全国自考历年线性代数试题及答案

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高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码04184一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1已知2阶行列式M,N,则（）21BA21CB21CABAMNBNMCMND（MN）2设A,B,C均为N阶方阵，ABBA，ACCA，则ABC（）AACBBCABCCBADBCA3设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|1，|B|2，则行列式|B|A|之值为（）A8B2C2D84已知A，B，P，Q，则B（）321A321A10103APABAPCQADAQ5已知A是一个34矩阵，下列命题中正确的是（）A若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）2B若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）2C若秩（A）2，则A中所有3阶子式都为0D若秩（A）2，则A中所有2阶子式都不为06下列命题中错误的是（）A只含有一个零向量的向量组线性相关B由3个2维向量组成的向量组线性相关C由一个非零向量组成的向量组线性相关D两个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组1,2,3线性无关，1,2,3，线性相关，则（）A1必能由2,3，线性表出B2必能由1,3，线性表出C3必能由1,2，线性表出D必能由1,2,3线性表出8设A为MN矩阵，MN,则齐次线性方程组AX0只有零解的充分必要条件是A的秩（）A小于MB等于MC小于ND等于N9设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）AATBA2CA1DA10二次型F（X1,X2,X3）的正惯性指数为（）2131XA0B1C2D3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式的值为_20189712设矩阵A,B,则ATB_3013设4维向量（3,1,0,2）T,（3,1,1,4）T，若向量满足23，则_14设A为N阶可逆矩阵，且|A|,则|A1|_N115设A为N阶矩阵，B为N阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组AX0的解，则|A|_16齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_0321X17设N阶可逆矩阵A的一个特征值是3，则矩阵必有一个特征值为_123A18设矩阵A的特征值为4，1，2，则数X_021X19已知A是正交矩阵，则AB_。1021BA20二次型F（X1,X2,X3）4X1X22X1X36X2X3的矩阵是_。三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式D的值。3322CBAC22已知矩阵B（2，1，3），C（1，2，3），求（1）ABTC；（2）A2。23设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该,T43TT1,0,0,极大线性无关组表示向量组中的其余向量。24已知矩阵A，B（1）求A1；（2）解矩阵方程AXB。1023135425问A为何值时，线性方程组有惟一解有无穷多解并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求63241321XAX用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。26设矩阵A的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数A的值及可逆矩阵P，使P1AP。302A5021四、证明题（本题6分）27设A，B，AB均为N阶正交矩阵，证明（AB）1A1B1。全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A表示A的伴随矩阵；RA表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。1设3阶方阵A1，2，3，其中II1,2,3为A的列向量，若|B|122，2，3|6，则|A|（）A12B6C6D122计算行列式（）A180B120C120D180320053设A，则|2A|（）A8B4C4D84214设1，2，3，4都是3维向量，则必有A1，2，3，4线性无关B1，2，3，4线性相关C1可由2，3，4线性表示D1不可由2，3，4线性表示5若A为6阶方阵，齐次线性方程组AX0的基础解系中解向量的个数为2，则RA（）A2B3C4D56设A、B为同阶矩阵，且RARB，则（）AA与B相似B|A|B|CA与B等价DA与B合同7设A为3阶方阵，其特征值分别为2，L，0则|A2E|（）A0B2C3D248若A、B相似，则下列说法错误的是（）AA与B等价BA与B合同C|A|B|DA与B有相同特征9若向量1，2，1与2，3，T正交，则T（）A2B0C2D410设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，L，0，则（）AA正定BA半正定CA负定DA半负定二、填空题本大题共10小题,每小题2分，共20分请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1L设A,B，则AB_4210301212设A为3阶方阵，且|A|3，则|3AL|_13三元方程X1X2X30的结构解是_14设1，2，2，则与反方向的单位向量是_15设A为5阶方阵，且RA3，则线性空间WX|AX0的维数是_16设A为3阶方阵，特征值分别为2，L，则|5A1|_2117若A、B为同阶方阵，且BX0只有零解，若RA3，则RAB_18二次型FX1，X2，X32X1X2X2X3所对应的矩阵是_19设3元非齐次线性方程组AXB有解1，2，且RA2,则AXB的通解是_3120设，则AT的非零特征值是_321三、计算题本大题共6小题，每小题9分，共54分21计算5阶行列式D22设矩阵X满足方程X求非齐次线性方程组的结构解08954321XX24求向量组1（1，2，3，4），2（0，1，2，3），3（2，3，8，11），4（2，3，6，8）的秩25已知A的一个特征向量（1，1，1）T，求A,B及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值2135BA的全部特征向量26用正交变换化二次型FX1,X2,X3为标准形，并写出所用的正交变换32214X四、证明题（本大题共1小题，6分）27设1，2，3是齐次线性方程组AX0的一个基础解系证明1，12，23也是AX0的基础解系全国2010年10月高等教育自学考试线性代数经管类试题课程代码04184说明在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,RA表示矩A的秩一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A为3阶矩阵,|A|1,则|2AT|A8B2C2D82设矩阵A,B1,1,则AB1A0B1,1CD113设A为N阶对称矩阵,B为N阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是AABBABABBACABDBA4设矩阵A的伴随矩阵A,则A14321ABCD2142214321345下列矩阵中不是初等矩阵的是ABCD01011031026设A,B均为N阶可逆矩阵,则必有AAB可逆BAB可逆CAB可逆DABBA可逆7设向量组11,2,20,2,4,2,则A1,2,线性无关B不能由1,2线性表示C可由1,2线性表示,但表示法不惟一D可由1,2线性表示,且表示法惟一8设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组EAX0的基础解系所含解向量的个数为A0B1C2D39设齐次线性方程组有非零解,则为0X231A1B0C1D210设二次型FXXTAX正定,则下列结论中正确的是A对任意N维列向量X,XTAX都大于零BF的标准形的系数都大于或等于零CA的特征值都大于零DA的所有子式都大于零二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式的值为_21012已知A,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_313设矩阵A,P,则AP3_4211014设A,B都是3阶矩阵,且|A|2,B2E,则|A1B|_15已知向量组1,1,2,3,23,1,2,32,3,K线性相关,则数K_16已知AXB为4元线性方程组,RA3,1,2,3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是,9753,4321_17已知P是3阶正交矩,向量_P,201,3则内积18设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_19与矩阵A相似的对角矩阵为_30120设矩阵A,若二次型FXTAX正定,则实数K的取值范围是_K2三、计算题本大题共6小题，每小题9分，共54分21求行列式D012的值22设矩阵A求满足矩阵方程XAB2E的矩阵X,012B,1023若向量组的秩为2,求K的值K2,K6,3,14224设矩阵01B,21A1求A12求解线性方程组AXB,并将B用A的列向量组线性表出25已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2,设BA22AE,求1矩阵A的行列式及A的秩2矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵26求二次型FX1,X2,X34X1X22X1X32X2X3经可逆线性变换所得的标准形33212YX四、证明题本题6分27设N阶矩阵A满足A2E,证明A的特征值只能是1全国2011年1月说明本卷中，AT表示矩阵A转置，DETA表示方阵A的行列式，A1表示方阵A的逆矩阵，表示向量，的内积，E表示单位矩阵一、单项选择题本大题共10小题，每小题2分，共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无1设A是4阶方阵，且DETA4，则DET4AA44B45C46D472已知A2AE0，则矩阵A1AAEBAECAEDAE3设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXBC，则矩阵XAA1CBBCA1B1CB1A1CDCB1A14设A是SN矩阵SN，则以下关于矩阵A的叙述正确的是AATA是SS对称矩BATAAATCATATAATDAAT是SS对称矩阵5设1，2，3，4，5是四维向量，则AL，2，3，4，5一定线性无关BL，2，3，4，5一定线性相关C5一定可以由1，2，3，4线性表出D1一定可以由2，3，4，5线性表出6设A是N阶方阵，若对任意的N维向量X均满足AX0，则AA0BAEC秩AND0秩AN7设矩阵A与B相似，则以下结论不正确的是A秩A秩BBA与B等价CA与B有相同的特征值DA与B的特征向量一定相同8设，为矩阵A的三个特征值，则A10B20C24D301232054931239二次型FX1，X2，X3的秩为A1B2C3D43212321XXX10设A，B是正定矩阵，则AAB一定是正定矩阵BAB一定是正定矩阵CABT一定是正定矩阵DAB一定是负定矩阵二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分11设A，K为正整数，则AK12设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A1，则矩阵104321A_13设同阶方阵A，B的行列式分别为3，5，则DET（AB）_14设向量6,2,0,4,（3，1，5，7），向量满足23,则_15实数向量空间VX1,X2,XN|3X1X2XN0的维数是_16矩阵A的秩5412073_17设是齐次线性方程组AX0的两个解，则A（3）_21,21718设方阵A有一个特征值为0，则DETA3_19设P为正交矩阵，若（PX,PY）8,则（X,Y）_20设FX1，X2，X3是正定二次型，则T满足_3123214TX三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式BAC2CBA22判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵760531423求向量组1，2，1，2,2，5，6，5,3，1，1，1,1，2，7，3的一个最大线性无关组，1234并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来24求齐次线性方程组的一个基础解系及其结构解03241XX25求矩阵A的特征值和特征向量3142826写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型FX1，X2，X33212216XX四、证明题本大题共1小题，6分27设方阵A满足AE2E，且B与A相似，证明B22B0全国2011年4月高等教育自学考试说明AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。1下列等式中，正确的是（）ABCD2010212369454510212012035352设矩阵A，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A3B2C1D00343设向量（1，4），（1，2），（3，8），若有常数A,B使AB0,则（）12123AA1,B2BA1,B2CA1,B2DA1,B24向量组（1，2，0），（2，4，0），（3，6，0），（4，9，0）的极大线性无关组为（）A，B，C，D，141312235下列矩阵中，是初等矩阵的为（）ABCD01200811086设A、B均为N阶可逆矩阵，且C，则C1是（）0BAABCD101B010107设A为3阶矩阵，A的秩RA3，则矩阵A的秩RA（）A0B1C2D38设3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）ABCD1443349设矩阵A，则A的对应于特征值0的特征向量为（）1023A（0，0，0）TB（0，2，1）TC（1，0，1）TD（0，1，1）T10下列矩阵中是正定矩阵的为（）ABCD12363101二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）11行列式_12设矩阵A，B（1，2，3），则BA_12349313行列式中第4行各元素的代数余子式之和为_0153214设A，B为N阶方阵，且ABE，A1BB1AE，则A2B2_15设向量（1，2，3，4），则的单位化向量为_16设3阶方阵A的行列式|A|，则|A3|_1217已知3维向量（1，3，3），（1，0，1）则3_18设N阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为N1，则齐次线性方程组AX0的通解为_19设1，2，N是N阶矩阵A的N个特征值，则矩阵A的行列式|A|_20二次型FX1,X2,X3X1X2X1X3X2X3的秩为_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21已知矩阵A，B，求（1）ATB；（2）|ATB|010222设A，B，C，且满足AXBC，求矩阵X2345330123求向量组1,2,1,0T，（1,1,1,2）T，（3,4,3,4）T，（4,5,6,4）T的秩与一个极大线性无关组123424判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解1342XX1525设向量（1，1，0）T，（1，0，1）T，2（1）用施密特正交化方法将，化为正交的，；（2）求，使，两两正交11312326已知二次型F，经正交变换XPY化成了标准形F，求所用的正交矩阵P221313XX21Y四、证明题（本大题共6分）2