【毕业论文】研究这种变化的性质，即函数的连续性与函数的光滑性.

分院名称学生学号本科毕业论文（设计）（理工类）题目专业作者姓名指导教师姓名指导教师职称2013年4月摘要函数是数学研究的主要对象，这是因为在我们的周围，大量的事物都需要用函数去描述它们的变化状态例如，液体的流体，气温的上升，压力的增加等等我们研究它们是否是连续变化，同时，还要研究这种变化的性质，即函数的连续性与函数的光滑性从历史方面来讲，函数概念对数学以及科学的发展有重大影响回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情了解函数史不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们体会数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用，函数的表达方式及其分析性质关键词函数；表达方式；分析性质ABSTRACTFUNCTIONISTHEMAINRESEARCHOBJECTOFELEMENTARYMATHEMATICSANDHIGHERMATHEMATICS,THISISBECAUSEAROUNDUS,MANYTHINGSNEEDTOUSETHEFUNCTIONTODESCRIBETHECHANGESOFTHEIRSTATUSFOREXAMPLE,LIQUIDFLUID,TEMPERATURE,PRESSUREINCREASESONTHEONEHAND,WESTUDYWHETHERTHEYARECONTINUOUSCHANGE,ATTHESAMETIME,TOSTUDYTHECHANGESOFTHESMOOTHINGPROPERTYITISINTHISSTUDYANDTHEPROBLEMS,WHICHARECONTINUOUSFUNCTIONSANDSMOOTHNESSOFFUNCTIONSFROMMIDDLESCHOOLTOHIGHSCHOOL,LEARNINGFUNCTIONHASBEENATTHECOREPOSITIONOFMATHEMATICSINADDITION,INTHECHEMICAL,PHYSICAL,BIOLOGICALSCIENCES,FUNCTIONISEVERYWHEREFROMAHISTORICALPERSPECTIVE,THEINFLUENCEFUNCTIONCONCEPTOFMATHEMATICALANDSCIENTIFICDEVELOPMENT,CANBESAIDTOBETHROUGHTHEANCIENTANDMODERN,DELAYFORALONGTIME,THEROLEOFEXTRAORDINARYHISTORICALDEVELOPMENTREVIEWFUNCTIONCONCEPT,HISTORICALPROCESSATTHEFUNCTIONCONCEPTHASBEENREFINED,DEEP,RICH,ISAVERYUSEFULTHINGSUNDERSTANDTHEFUNCTIONOFHISTORYNOTONLYHELPSTOIMPROVEOURUNDERSTANDINGOFTHEFUNCTIONCONCEPTDEFINITIONOFTHESEQUENCEOFEVENTS,BUTALSOCANHELPUSTOUNDERSTANDTHEHUGEROLEOFMATHEMATICSCONCEPTONTHEDEVELOPMENTOFMATHEMATICS,MATHEMATICSLEARNING,EXPRESSIONFUNCTIONANDITSANALYTICALPROPERTIESKEYWORDSFUNCTIONEXPRESSIONCHARACTERANALYSIS目录承诺保证书I摘要IIABSTRACTIII函数发展史51积分上限函数611关于积分上限函数的理论712积分限函数的几种变式713有积分限函数参与的题型举例814积分上限函数分析性质122函数列与函数项级数1321基本概念1322一致收敛条件1323一致收敛性质1524范例分析163隐函数2031隐函数的表示方法2132隐函数的分析性质224向量函数2541向量函数的分析性质25结论26参考文献27致谢28函数发展史早期函数概念十七世纪伽俐略GGALILEO，意，15641642在两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔DESCARTES，法，15961650在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。1673年，莱布尼兹首次使用“FUNCTION”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。十八世纪函数1718年约翰柏努利JOHANNBERNOULLI，瑞士，16671748在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量X和常量构成的式子都叫做X的函数，并强调函数要用公式来表示。1748年，柏努利的学生欧拉在无穷分析引论一书中说“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。1755，欧拉LEULER，瑞士，17071783把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”18世纪中叶欧拉LEULER，瑞士，17071783给出了定义“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。十九世纪函数1821年，柯西CAUCHY，法，17891857从定义变量起给出了定义“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822年傅里叶（FOURIER，法国，17681830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷DIRICHLET，德国，18051859突破了这一局限，认为怎样去建立X与Y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出“对于在某区间上的每一个确定的X值，Y都有一个确定的值，那么Y叫做X的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托CANTOR，德国，18451918创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦VEBLEN，美，18801960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。现代函数概念1914年豪斯道夫FHAUSDORFF在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基KURATOWSKI于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素X，总有集合N确定的元素Y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为YFX。元素X称为自变元，元素Y称为因变元。”1积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）的自变量是上限变量，在求导XAFFTDX时，是关于求导，但在求积分时，则把看作常数，积分变量在积分区间上XT,A变动弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提11关于积分上限函数的基本理论定理1如果在上可积，则在上连续XF,BAXADTFF,B定理2如果在上连续，则在上可导，且F,XATF,XFDTFXFA注（）从以上两个定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比XF原来的函数改进了一步可积改进为连续；连续改进为可导这是积分上限函数的良好性质而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是FXF连续的（）定理（2）也称为原函数存在定理它说明连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义推论1XFDTFXB推论2FTFC推论3XFXFDTFX12积分限函数的几种变式（1）比如XDTFF0被积函数中含X,但X可提到积分号外面来在求时，先将右端化为的形式，再XXXXDTFTFDTFTF0000对求导X（2）比如XDTTFF0F的自变量中含X,可通过变量代换将X置换到F的外面来在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，XTU，时，；时，这样，就化成了以作为积分DUT0TUT0FU变量的积分下限函数，然后再000XXXDFDFDFF对X求导3比如10DTF这是含参数X的定积分,可通过变量代换将X变换到积分限的位置上去在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，FTU，时，；时，于是，就化成了以作为积分变XDUT0TU1TFU量的积分上限函数，然后再对X求导XDFF013有积分限参与的函数题型举例（1）极限问题例1（答12）XDTT023SINLIM例2（提示本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则求答XXLI）例3已知极限，试确定其中的非零常数1SIN1LIM00XXDTCABE,CBA（答）,CA（2）求导问题例4已知求答SIN,O10TTUDYXXYCOS12INTT例5已知求答0CXYTTEXYEY例6求XDTD02SIN答2I例7设在内连续且求证在内单调XF,0XFXDTF0,0增加3最大最小值问题例8在区间上求一点,使得下图中所示的阴影部分的面积为最小,1EEYLNXXY11提示先将面积表达为两个变限定积分之和,然后求EXXDTTDALN1LN1出,再求出其驻点答XAE例9设，为正整数证明的最大值不超过0NXNTTF02SI提示先求出函数的最大值点,然后估计函数最大值的上界321N4积分问题例10计算，其中10DXF21SINXDTF提示当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时,总是用分部积分法求解,且取为积分上限函数答XUCOS2例11设在内连续,证明F00XUXDTFD提示对右端的积分施行分部积分法例12设求在内的表达式2,012,XXFXDTF0,说明这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到求表达式时,注意对任一取定的,积分变量在内变动XT,O答21,12,0102XXX5含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题例13设函数连续，且满足求00XXDTTEX答SINCO21EX（说明这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解注意初值条件隐含在积分方程内答）XXSINCO例14设为正值连续函数,且对任一,曲线XF,10F0FY在区间上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积,求此曲线方程0说明根据题设列出的方程将含有的积分上限函数XF答02XEXF6利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等例15设均在上连续,证明以下的CAUCHYSWARTZ不等式,XGFBA222BADXGFD说明本题的通常证法是从不等式出发,由关于的二次函数0BADXTGFT非负的判别条件即可证得结论但也可构造一个积分上限函数,利用该函数的单调性来证明提示如下令则22XAXAXADTGTFDTGFF0AF求出并证明从而单调减少,于是得0FB由此可得结论这种证法有一定的通用性例如下例例16设在0,1上连续且单调减少证明对任一有XF,10100DXFDXF提示即证于是作只需证单调减少,0XDTFFXF即可得结论利用积分上限函数构造辅助函数,还常用于证明与微分中值定理有关的某些结论比如下题例17设在上连续求证存在,使,XGF,BABABDXFDF提示令对在上用ROLLE定理即可证得结论BXXATGTFXF,14积分上限函数分析性质关于积分限函数的奇偶性与周期性定理3设连续，如果是奇（偶）函数，则是偶（奇）XFXDTF0XFX函数；如果如果是周期为的函数，且,则是相同周期的周期函FT00TDFX数证设奇,则XF,XDUFUFDUFDTXFXX0000、即为偶函数X设偶,则F,XDUFDUFUDFDTFXFXXUX0000、即为奇函数若，则0TXF,XDTFXDTFTFDTFTTXXT000即为周期为T的周期函数X2函数列与函数项级数21基本概念函数列收敛域极限函数设是定义在数集上的函数列，若存在，使得数列收敛，则NFXEXEFX称函数列在点收敛所有收敛点的集合称为收敛域，记为在上DN每点的极限（是上的函数），称为极限函数，记为于是对任意有DF，或记为，称在上收敛于LIMNFXFDNFXFNXFX22一致收敛条件函数列一致收敛性若，当时，对任意都有，则称0NNXNFXF在上一致收敛于，记为NFXDFXDNF、函数列一致有界性若存在常数，使得对任意的自然数以及任意的有，则称0MXNFXM在上一致有界NFX函数项级数和函数设是上的函数列，称为上的函数项级数若其部分和函数列NUXE1NUXE在上收敛于收敛于极限函数，则称在上收敛于和函数，NSDS1NUXDSX记为1NUXS函数项级数级数一致收敛性设是的部分和函数列，若，则称级数在上一NX1NXDNSXSX、致收敛（于）S柯西一致收敛准则在上一致收敛的充分必要条件是，当时，对任NFXD0N,MN意都有NMFFX在上一致收敛的充分必要条件是，当时，对1NUXD0NMN任意都有MKNX在上一致收敛的必要条件1NUX0DNUX、一致收敛确界判别法的充要条件是DNFF、LIMSPNNXDFF在上一致收敛的充分必要条件是（其中1NUXLISU0NNXDR称为余和）KNR函数项级数一致收敛M判别法若存在数列，使得对任意都有（），并且NXNNUXM1,2收敛，则在上一致收敛1NM1NUXD函数项级数一致收敛狄利克雷判别法若部分和函数列在上一致有界；对每个固定的，为单调1NKUXXDNVX数列，并且则在上一致收敛0DNVX、NVXD函数项级数一致收敛阿贝尔判别法若在上一致收敛；对每个固定的，为单调数列，函数列1KUXXNVX在上一致有界则在上一致收敛NVDNUXVD23一致收敛的性质连续性定理可积性定理若在上连续（），并且，则极限函数在NFX1,2NDNFXFX、FX上连续D若在上连续（），并且在上一致收敛于，则和函NUX,1NUXSX数在上连续S当为闭区间时，在上述条件下成立等式D,AB（积分与极限可交换）LIMDLIDBBNNAAFXFXFX（可逐项积分）11BNNAAUU关于逐项积分的条件可稍作减弱（范例27）可微性定理若（），在上收敛于，在1,NFXCAB,2NNFX,ABFXNF上一致收敛，则极限函数可微并且,ABF（求导与极限可交换）LIMLINNFF若（），在收敛于，在一1,NUXAB,21NUX,ABSX1NU,AB致收敛，则和函数可微并且S（可逐项求导）11NNSXXUX24范例分析1、讨论在的收敛性和一致收敛性NXNFE0,解对任意实数都有，即对任意实数，LIMNFFX0,1X在都收敛，极限函数为NXNFXE0,1由于，所以由确界判别法，当时10,10,1SUPAXNNNXEFFFF1在收敛但不一致收敛，当时在一致收敛NENX0,注当极限函数容易求得时，通常可用确界法判断一致收敛性2、设在上连续求证在一致收敛的充要条件是FX0,1NXF,110F证显然有，因此当时极限函数在,0NXFF0F不连续，由连续性定理可知在不一致收敛必要性得证0,1X,设，由连续性，当时都有0F1X1NNXX设，则对任意有，所以在0,1MAMF0,XNFMNXF上一致收敛于0即，当时有0,1NN0,1XNXF综上可知，当时有，即在0NFX一致收敛充分性得证,3、设可微（），在收敛，在一致有界求NFX1,2NFX,ABNFX,AB证在一致收敛,AB证设,NFM、，作的分割使，依条件知，0,01LAXXB13KXMN当时，对每个有（柯西准则），,MNKLNKMFF,XAB使，于是当时1KL1,X,NMNMKMKNKNKNFXFFFFXFFXF123KX（微分中值定理）即证注柯西准则的优点是无须关注极限函数的具体形式和性质，直接由函数列本身作出一致收敛性判断本题也可用反证法证明4、设在一致收敛，（）则存在，并且NFX,ABLINNXBF1,2LIMN，或即LIMLIXBFLIMNXBFX证，当时，有，令得0N,ANMFFXXB到所以存在，记NMLINLIN存在充分大的使得（），而对存在003NFX,XAB03N0N，当时因此有0BX00NNF（）0000FXFXBX注本题的一个推论若，则收敛于,NFCAB,ANFXF、NFB因此在一致收敛于连续函数0FBFNFXX5、判断在的收敛性和一致收敛性SIN0,解在不连续，在都连10,SINLMXFX,SINNXF0,续（），由连续性定理，在收敛但不一致收敛，因此在1,2NSINX,不一致收敛0,注若在上收敛但不一致收敛，是有限集，则在上也NFX0D0DNFXD不一致收敛或等价地，若在上收敛，在上一致收敛，是有限集，则NF00在上一致收敛NFX06、设在处处连续，时，F,XFX1FFX（）求证对任意，在上一致收敛1NNF10AN,A证显然，有，其中等号仅当时成立，由0FXAF00于在有界闭集上连续，所以存在，使当时FX1QX，即而当时故在上FQXFXQXFX,AMA,F设（），考察若，则X,NNFQ,XA1NFXNF；若，此时必有，于是1FXFNFQX1NNNF因此，当时由于，0,XMAX,A,NNNFQA01Q故可取，当时所以只要，对任意都有，即NNQANXNFX在上一致收敛于0NFX,7、设在处处连续，求证在一F,10NKFXFXNFX,AB致收敛证显然有,XAB10LIMDNFFT11100DDKNNNKFXFTFXFXT，10DKNFFT由在的一致连续性，当时，FX,AB0NN,XAB都有因此，当时有1,KTKKFXFTNN,，即在一致收敛1100DNNKFXFTF,AB8、设和在可积，求证对,2NFFX,2LIMD0NANFXFX上任意可积函数，在一致收敛于,ABGDNATG,BATG证DDXXXNNAAFTFFTGT1122XXXNNAAAFTGTFTTT，即证1122DD0BBNAANFTTT注若，（其中与无关），则在上一XDNFXFNXNFXD致收敛于F9、设是的连续函数列，在上收敛于连续函数，NX,AB,ABFX，数列单调求证在上一致收敛于,XABNFNFX证，使，由的连续性，0,XXFXNF，当时又因单调趋于，故当XXXNFFFX时（）NNFF,X由于，故存在个正整数和开区间,XXABMKN,KK，使得，并且当时在内有1KM1,KKMXNFXF，取，考察，可取使01MAXKNNN,XABK1,2M，于是由得到,KKXXKNFF注上述命题称为狄尼定理相应于函数项级数情形的狄尼定理叙述如下设在连续且非负（），在收敛于连续函数则在NU,AB1,2NNUX,ABNUX一致收敛,3隐函数31隐函数的表示方法函数表示两个变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同XFYYX方式表达例如，等，这种函数表达方式的特点是等号左端是因SIN1L变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这个式子能确定对应的函数值用这种方式表达的函数叫做显函数有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013YX表示一个函数，因为当自变量在（,）内取值时，变量有确定的值与之对应，Y这样的函数称为隐函数一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足0,YXFX这个方程的唯一值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数Y0,YF把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化例如从方程中解出013YX，就是把隐函数化成显函数隐函数的显化有时是困难的，甚至是不可能的在31XY实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程求出它所确定的隐函数的导数来下面通过具体例子来说明这种方法例1求由方程所确定的隐函数的导数0EXYXYDXY解方程两端同时对求导，得EYXX0YE001XXYE即0Y所以YEX在求时，是的函数，又是的函数，故是的复合函数因此对的XYEYYXYEXYEX导数必须按照复合函数的求导在求完导数以后，就得到一个包含的一次方程，解出Y，即为隐函数的导数Y例2求由方程所确定的函数的导数22AYXXYDX例3求由方程所确定的隐函数在处的导数0375X00|XDY例4设，求YARCSINY解由，有XI方程两端同时对求导，得YXSINYCOS1解出，得YCS因为，所以COSYY2Y2IN121X于是，有21X即ARCSIN2X32隐函数的性质如果方程FX,Y0能确定Y是X的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数函数在某一变化过程中，两个变量X、Y，对于某一范围内的X的每一个值，Y都有确定的值和它对应，Y就是X的函数这种关系一般用YFX来表示显函数是用YFX来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的求导法则，对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导在方程左右两边都对X进行求导，由于Y其实是X的一个函数，所以可以直接得到带有Y的一个方程，然后化简得到Y的表达式隐函数导数的求解一般可以采用以下方法先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；隐函数左右两边对X求导（但要注意把Y看作X的函数）；利用一阶微分形式不变的性质分别对X和Y求导，再通过移项求得的值；把N元隐函数看作N1元函数，通过多元函数的偏导数的商求得N元隐函数的导数举个例子，若欲求ZFX,Y的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为FX,Y,Z0的形式，然后通过（式中FYFX分别表示Y和X对Z的偏导数）来求解推理过程一个函数YX，隐含在给定的方程1隐函数中，作为这方程的一个解（函数）例如给出如果不限定函数连续，则式中正负号可以随X而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除X1，因而函数的定义域应是开区间10，当时，满足AFXAXPKKK，因而也有，即PKFPFKFFKKLIM结论研究了函数的概念、定义域、值域、函数的应用，从概念上把握函数，不仅可以彻底理解函数，而且有助于函数定性的分析和以后的数学学习，函数概念和表达方式是课程中的重要内容、基础内容，因此它在理论上有着重要的地位特别是在它的应用上。通过对函数的概念和表达方式理解，简单地归纳出函数在学习中的一些性质。函数的概念和表达方式的学习是对特殊函数及以后数学学习的基础。函数是反映客观世界数量关系和变化规律的一种重要模型，它的学习一直是学习阶段