信号与系统课后答案 第5章 习题解

第五章习题解51分别绘出下列各序列的波形（1）（2）NUX21NUX（3）（4）N2（5）（6）12NUXNUNX12解（1）NXN2（2）NUX（3）NUNX21（4）NUX2（5）12NUX（6）NUNX1252分别绘出下列各序列的波形（1）NUX（2）NUX（3）12NUX（4）NUNX21（5）NUNX21（6）12NUNX53分别绘出下列各序列的波形（1）SIN5X（2）COS105NX（3）5SIN6X（4）3SIN25X54序列如题图54所示，把表示为及其延迟之线性组合NXNX202423214N题图54233XNNN55设有序列3,02,NX画出下面各序列的波形（1）（2）2NXX（3）（4）2N（5）（6）NX1NX156离散时间信号的波形如题图56所示，试画出下列信号的波形。NX32101231232NNX题图56（1）（2）NXXN（3）（4）11（5）（6）NXUX2UX（7）（8）NN解3121X57试画出下列离散时间信号的波形，写出用或来表示的表达式。NU（1）3NU131123UNNNN（2）U132UNN（3）U2221NUNU（4）11221NUNU（5）112UNUN（6）42221452174NNN（7）U121UN（8）4NU12421214283NUNNNN58下列每个系统，表示激励，表示响应。判断每个激励与响应的关系是否线性的是XY否非移变的（1）（2）68NY1052COSNXNY（3）（4）2XNMXY解186YN线性性11186XYNX2221KXN1KXN但2122866YKX所以系统是非线性的。时变性设XNYXN则86MMYN所以系统是非移变系统（2）2COS510NYNX线性性112COS510NXNYX222则121212COS50NKXNKXNKYN所以系统是线性的。时变性CS1XYX则2O50NNMMYNM所以系统是移变系统。（3）2YX线性性2111NXN222XY21112KKXKYN所以系统是非线性的。时变性设2XNYXN则2MMYN所以系统是非移变系统。（4）NMYX线性性111NMX222NXNY121212NMKKXKYN所以系统是线性的。时变性设NMXNYX则NNKNKPMKKXYK所以系统是非移变的。59已知系统的差分方程为，已知起始条件为，分别求以下输NXYN1201Y入序列时的输出，并绘出其波形。Y（1）（2）NXNUX（3）G5（1），12YXNN10Y解初始条件，00Y齐次解NHYC特解P所以12NYC由初始条件得0所以,NYC或12U（2）解初始条件10012YNXU所以01Y齐次解NHC特解PYE代入方程12NXN112EC所以,0NY或2NU（3）解可以利用线性时不变系统的线性叠加性质由于，所以小题（2）求得的是系统的零状态响应，而此小题也是求零状态响应。10Y根据第（2）题NUNU5152所以512NNYUU510解下列差分方程（1），012NY1Y（2），284321,0Y（3），YY（4），1NN,Y（5），022YY1Y（6），1,（7），0316NYYNY52,3,YY（8），022Y,（1）,Y解12NHYNC01,02NY（2）3120,1,248YNYNY解14HC21217016CY76,024NN（3）1,YY解3NC0Y,0N（4）3120,12,1YYNY解求初始条件（可以直接用起始条件）038132120YYNNC12128408120CCY4,NN（5）2120,1YYY解01321,212NYNC11220133CCY,0NN（6）2,1,2YY解1,0J12NNYCJ11220JCYCJ2NNJJN（7）162130YYY解0,3,53220123NYNCC11232340354895CYC1,0NN（8）22,1,0YYY解初始条件，0102221,2,J所以12NNYNCJCJ1122011CJCYJJ22NNYNJJJJ511解下列差分方程（1），NY1510Y（2），2N（3），NYY301Y（4），U61552,3（5），NNYNY502,Y（6），13310（1）1,0YY解齐次解5NHK特解122PYNCC1215CN112266053CC6153PNYK1066YK315,03N（2）12,01YNNY解齐次解PK特解122PYCNC121CN11223349CC3NYK41019K2,0NY（3）123,10NYY解初始条件0,03齐次解21,212NHYNK特解3219319162936PNNPNCCCY12NYNK11229900661373KYK931,0164NNY（4）562,13,25YUY解初始条件0150141787YY齐次解21256,3123NPYK112240478738KKY172,0NNN55625,10,2NYYUY解初始条件013987422齐次解123NHYK特解05PC12105605NNNNCC123YK112260995878713250KYK6,055NNN（6）31231,0,1YYUNY解齐次解21230,12NYK特解4YN因为特解项与齐次解项1相同，所以PYAN3244ANA12NYK11224043KK23,0NY512求下列差分方程所描述的系统的单位取样响应。NH（1）NXYN19（2）XY284（3）Y（4）12NXN（5）183254NXYY（6）XY81（1）9NN解初始条件0H1,901NNHCU（2）1248YNYNX解初始条件014H2121,4812NNHC12120344CC32NNHU（3）14YYXN解初始条件0H21,24NHC11220CNHNU（4）212YXN解由于左右各有N2时刻，所以初始条件要计算到H2此题也可用延时及叠加性质求解0,1,0HH2,21NNC1212012CCH1NU（5）3423815YYNXN解初始条件0910H122344,5512NNHK1212373035494955KK7NNHNU64182YYX解初始条件04H21,248J1NNHNKJK112230424JKJKJ3NNJJHNJJ513已知离散时间LTI系统的单位阶跃响应为，求系统的单NUNGN2312位取样响应。NH解1G时，002时，1N11133532222NNNNNNHN532NU514若一离散时间LTI系统对激励所产生的零状态响应为12412NUNUX，求该系统的差分方程和单位取样响应。NUY31解111213742ZZYZHX7122YNYNXN1131344NHZHUZ515若一离散时间LTI系统对激励所产生的零状态响应为NUNX21，求为使的系统的零状态响应为时系统的输入序列。NUY41NUY21解1214ZYZHX12311121164148ZZZYZXH1121388942ZZ15NNXNU516一人每年初在银行存款一次，设其第年新存款额为，若银行年息为，每年所得利息NX自动转存下年，以表示第年的总存款额，试列写其差分方程。NY解1YXR517求下列信号的卷积（1）（2）NUEN32NUN2（3）（4）44NU（5）（6）NU2SINU（7）（8）2SI2SINNN2SI（1）原式323300NKNNKKNKKEUUEUE1220NNKKE（2）原式0212NNKKNKUUU（3）原式0112NKKNK（4）原123123NNNN2344565原式200NNKKKKUNKUU36原式123SI2SINISIN2N（7）原式222JKJKJKJKKEEUU2220JKJKJNKJNKNU222204JNJNKJNKJNKEECOS82211505SIN21NIIZZUZ150I1250NNNIIIIU518下面各序列是系统的单位取样响应，试分别讨论各系统的因果性和稳定性。（1）（2）N1N（3）（4）2UU3（5）（6）NN（7）（8）1G102解1,是因果系统0,HNN,系统稳定|1|NNS2,不是因果系统10,HNN,系统稳定|1NNS3,是因果系统210,HU,系统不稳定|NNS4,不是因果系统30,HU,系统不稳定|NNS5,不是因果系统30,HU,系统稳定03|2NNNS6,是因果系统10,HU,系统不稳定01|NNNS7,是因果系统1,HU,系统不稳定01|NNNS8,是因果系统102,HG,系统稳定10|NNS519已知各系统的激励和单位取样响应的波形如题图518所示，求其零状态响应XNH的波形。1012341101234123101234110123411012341210123411ABCNNNNNXNXXHH题图519520求下列序列的傅里叶变换。（1）（2）1NX6NUNX（3）（4）U22321N（5）（6）0341MNKXNNX4SI3SI解（1）N1JWJWFXEFNE（2）6U76161JWNNJWJJNXUEE（3）UXN20122NNJWNNJWJWFUEEE（4）2321NUNXN133113222NNJWNJWJWNNNFUEEE（5）04MX0033011434NNJWNNMJWJWJWMNFEEE（6）NNX4SI3SISII133AANFFS3UU2,0,33521根据定义求下列序列的双边Z变换，画出零极点图，并注明收敛域。（1）（2）1NX12NUNX（3）（4）32U1（5）（6）1NXNUNX2（7）（8）UN4COS（9）（10）NUNXN213NNUNX（11）（12）1U381X解（1）NX1,0NXZZZ极点，收敛域（2）2NUX11122NNNNZXZZZ（）（）（）（|极点，零点0，收敛域2（3）31NUNXN32211001822NNNNZXZZ（）（）（）（21144Z1|22JZ121,23极点0，零点，收敛域（4）NX1110222NNNNXZZZ|（）（132Z12123Z，极点，零点1|2|Z（7）NUX1011NNZXZZ|极点，零点，收敛域（8）NUNX4COS21ZX极点，零点，收敛域1,2J41,2Z|1Z（9）NUNXN311001113232325213NNNNNXZUZZZZ1212510|2ZZ极点，零点，收敛域（10）NNUNX110NNNNXZZ极点，1|Z收敛域（11）12UXN11122NNNZXZZ2|Z极点，收敛域（12）381NNX3181NNZXZZ1,230|0J12,3极点，零点，收敛域4522根据定义求下列序列的双边Z变换，画出零极点图，并注明收敛域。（1）（2）NUNX2NUNXCOS（3）（4）12（5）（6）XN11X（7）（8）U2NU解（1）NNX2210022NNNNZXZUZ2312|1ZZ，3极点，零点0，收敛域2（2）NUNXCOS21COS,|1WWXZZ22122CS1CSINCOSINDZXZJWJW123,4COSINOIN,|1JZWJ，,极点，零点0，收敛域（3）21XNUUU1212,XX1212,ZXXZ2232314,|1DZ12,31|ZZZ，极点，零点，收敛域（4）224NNXUU21323223,1,414NXDZZZXZXX极点1,24,56Z（5）NUX11122,2,NXUXNDXZZX21，极点，零点0，收敛域|（6）1NUNX1UN1212,XXXX1111,|NNNZXZUZZ即212D21231ZXZX极点，零点，收敛域1,21,230|1Z（7）NUNX21122323424,1,|76811NNXNXZXZUZX极点，收敛域1,2345,0|（8）2NUX22214|NNNNZXZZ极点，零点，收敛域21,20|523求下列Z变换的逆变换XNX（1）（2）AZ,1AZZX,1（3）（4）50,501Z21,8435021Z（5）（6）2,4132ZZXAZZX,1解1,NXAU右边序列2左边序列3,NX（）右边序列4是右边序列4111Z32XZ234NNXU5是右边序列1615Z3XZ226NNXU56解将化为的正幂次得，所以ZXAZAZX11ZZNN1时，在内有一阶极点，所以有1N1NZXCAZ。111NAZNZAX时，在内有一阶极点和一阶极点，所以有0N1NZXC0AZAZAXZ1100时，在外没有极点，所以。0N1NZXCNX综合以上有11UAAXN注意对该题当时要单独求解。0N524求下列Z变换的逆变换XX（1）（2）14,81432ZZ1,102ZZX（3）（4）,12ZX2,412ZZ（5）（6）314,1273ZZZ1,12ZZX解211001,424NNZZXX时，在内有一阶极点，所以有N1NZCZ。140|02NZX时，在有一阶极点。0N1NZXC12Z120|4NNZX104NNUU所以2X是左边序列111105XZZZ（）（）5NXU3是右边序列,1ZXZ221（）11SINSIN12UZUN212X4是左边序列211214XZZZ1（）（）NNXNU2115,13434NNXZXZZ时，在内有一阶极点，所以有2N1NZCZ。2214|3NZX时，在内有一阶极点，所以有1N1NZXC104Z及104|481236133ZZXN时，在内有一阶极点，所以有01NZXC0及二阶极点Z10241|19284334ZZDXN时，在外有一阶极点。01NZXCZ2213|4NNZX22161083NNUU所以211216,|2NNNZZXXZ1NXU525利用三种方法求下列Z变换的逆变换XNX（1）（2）21,1ZX41,84315021ZZX（3）（4）3,6521ZZ1,21ZZ解112XZNXU234123448162816ZZZZZ12NXU112,44NNZZXX0NC当时，外有一阶极点，114212|342NNNNZZX3NNU1111112311230,23|3023,|23NNNNNNZZZZZXZXXCXN（）是右边序列当时，内有一阶极点，当时，内有一阶极点，06113NNXU1124100,22|02|011NNNZNNZXNZXXCXXU（）是双边序列当时，内有一阶极点当时，外有一阶极点526画出的零极点图，在下列三种收敛域情况下，哪种情况对应左边序21523ZZX列、右边序列、双边序列并求各对应序列（1）（2）（3）Z50Z250Z解1332,12NNZZXX12203|NNNZZNCXNU|,右边序列当时，内有一阶极点，1（）（）12203|NNNZZNZCXNU12|,左边序列当时，外有一阶极点，1（）（）12203|023|1NZNNZNZCXXNUN1|2,双边序列当时，内有一阶极点（）当时，外有一阶极点1（）527求下列函数在不同收敛域下的逆变换。（1）（2）1ZX211ZZX（3）（4）1132ZZ215解11,NNZXZ（1）110|,|0|NZZZXCXNU是右边序列当时，内有一阶极点当时，内有一阶极点,112|,01|NZXCZU是左边序列当时，外有一阶极点1222,1NNZXXZ121|,01|2NNNZZZXNCDXU是左边序列当时，外有一阶极点，二阶极点1202|1NZNNZCDXXU2|,双边序列当时，内有二阶极点当时，外有一阶极点213|,0|21NNZZCDXUN是右边序列当时，内有一阶极点,二阶极点2113,323NNXXZZ1132|,310,3|2NNNNZZNNXCXU是左边序列当时，外有一阶极点13120|2102|31NZNZZCXXUNNNN2|,双边序列1当时，内有一阶极点3（）当时，外有一阶极点（）（）（）11323|,210,3|22NNNNZZNNZXCXU是右边序列当时，内有一阶极点14,122NNZZXX1221|,210,|233NNNZZNXCXU是左边序列当时，外有一阶极点12212102|3|113NZNZZCXXUNNNN|,双边序列当时，内有一阶极点（）当时，外有一阶极点（）122|2,0,12|33NNNZZNNCXU是右边序列当时，内有一阶极点528列的Z变换，求序列的初值和终值。XX0X（1）（2）121Z1150ZZZX（3）（4）1132ZZZX21510LIM,ZXXZX（）解根据初值定理有因为（）存在极点，不满足终值定理的条件，不存在。1LI1,LIMZZX（2）解根据初值定理有因为（）的极点都在单位圆内，满足终值定理的条件，X0。10LI,LIZZXXZX（3）解根据初值定理有因为（）的极点都在单位圆内，满足终值定理的条件，。1LIM1,LIZZX（4）解根据初值定理有因为（）的极点5，1满足终值定理的条件，X2。529Z变换为112ZZX（1）确定与有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图；ZX（2）每种收敛域各对应什么样的离散时间序列（3）以上序列中哪一种存在序列的傅里叶变换解XZ1（）的极点，Z21,|2,|2|2|2ZZ1（）的收敛域有三种情况|对应的是左边序列，对应的是双边序列，对应的是右边序列（3）双边序列对应的收敛域包含单位圆，存在傅里叶变换。|Z1（）双边序列对应的收敛域包含单位圆，存在傅里叶变换。530已知某离散时间LTI因果系统的零极点图如题图530所示，且系统单位取样响应满足条件，求20H（1）系统函数。ZH（2）系统的单位取样响应。NH（3）系统的差分方程。（4）若已知激励为时，系统的零状态响应为，求激励。XNUY2NX解2111110505LIM,2ZKKHZ（）（）（由H得（）118502NHZHU（）（）123312YZHXZYNYNX（）（）11,2241124YYZXZXHXNN（）（4）由（），得（）（）（）（）531已知某离散时间LTI因果系统的零极点图如题图531所示，且系统的，求4H（1）系统函数。ZH（2）系统的单位取样响应。NH（3）系统的差分方程。（4）若已知激励为时，系统的零状态响应为，求激励。XNUYNX解213144KZH由（），解得，（）116023NNHZZHU（）（）12483413YXYNYNXN（）（）11124,532848358NYZHXZZXNU（）（）得（）（）（）532已知某离散时间LTI因果系统的零极点图如题图532所示，且系统单位取样响应满足条件，求20H（1）系统函数。ZH（2）系统的单位取样响应。NH（3）系统的差分方程。（4）若已知激励为时，系统的零状态响应为，求激励。XNUY50NX22ZREJIM05321ZJIMZRE1ZJIMRE05题图530题图531题图532解1105050LIM2ZKKZHHZ（1）令（）由（）,得（）1114320543NHZZHNU（）（）12305051YZHXZYNYNX（）（）11114,0505205NZYXHZZXNU（）（）得（）（）（）533因果系统的系统函数如下所示，试说明这些系统是否稳定。（1）（2）128ZZX21528ZZX（3）（4）21421解121717888ZHZJJ，极点因果系统的系统函数HZ的极点都在单位圆内，所以系统稳定12812,ZH（）（）极点因果系统的系统函数HZ的极点在单位圆外，所以系统不稳定。2Z1231,HZ（）极点因果系统的系统函数HZ的极点在单位圆上，所以系统不稳定。2Z121433822ZHZJJ，极点因果系统的系统函数HZ的极点都在单位圆内，所以系统稳定。534求系统函数为在及两种收敛域情况下系11059ZZH0105Z统的单位取样响应，并讨论系统的因果性和稳定性。解1051009595,1011|99|5011NNNNNZZZZHZHU时，右边序列当时，C内有一阶极点,显然系统是因果系统，极点Z10不满足因果系统稳定的充分必要条件，系统不稳定。051020|9|51NNZNNZHHUU时，双边序列当时，C内有一阶极点当时，外有一阶极点显然系统是非因果系统，系统的收敛域包含单位圆，系统稳定。535已知系统函数为2152ZZH（1）画出其零极点图。（2）写出对应于下列情况下的的收敛域。（A）系统是因果的；（B）系统是逆因果的；（C）系统是稳定的。（3）求出对应于以上情况的系统的单位取样响应。NH解112052HZZ极点，（2）系统是因果的，HZ收敛域|2系统是逆因果的，HZ收敛域1|Z系统是稳定的，HZ收敛域|2（3）11205NNHZZ，右边序列|时，在内有一阶极点，所以有1N1NZXC12Z，。11122|3NNZZH时，在内有一阶极点，所以有0N1NZXC2Z，0Z005211|2521036ZHZ112NNHU，左边序列|Z时，在外有一阶极点，所以有0N1NZXC12Z，。11122|3NNZZH113NNU，双边序列|2Z时，在内有一阶极点，所以有。1N1NZXC12Z112|3NNZH时，在内有一阶极点，所以有01N00051|2522136ZZHNZ时，在外有一阶极点，所以有0N1NZXC。12|3NZH11236NNUU536已知离散时间系统的差分方程为156NXYY求该系统的系统函数，画出系统函数的零极点图，并求系统的单位取样响应和频ZHZHNH率响应。JE解对差分方程求Z变换121655YZYXZ1235HXZ极点，零点123,5Z120,12117563HZZ735NNHU21|65JWJWJWZEJJEE537求下列差分方程所描述的系统的系统函数，单位取样响应和频率响应。ZHNHJEH（1）NXYN163（2）328NXX（3）XY（4）XYNN31（5）12254NY（6）36XY（1）解对差分方程求Z变换1YZX113362HZ12NHU3|12JWJWJWZEE（2）解对差分方程求Z变换3682YXXZ123HZ68HNNN23|1JWJWJJWJZEEE（3）解对差分方程求Z变换12YX1HZ12NHU1|2JWJWZEJWHE4解对差分方程求Z变换133YYZX123HZX长除法12312312342354660396816001ZZZZZZZZ12NHU231|3JWJWJJWJZEHEE5解对差分方程求Z变换1213455YYXZ1211354HZXZ3455NNHNU2|31JWJWJWZEJJEE6解对差分方程求Z变换12256YYXZ2111323HZXZ2NHNU213|56JWJWJWZEEHE538已知离散时间LTI系统的差分方程为12412NXNYYN（1）求系统的频率响应。（2）若输入为，求系统响应。XN,1Y（3）若输入为，求系统响应。UN（1）解对差分方程求Z变换12124YZYXZ12HXZ21|24JWJWJWZEJJEE21COSNNX对于，相当于，有26105JJEHE6COSSYN13,NXUXZ1124ZYZH11182522114JJZJZJZ8121214452NNNJJYNJJU539已知离散时间LTI系统的差分方程为12150NXNY求当激励为时，系统的稳态响应。2COSNXS（1）解对差分方程求Z变换1105YZX12HZ|105JWJWJWZEE对于，相当于，有COS2XN2222105JJJEHEJECOSCOS1SYNN540已知离散时间LTI系统的系统函数，求当激励为2184ZZH时，系统的稳态响应。6SIN1XNYS解24|8JWJWJWZEEHE对于，相当于，有16SINX60613632401594I2568JJJJJEEE00105SINSINSYN541已知离散时间LTI因果系统的系统函数，1802ZZH（1）列写系统的差分方程。（2）若系统的激励为时，求系统的稳态响应。NNXCOS6S1NYS解（1）1028YZHX1082YNXN（2）0|18JWJWJWZEHE对于，相当于，有1X0028JJEESYN对于，相当于，有2COS6XN6W052660512087418JJJHEIEE574COSSYNN对于，相当于，有3XW002189JJJHEEE1COS9SYN01057452COS69SNN542已知离散时间LTI因果系统的系统函数，为实数。1AZH（1）假设，画出零极点图，指出收敛域。值在哪些范围内才能使系统稳定10A（2）证明这个系统是全通系统，即其频率响应的幅度为常数。解（1）1ZHA极点，零点，收敛域ZA1|ZA因果系统稳定，则，因而能使系统稳定。|01（2）|JWJWJWZEHEA1|JA所以系统稳定。543已知序列的Z变换的零极点图如题图543所示。NXX（1）如果已知的傅里叶变换是收敛的，试求的收敛域。试确定是右边序列、ZXNX左边序列还是双边序列。（2）如果不知道序列的傅里叶变换是否收敛，但知道序列是双边序列，试问题图543所示的零极点图能对应多少个不同的序列，对每种可能的序列指出它的Z变换收敛域。2（2）ZREJIM05题图543解极点，零点1205,Z1,20Z（1）的傅里叶变换收敛，收敛域包含单位圆，则的收敛域，是双XNXZ05|2ZXN边序列。（2）如果是双边序列，只有一种，收敛域05|2544已知一个因果的离散时间LTI系统的差分方程为11NXYNY（1）求这个系统的系统函数，画出的零极点图，并指出其收敛域。ZHZ（2）求这个系统的单位取样响应。H（3）验证上述系统是一个不稳定系统，并求满足上述差分方程的一个稳定但非因果的系统的单位取样响应。NH1解对差分方程求Z变换1212YZZYXZ12HX1522ZZ极点，零点,收敛域1,20Z15|2（2）1211552HZZZ511252NNHNU（3）因果系统的极点不全在单位圆内，系统不稳定。收敛域为时，系统1515|22Z稳定但非因果。5151122NNHNUU545已知一个离散时间LTI系统的差分方程为NXYNY2125（1）试问该系统是否稳定，是否因果没有限制。（2）研究这个差分方程的零极点图，求系统的单位取样响应的3种可能选择方案，验证每种方案都满足差分方程。解对差分方程求Z变换125YZYXZ12HX25ZZ极点，零点12,Z1,20Z（1）当时，系统稳定。当是因果系统。|2（2）11432HZZ当时，1|NHU当时，|2Z4213N