k1,k2,功,放,u2,u1,ua,ut,c,R2,R1,R1,R,+,位置随动系统原理图(补充),W1,负载,W2,放大器,电机,减速器,测速电机,方块图的绘制,位置随动系统结构图绘制,3、 线性系统的基本特性,叠加性和均匀性（或齐次性）,对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。,4、线性微分方程的求解,方法,解析法 拉普拉斯变换,步骤： 1、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程。 2、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表达式。 3、将输出的象函数表达式展开成

4、部分分式。 4、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程的全解。,r(t) =(t), c(0) = c(0) = 0,用一个例子来说明采用拉氏变换法解线性定常微分方程的方法。,4、线性微分方程式的求解,例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。,解：,将方程两边求拉氏变换得：,求拉氏反变换得：,s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s),R(s) = 1,c(t) = e t sin t,输出响应曲线,c(t),r(t),5、非线性微分方程的线性化,绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。,对每个系统都应研究其线性

5、特性和相应的线性工作范围。,线性系统具有叠加性和齐次性。,叠加性：,x1(t),y1(t),x2(t),则,y2(t),x1(t)+x2(t),y1(t)+y2(t),y=x2,二阶系统是非线性的,因为它不满足叠加性,齐次性：,为常数,x(t),y(t),则,x(t),y(t),y=mx+b,系统也不是线性的，因为它不满足齐次性。,y=mx+b,对在工作点(x0,y0)附近作小范围变化的变量x和y而言，则是线性的。,非线性系统,设,又,则,x=x0+x,y=y0+y,y0=mx0+b,y0+y=y=mx+b,=mx0+mx+b,y=mx,大部分非线性系统在一定的条件下可近似看成线性系统。,y(

6、t)=gx(t),线性化：,设非线性元件为:,系统的正常工作点为x0,有条件地把非线性数学模型近似处理成线性数学模型。,若非线性函数连续，且各阶导数存在，可在工作点附近按泰勒级数展开.,当(x- x0)小范围波动时，略去高于一次的小增量项，方程可简化为 ：,=y0+m(x-x0),m为工作点处的斜率。最后可改写成下列线性方程：,y=mx,(y-y0)=m(x-x0),或,非线性系统的线性化步骤,1）写出原始方程,2）将非线性函数线性化，并将增量符号略去，可得非线性函数的增量线性化方程。,3）将非线性函数的增量线性化方程代入原始方程。,解：,按泰勒级数展开为,略去高于一次的增量项得,例 将液位控制系统非线性微分方程线性化.,线性化处理中应注意以下几点：,（1）必须确定系统处于平衡状态时各部 件的工作点，在不同的工作点，非 线性曲线的斜率是不同的。,（2）线性化是以直线代替曲线，略去了 式中二阶以上项，如果系统工作范 围较大，将带来较大误差，所以非 线性数学模型的线性化是有条件的。,（3）对于某些典型非线性系统，其非 线性特性是不连续的，在不连续