初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)

初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题含解析一选择题（共8小题）1直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A6B8CD2下列说法中正确的是（）A已知A，B，C是三角形的三边，则A2B2C2B在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C在RTABC中，C90，所以A2B2C2D在RTABC中，B90，所以A2B2C23如图，是台阶的示意图已知每个台阶的宽度都是30CM，每个台阶的高度都是15CM，连接AB，则AB等于（）A195CMB200CMC205CMD210CM4如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A10尺B11尺C12尺D13尺5如图所示，在数轴上点A所表示的数为A，则A的值为（）A1B1CD16一架25米长的梯子底部距离墙脚07米，若梯子的顶端下滑04米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A15米B09米C08米D05米7在ABC中，ACB90，AC12，BC5，AMAC，BNBC，则MN的长为（）A2B26C3D48如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为A，较长直角边为B，那么（AB）2的值为（）A13B19C25D169二填空题（共5小题）9将一根24CM的筷子，置于底面直径为15CM，高8CM的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为HCM，则H的取值范围是10如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB2米，则树高为米11已知RTABC中，C90，AB14CM，C10CM，则RTABC的面积等于12观察下列勾股数第一组3211，421（11），521（11）1第二组5221，1222（21），1322（21）1第三组7231，2423（31），2523（31）1第四组9241，4024（41），4124（41）1观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是（只填数，不填等式）13观察下列一组数列举3、4、5，猜想3245；列举5、12、13，猜想521213；列举7、24、25，猜想722425；列举13、B、C，猜想132BC；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得B，C三解答题（共27小题）14A，B，C为三角形ABC的三边，且满足A2B2C233810A24B26C，试判别这个三角形的形状15如图四边形ABCD中，ABCB，CD，DA1，且ABCB于B试求（1）BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积16如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来17如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60方向走了100KM到达B点，然后再沿北偏西30方向走了100KM到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离18如图，在气象站台A的正西方向320KM的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20KM的速度沿北偏东60的BD方向移动，在距离台风中心200KM内的地方都要受到其影响（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长19如图，已知ABC中，B90，AB8CM，BC6CM，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1CM，点Q从点B开始BC方向运动，且速度为每秒2CM，它们同时出发；设出发的时间为T秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由20在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积这种方法叫做构图法（1）ABC的面积为（2）若DEF三边的长分别为、，请在图2的正方形网格中画出相应的DEF，并利用构图法求出它的面积为（3）如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RTABE和等腰RTACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13M2、25M2、36M2，则六边形花坛ABCDEF的面积是M221（1）在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积请你将ABC的面积直接填写在横线上思维拓展（2）已知ABC三边的长分别为A（A0），求这个三角形的面积我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法如图2，网格中每个小正方形的边长都是A，请在网格中画出相应的ABC，并求出它的面积类比创新（3）若ABC三边的长分别为（M0，N0，且MN），求出这个三角形的面积如图3，网格中每个小长方形长、宽都是M，N，请在网格中画出相应的ABC，用网格计算这个三角形的面积22有一只喜鹊在一棵3M高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24M的一棵大树上，大树高14M，且巢离树顶部1M当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5M/S，那它至少需要多少时间才能赶回巢中23（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性问题1以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究SS与S的关系（如图1）问题2以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究SS与S的关系（如图2）问题3以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究SS与S的关系（如图3）24如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在X轴、Y轴的正半轴上，且OAOB，另有两点C（A，B）和D（B，A）（A、B均大于0）；（1）连接OD、CD，求证ODC45；（2）连接CO、CB、CA，若CB1，C02，CA3，求OCB的度数；（3）若AB，在线段OA上有一点E，且AE3，CE5，AC7，求OCA的面积2511世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远26（1）先化简，再求值X（X2）（X1）（X1），其中X10（2）已知，求代数式（X1）24（X1）4的值（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB；画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长27问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；定理表述请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为A，B，斜边长为C的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；知识扩展利用图2中的直角梯形，我们可以证明，其证明步骤如下BCAB，AD又在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即28观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，BD90，且B，C，D在同一直线上试说明ACE90；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的新英格兰教育日志上），请你写出验证过程29超速行驶容易引发交通事故如图，某观测点设在到公路L的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO60，BPO45，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度（参考数据141，173）30中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度如图，OAOB，OA45海里，OB15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长31在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表M2334N1123A2212321232224232B461224C2212321232224232其中M、N为正整数，且MN（1）观察表格，当M2，N1时，此时对应的A、B、C的值能否为直角三角形三边的长说明你的理由（2）探究A，B，C与M、N之间的关系并用含M、N的代数式表示A，B，C（3）以A，B，C为边长的三角形是否一定为直角三角形如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例32如图1，在48的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒05个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为T（0T8）（1）请在48的网格纸图2中画出T为6秒时的线段PQ并求其长度；（2）当T为多少时PQB是以BP为底的等腰三角形33阅读下面的情景对话，然后解答问题（1）理解根据“奇异三角形”的定义，请你判断“等边三角形一定是奇异三角形”吗（填是或不是）若某三角形的三边长分别为1、2，则该三角形（是或不是）奇异三角形（2）探究若RTABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的长为，且这个直角三角形的三边之比为（从小到大排列，不得含有分母）（3）设问请提出一个和奇异三角形有关的问题（不用解答）34观察下列各式，你有什么发现3245，521213，722425，924041，用你的发现解决下列问题（1）填空112；（2）请用含字母N（N为正整数）的关系式表示出你发现的规律；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性35小明爸爸给小明出了一道题如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工过点B作一直线M（在山的旁边经过），过点C作一直线L与M相交于D点，经测量ABD130，D40，BD1000米，CD800米若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完36如图，把一块等腰直角三角形零件（ABC，其中ACB90），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知ADEBED90，测得AD5CM，BE7CM，求该三角形零件的面积37如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（ABD）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（DCBA）到A，速度为28厘米/秒5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时APQ的形状38一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB100海里若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由39明朝数学家程大位在他的著作算法统宗中写了一首计算秋千绳索长度的词西江月“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC1尺），将它往前推进两步（EB10尺），此时踏板升高离地五尺（BD5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度40如图，AOB90，OA45CM，OB15CM，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少1已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A12B7C12或7D以上都不对2图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）ABCD3如图，数轴上的点A所表示的数为X，则X的值为（）ABC2D24如图，带阴影的正方形面积是5如图，在RTABC中，BCA90，点D是BC上一点，ADBD，若AB8，BD5，则CD6正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图中，画一个面积为10的正方形；（2）在图、图中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题含解析参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1（2016秋吴江区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A6B8CD【分析】首先根据勾股定理，得斜边13再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高【解答】解由题意得，斜边为13所以斜边上的高12513故选D【点评】运用了勾股定理注意直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边2（2016春抚顺县期中）下列说法中正确的是（）A已知A，B，C是三角形的三边，则A2B2C2B在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C在RTABC中，C90，所以A2B2C2D在RTABC中，B90，所以A2B2C2【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项【解答】解在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角A、不确定C是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、C90，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、B90，所以斜边为B，所以A2C2B2，故本命题错误，即D选项错误；故选C【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和3（2016春临沭县期中）如图，是台阶的示意图已知每个台阶的宽度都是30CM，每个台阶的高度都是15CM，连接AB，则AB等于（）A195CMB200CMC205CMD210CM【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长【解答】解如图，由题意得AC15575CM，BC306180CM，故AB195CM故选A【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大4（2015春青山区期中）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A10尺B11尺C12尺D13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为X尺，根据勾股定理解答【解答】解设水深为X尺，则芦苇长为（X1）尺，根据勾股定理得X2（）2（X1）2，解得X12，芦苇的长度X112113（尺），故选D【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键5（2016春南陵县期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为A，则A的值为（）A1B1CD1【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OAOB，然后由实数与数轴的关系可以求得A的值【解答】解如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上在直角BOC中，OC2，BC1，则根据勾股定理知OB，OAOB，A1故选A【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴找出OAOB是解题的关键6（2015春蓟县期中）一架25米长的梯子底部距离墙脚07米，若梯子的顶端下滑04米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A15米B09米C08米D05米【分析】先根据梯子的顶端下滑了04米求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论【解答】解（1）在RTABC中，AB25M，BC07M，AC24（M）梯子的顶端下滑了04米，AC2M，在RTABC中，AB25M，AC2M，BC15M，BBBCBC150708M故选C【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方7（2015春罗田县期中）在ABC中，ACB90，AC12，BC5，AMAC，BNBC，则MN的长为（）A2B26C3D4【分析】根据勾股定理求出AB的长即可解答【解答】解在RTABC中，根据勾股定理，AB13，又AC12，BC5，AMAC，BNBC，AM12，BN5，MNAMBNAB125134故选D【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MNAMBNAB是关键8（2016春重庆校级期中）如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为A，较长直角边为B，那么（AB）2的值为（）A13B19C25D169【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2AB即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（AB）2的值【解答】解（AB）2A2B22AB大正方形的面积四个直角三角形的面积和13（131）25故选C【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开（AB）2A2B22AB，还要注意图形的面积和A，B之间的关系二填空题（共5小题）9（2016春固始县期中）将一根24CM的筷子，置于底面直径为15CM，高8CM的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为HCM，则H的取值范围是7CMH16CM【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出H的取值范围【解答】解如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，H24816CM；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在RTABD中，AD15，BD8，AB17，此时H24177CM，所以H的取值范围是7CMH16CM故答案为7CMH16CM【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出H的值最大值与最小值是解题关键10（2015春汕头校级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB2米，则树高为（1）米【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案【解答】解由题意得在直角ABC中，AC2AB2BC2，则1222BC2，BC，则树高为（1）M故答案为（1）【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键11（2016春高安市期中）已知RTABC中，C90，AB14CM，C10CM，则RTABC的面积等于24CM2【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将AB与C的值代入求出AB的值，即可确定出直角三角形的面积【解答】解RTABC中，C90，AB14CM，C10CM，由勾股定理得A2B2C2，即（AB）22ABC2100，1962AB100，即AB48，则RTABC的面积为AB24（CM2）故答案为24CM2【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键12（2016春嘉祥县期中）观察下列勾股数第一组3211，421（11），521（11）1第二组5221，1222（21），1322（21）1第三组7231，2423（31），2523（31）1第四组9241，4024（41），4124（41）1观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律这类勾股数分别为2N1，2N（N1），2N（N1）1，由此可写出第7组勾股数【解答】解第1组3211，421（11），521（11）1，第2组5221，1222（21），1322（21）1，第3组7231，2423（31），2523（31）1，第4组9241，4024（41）4124（41）1，第7组勾股数是27115，27（71）112，27（71）1113，即15，112，113故答案为15，112，113【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解13（2009春武昌区期中）观察下列一组数列举3、4、5，猜想3245；列举5、12、13，猜想521213；列举7、24、25，猜想722425；列举13、B、C，猜想132BC；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得B84，C85【分析】认真观察三个数之间的关系首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第N组数为（2N1），（），（），由此规律解决问题【解答】解在3245中，4，5；在521213中，12，13；则在13、B、C中，B84，C85【点评】认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键三解答题（共27小题）14（2016春黄冈期中）A，B，C为三角形ABC的三边，且满足A2B2C233810A24B26C，试判别这个三角形的形状【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出A、B、C，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可【解答】解由A2B2C233810A24B26C，得（A210A25）（B224B144）（C226C169）0，即（A5）2（B12）2（C13）20，由非负数的性质可得，解得，52122169132，即A2B2C2，C90，即三角形ABC为直角三角形【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可15（2016秋永登县期中）如图四边形ABCD中，ABCB，CD，DA1，且ABCB于B试求（1）BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积【分析】连接AC，则在直角ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定ACD为直角三角形，（1）根据BADCADBAC，可以求解；（2）根据四边形ABCD的面积为ABC和ACD的面积之和可以解题【解答】解（1）连接AC，ABCB于B，B90，在ABC中，B90，AB2BC2AC2，又ABCB，AC2，BACBCA45，CD，DA1，CD25，DA21，AC24AC2DA2CD2，由勾股定理的逆定理得DAC90，BADBACDAC4590135；（2）DAC90，ABCB于B，SABC，SDAC，ABCB，DA1，AC2，SABC1，SDAC1而S四边形ABCDSABCSDAC，S四边形ABCD2【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证ACD是直角三角形是解题的关键16（2016春邹城市校级期中）如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来【分析】直接利用网格结合勾股定理求出答案【解答】解如图所示ABC即为所求【点评】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格求出是解题关键17（2015春平南县期中）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60方向走了100KM到达B点，然后再沿北偏西30方向走了100KM到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离【分析】根据所走的方向可判断出ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解【解答】解ADBEABEDAB60CBE30ABC180ABECBE180603090，在RTABC中，200，A、C两点之间的距离为200KM【点评】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上18（2015秋新泰市期中）如图，在气象站台A的正西方向320KM的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20KM的速度沿北偏东60的BD方向移动，在距离台风中心200KM内的地方都要受到其影响（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长【分析】（1）过A作AEBD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30角的直角三角形的性质即可得出结果；（2）根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果【解答】解（1）过A作AEBD于E，如图1所示台风中心在BD上移动，AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离，在RTABE中，ABE906030，AEAB160，即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160KM（2）台风中心以每小时20KM的速度沿北偏东60的BD方向移动，在距离台风中心200KM内的地方都要受到其影响，线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，连接AC，如图2所示在RTACE中，AC200KM，AE160KM，CE120KM，ACAD，AECD，CEED120KM，CD240KM台风影响气象台的时间会持续2402012（小时）【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题（2）的关键19（2015春阳东县期中）如图，已知ABC中，B90，AB8CM，BC6CM，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1CM，点Q从点B开始BC方向运动，且速度为每秒2CM，它们同时出发；设出发的时间为T秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由【分析】（1）我们求出BP、BQ的长，用勾股定理解决即可（2）PQB形成等腰三角形，即BPBQ，我们可设时间为T，列出方程2T81T，解方程即得结果（3）直线PQ把原三角形周长分成相等的两部分，根据勾股定理可知AC10CM，即三角形的周长为24CM，则有BPBQ12，即2T（81T）12，解方程即可【解答】解（1）出发2秒后，AP2，BQ4，BP826，PQ2；（3分）（2）设时间为T，列方程得2T81T，解得T；（6分）（3）假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两部分，由AB8CM，BC6CM，根据勾股定理可知AC10CM，即三角形的周长为861024CM，则有BPBQ2412，设时间为T，列方程得2T（81T）12，解得T4，当T4时，点Q运动的路程是4286，所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两部分（10分）【点评】本题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力，综合性较强20（2014秋江阴市期中）在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积这种方法叫做构图法（1）ABC的面积为35（2）若DEF三边的长分别为、，请在图2的正方形网格中画出相应的DEF，并利用构图法求出它的面积为3（3）如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RTABE和等腰RTACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13M2、25M2、36M2，则六边形花坛ABCDEF的面积是110M2【分析】（1）利用ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；（2）根据网格结构和勾股定理作出DEF，再利用DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；（3）利用同角的余角相等求出BAGAEP，然后利用“角角边”证明ABG和EAP全等，同理可证ACG和FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EPAGFQ；（4）过R作RHPQ于H，设PHH，在RTPRH和RTRQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出H，从而求出PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解【解答】解（1）ABC的面积33213123，91153，955，35；（2）DEF如图2所示；面积24122214，8122，85，3；（3）ABE是等腰直角三角形，ABAE，BAE90，PAEBAG1809090，又AEPPAE90，BAGAEP，在ABG和EAP中，ABGEAP（AAS），同理可证，ACGFAQ，EPAGFQ；（4）如图4，过R作RHPQ于H，设RHH，在RTPRH中，PH，在RTRQH中，QH，PQ6，6，两边平方得，25H2361213H2，整理得，2，两边平方得，13H24，解得H3，SPQR639，六边形花坛ABCDEF的面积251336497436110M2故答案为（1）35；（2）3；（4）110【点评】本题考查了勾股定理，构图法求三角形的面积，全等三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键21（2016春周口期中）（1）在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积请你将ABC的面积直接填写在横线上35思维拓展（2）已知ABC三边的长分别为A（A0），求这个三角形的面积我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法如图2，网格中每个小正方形的边长都是A，请在网格中画出相应的ABC，并求出它的面积类比创新（3）若ABC三边的长分别为（M0，N0，且MN），求出这个三角形的面积如图3，网格中每个小长方形长、宽都是M，N，请在网格中画出相应的ABC，用网格计算这个三角形的面积【分析】（1）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算即可；（2）根据勾股定理在网格中画出相应的ABC，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出它的面积；（3）根据勾股定理在网格中画出相应的ABC，根据矩形的面积公式和三角形的面积公式求出它的面积【解答】解（1）ABC的面积2412141335，故答案为35；（2）如图2，ABC的面积3A4A3A2AA4A2A2A5A2；（3）如图3，ABC的面积4M4NM4N3MN4M3N65MN【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键22（2015春罗田县期中）有一只喜鹊在一棵3M高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24M的一棵大树上，大树高14M，且巢离树顶部1M当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5M/S，那它至少需要多少时间才能赶回巢中【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答【解答】解如图，由题意知AB3，CD14113，BD24过A作AECD于E则CE13310，AE24，在RTAEC中，AC2CE2AE2102242AC26，26552（S）【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键23（2014春镇原县校级期中）（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性问题1以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究SS与S的关系（如图1）问题2以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究SS与S的关系（如图2）问题3以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究SS与S的关系（如图3）【分析】这三道题主要在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得到相同的结论【解答】解探究1由等边三角形的性质知SA2，SB2，SC2，则SS（A2B2），因为A2B2C2，所以SSS探究2由等腰直角三角形的性质知SA2，SB2，SC2则SS（A2B2），因为A2B2C2，所以SSS探究3由圆的面积计算公式知SA2，SB2，SC2则SS（A2B2），因为A2B2C2，所以SSS【点评】熟悉各种图形的面积公式，结合勾股定理，运用等式的性质进行变形24（2014春三水区校级期中）如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在X轴、Y轴的正半轴上，且OAOB，另有两点C（A，B）和D（B，A）（A、B均大于0）；（1）连接OD、CD，求证ODC45；（2）连接CO、CB、CA，若CB1，C02，CA3，求OCB的度数；（3）若AB，在线段OA上有一点E，且AE3，CE5，AC7，求OCA的面积【分析】（1）过C点、D点向X轴、Y轴作垂线，运用勾股定理计算，结合全等可证；（2）连接DA，证OCBODA（SAS），可得ADCB1，而OCOD2，故CD，根据勾股定理逆定理可证ADC90，易得OCBODA135；（3）作CFOA，F为垂足，有CF2CE2EF2，CF2CA2AF2CA2（AEEF）2，设EFX，列出关于X的方程，求得X，再在RTCEF中，根据勾股定理求得CF，然后由三角形的面积公式即可求解【解答】（1）证明过C点、D点向X轴、Y轴作垂线，垂足分别为M、NC（A，B），D（B，A）（A、B均大于0），OMONA，CMDNB，OCMODN（SAS），COMDONDONMOD90，COMMOD90，OCOD，COD是等腰直角三角形，ODC45；（2）解连接DA在OCB与ODA中，OCBODA（SAS），ADCB1，OCBODAOCOD2，CDAD2CD2189，AC29，AD2CD2AC2，ADC90，OCBODA9045135；（3）解作CFOA，F为垂足，由勾股定理得CF2CE2EF2，CF2CA2AF2CA2（AEEF）2，设EFX，可得52X272（3X）2，解得X在RTCEF中，得CF，OFCF，OCA的面积【点评】本题考查了全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的面积，有一定难度准确作出辅助线是解题的关键25（2015春定州市期中）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出X的值即可【解答】解画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度由题意得AB20，DC30，BC50，设EC为X肘尺，BE为（50X）肘尺，在RTABE和RTDEC中，AE2AB2BE2202（50X）2，DE2DC2EC2302X2，又AEDE，X2302（50X）2202，X20，答这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺另解设这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根肘尺，则这条鱼出现的地方离比较低的棕榈树的树根（50X）肘尺得方程X2302（50X）2202可解的X20；答这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺【点评】本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键26（2009秋曲阜市校级期中）（1）先化简，再求值X（X2）（X1）（X1），其中X10（2）已知，求代数式（X1）24（X1）4的值（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB；画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长【分析】（1）（2）根据化简整式的方法，化简方程式；（3），所以画的线段，让其成为直角三角形的斜边即可，该直角三角形一条直角边为2，一条直角边为4，根据题意解题【解答】解（1）X（X2）（X1）（X1）X22X（X21）X22XX212X1，代入X10时，原式2X119（2）（X1）24（X1）4X22X14X44X22X1，代入X，原式2（）131217（3）根据勾股定理，AB，根据题意画出等腰直角三角形，ACB90AC2BC2AB2，且ACBC，ACBC答该直角三角形腰长为，图形见上图【点评】本题考查的是整式的化简，考查等腰直角三角形中勾股定理的运用，画出图形是解本题的关键27（2015春新泰市期中）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；定理表述请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为A，B，斜边长为C的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；知识扩展利用图2中的直角梯形，我们可以证明，其证明步骤如下BCAB，AD又在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即BCAD【分析】（1）根据勾股定理用文字及符号语言叙述；（2）利用SAS可证ABEECD，可得对应角相等，结合90的角，可证AED90，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证A2B2C2；（3）在直角梯形ABCD中，BCAD，由于已证AED是直角三角形，那么利用勾股定理有ADC，从而可证【解答】解（1）勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方（2）如果直角三角形的两直角边长为A，B，斜边长为C，那么A2B2C2RTABERTECD，AEBEDC；又EDCDEC90，AEBDEC90；AED90；S梯形ABCDSRTABESRTDECSRTAED（AB）（AB）ABABC2；（A22ABB2）ABABC2；整理得A2B2C2（3）ADC，BCAD，ABC，即故答案为；BCAD【点评】考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识28（2015秋贵阳校级期中）观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式（AB）2A22ABB2；（2）如图2所示，BD90，且B，C，D在同一直线上试说明ACE90；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的新英格兰教育日志上），请你写出验证过程【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；（2）由全等三角形的性质得出BACDCE，再由角的互余关系得出ACBDCE90，即可得出结论；（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论【解答】（1）解这个公式是完全平方公式（AB）2A22ABB2；理由如下大正方形的边长为AB，大正方形的面积（AB）2，又大正方形的面积两个小正方形的面积两个矩形的面积A2B2ABABA22ABB2，（AB）2A22ABB2；故答案为（AB）2A22ABB2；（2）证明ABCCDE，BACDCE，ACBBAC90，ACBDCE90，ACE90；（3）证明BD90，BD180，ABDE，即四边形ABDE是梯形，四边形ABDE的面积（AB）（AB）ABC2AB，