高考数学抽象函数经典综合题34例（含详细解答）

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1定义在R上的函数YFX，F00，当X0时，FX1，且对任意的A、BR，有FABFAFB，（1）求证F01；（2）求证对任意的XR，恒有FX0；（3）证明FX是R上的增函数；（4）若FXF2XX21，求X的取值范围。解（1）令AB0，则F0F02F00F01（2）令AX，BX则F0FXFX1XF由已知X0时，FX10，当X0，FX001FF又X0时，F010对任意XR，FX03任取X2X1，则FX20，FX10，X2X1011FFFX2FX1FX在R上是增函数（4）FXF2XX2FX2XX2FX23X又1F0，FX在R上递增由F3XX2F0得3XX2002时，12|A或4已知FX在1，1上有定义，F21，且满足X，Y1，1有FXFYFX1证明FX在1，1上为奇函数；对数列X12，XN12NX，求FXN求证521FFFN证明令XY0，2F0F0，F00令YX，则FXFXF00FXFX0FXFXFX为奇函数解FX1F21，FXN1F2NXFNX1FXNFXN2FXN1NF2即FXN是以1为首项，2为公比的等比数列FXN2N1解212121NNXFXFF211NNN而225N5112NXFXFF5已知函数NFFY,，满足对任意,2121XNX都有12121XFXXF；（1）试证明F为N上的单调增函数；（2）N，且0，求证FN；（3）若1F，对任意,M,有1NFM，证明NIIF1432证明（1）由知，对任意,AB，都有0BFA，由于0BA，从而FF，所以函数XF为N上的单调增函数（2）由（1）可知NN都有FN1FN,则有FN1FN1FN1FN1,FNFN11F2F1F1F0由此可得FNF0NFNN1命题得证（3）（3）由任意,MN,有FMF得由F01得M01F则FN1FN1,则FNN1213133121NNNNIIF6已知函数的定义域为，且同时满足FX0,11对任意，总有；,2FX213F3若且，则有20,121212FXFXFI求的值；II求的最大值；FXIII设数列的前项和为，且满足NANS23,NNAN求证12313FFFFA解（I）令，由3,则0X0,0F由对任意，总有,FXF（II）任意且，则12122121,XFX21FXFFFMA3III12NNSN123NNSA133,0A1334NNNNNNNFFFFFF，即。11414F2211221444333333NNNNNNFAFFA故12即原式成立。1213NFFFA7对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条对任意的，总有；0,1FX0,1X0FX；若，都有成立，则称函数为理想1F212,X1212FXFF函数1若函数为理想函数，求的值；F0F2判断函数是否为理想函数，并予以证明；21XG,3若函数为理想函数，假定，使得，且，求证F0,1X0,1FX0FX0FX解（1）取可得021FFF又由条件，故F0（2）显然在0，1满足条件；12XG0XG也满足条件若，则01X221X12112XXXGG，即满足条件，0122121XXX故理想函数（3）由条件知，任给、0，1，当时，由知0，1，MNNMNFFFFNF若，则，前后矛盾；0X00X若，则，前后矛盾FFF故0X8已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有FX0X12X恒成立。012012FXFX求的值；若,且对任意正整数,有,求数列AN的通项公式；0FXN12NAF若数列BN满足，将数列BN的项重新组合成新数列，具体法则如下12OGNC，求证。123456,CCB478910,C1231294NC解令，得，120X0FXF令，得，1,1010FF由、得，又因为为单调函数，0FXFFXX由（1）得，121212FF11,22FFF10,A，11112NNNNNFFFFFF1,22，1NNA1N11222NNNBOGOG由CN的构成法则可知，CN应等于BN中的N项之和，其第一项的项数为12N111，即这一项为211NN111CNNN11NN13NN12N1N2N1N32319284当时，321112NNNA3331124834N11298N解法232340,41N333111248423119866NNNN9设函数FX是定义域在0,上的单调函数，且对于任意正数,XY有FFXY，已知21F（1）求F的值；（2）一个各项均为正数的数列NA满足1NNNFSFAFN，其中NS是数列NA的前N项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数M，使12NNA12A21NA对一切N成立若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由解（1）FXYFY，令1X，有12FF，10F再令12,，有2F，20FF，（2）1NNFSFANNAA,又X是定义域0,上单调函数，0S，12，12NNSA当1时，由112，得1A，当N时，11N由，得12NNSA，化简，得2110A，10NN，0N，N，即NA，数列为等差数列1A，公差1D1D，故（3）212NNNA，1232NAN令12NNABA31N,而1231NN1NBN23N24813N，1N，数列NB为单调递增函数，由题意NMB恒成立，则只需MINB123，230,M，存在正数M，使所给定的不等式恒成立，M的取值范围为230,10定义在R上的函数F（X）满足，且时，F（X）FXYFXYF112，120时，FNFMFN01；（2）求证F（X）在R上单调递减；（3）设集合，AYFFYF,|221，若，求A的取值范围。BXYFAA,|1，AB解（1）令M1，N0，得F（1）F（1）F（0）又当X0时，00令MX，NX，则F（0）F（X）F（X）所以F（X）F（X）1又00恒成立所以FXF2121所以021FX所以F（X2）0使，试问F（X）是否为周期函数若是，指出它的一个周期；若不F20是，请说明理由。解（1）令AB0则F（0）F（0）2F（0）F（0）所以2F（0）F（0）10又因为，所以F（0）1（2）令A0，BX，则F（X）F（X）2F（0）F（X）由F（0）1可得F（X）F（X）所以F（X）是R上的偶函数。（3）令，则ACB2，FXFXCFXCF22因为FC20所以F（XC）F（X）0所以F（XC）F（X）所以F（X2C）F（XC）F（X）F（X）所以F（X）是以2C为周期的周期函数。13已知函数F（X）的定义域关于原点对称，且满足（1）FFFX12121（2）存在正常数A，使F（A）1求证（1）F（X）是奇函数；（2）F（X）是周期函数，并且有一个周期为4A证明（1）设，则TX12FTFXFFFFXFT221211所以函数F（X）是奇函数。（2）令，则A12，FAFFA21即F解得F（2A）0所以FXFXAFFXFAXFX2121所以FAFXAFXF421因此，函数F（X）是周期函数，并且有一个周期为4A。14已知对一切，满足，且当时，求证Y，FFXYFY0，X0FX1（1）时，（2）在R上为减函数。X01FX；证明对一切有。YR，FXYFY且，令，得，FX01现设，则，0FX而FFXFF1，0X设且，R12，X12则FX，X221FXFF1，12即为减函数。FX15已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数X，不等式，1恒成立，求K的值。FKXFKXSINSIN2分析由单调性，脱去函数记号，得KXX222214ISNSII由题意知12两式对一切恒成立，则有XRKXK222114941SINMIAX16设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当RF,YFXYFY12F时，。0X0FX（1）判断FX的奇偶性，并加以证明；（2）试问当20032003时，是否有最值如果有，求出最值；如果没有，说明理由；FX（3）解关于的不等式，其中X2211FBBF2B分析与解令XY0，可得F00令YX，则F0FXFX，FXFX，FX为奇函数设3X1X23，YX1，XX2则FX2X1FX2FX1FX2FX1，因为X0时，FX0，故FX2X10，即FX2FX10。FX2FX1、FX在区间2003、2003上单调递减X2003时，FX有最大值F2003F2003F20021F2002F1F2001F1F12003F14006。X2003时，FX有最小值为F20034006。由原不等式，得FBX2FB2XFXFB。即FBX2FB2X2FXFBFBX2B2X2FXB，即FBXXBFXBFXBFBXXBF2FXB由FX在XR上单调递减，所以BXXB2XB，XBBX20B22,B或B2当B时，B，不等式的解集为BX|当B时，B，不等式的解集为22|或当B时，不等式的解集为RXX且,|当B时，不等式解集为217已知定义在上的函数满足RFX（1）值域为，且当时，；1,010FX（2）对于定义域内任意的实数，均满足1FMFNFN,XY试回答下列问题（）试求的值；0F（）判断并证明函数FX的单调性；（）若函数F存在反函数，求证G211532GGGN分析与解（）在中，令，则有即1FMNF0,N0FM也即100FMFF21FF由于函数的值域为，所以，所以X,2100F（）函数F的单调性必然涉及到，于是，由已知FXFY，我们可以联想到是否有（）1FNFMN1FMFNFN这个问题实际上是是否成立FF为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在XFXF与0F中，令，得所以，函数为奇函数故1FMFNFNMFFMFX（）式成立所以，任取，且，则1FFFNFN12,R12，故且所以，210X210X2,X，所以，函数在R上单调递减10FFFFFX（）由于函数在R上单调递减，X所以，函数必存在反函数，FGX由原函数与反函数的关系可知也为奇函数；在上单调递减；且当时，GX1,10X0GX为了证明本题，需要考虑的关系式GX在（）式的两端，同时用作用，得，G1FMFNNG令，则，则上式可改写为,FMXFNY,MXY1XYGX不难验证对于任意的，上式都成立（根据一一对应）,1,这样，我们就得到了的关系式GX这个式子给我们以提示即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式231NXY的左端事实上，由于，211211232NNNN所以，21GG所以，2153N112342122GGGNN点评一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值0F18已知函数F（X）对任意实数X、Y都有F（XY）F（X）F（Y），且F（1）1，F（27）9，当时，。（1）判断F（X）的奇偶性；（2）判断F（X）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求A的取值范围。分析由题设可知F（X）是幂函数的抽象函数，从而可猜想F（X）是偶函数，且在0，）上是增函数。解（1）令Y1，则F（X）F（X）F（1），F（1）1，F（X）F（X），F（X）为偶函数。（2）设，时，F（X1）F（X2），故F（X）在0，）上是增函数。（3）F（27）9，又，又，故。19设函数的定义域为全体R，当XBC1,且A、B、C成等差数列，求证；2BFCFA（3）（本小题只理科做）若FX单调递增，且MN0时，有，求证2NMFNFF2M解1取X1,Q2,有若存在另一个实根，使得的一个根，是即01012XFFF10X,001QFFQXX有成立，且对任意的10,001XXFXFXF有且只有一个实根与条件矛盾，（恒成立，（2），21,QBCACBA不妨设，则0，又AC2B,Q122121BFQFFFACB4C即AC0,G12,GX是增函数GM1XGGNGMNM、NR求证FX是R上的增函数解设X1X2GX是R上的增函数,且GX0GX1GX20GX11GX210012XG1X021FX1FX2111XG121XG12XG021FX1FX2FX是R上的增函数25定义在R上的函数FX满足对任意实数M,FXMMFXF211求证FXYFXFY对任意正数X,Y都成立2证明FX是R上的单调增函数3若FXFX32,求X的取值范围解1令X2M,Y2N,其中M,N为实数,则FXYF2MNMNF2MN又FXFYF2MF2NMF2NF2MN,所以FXYFXFY,2X,02NM121且使可令设证明0FFXFX1N21得由故FX10时,FX1,且对任意X,YR,有FXYFXFY,F1212F3XF21F2,4X3F1解方程解不等式解1先证FX0,且单调递增，因为FXFX0FXF0,X0时FX1,所以F01则使假设存在某个又,0F,R,0F2FXOO2FXFXXOXOFXXOFXO0,与已知矛盾，故FX0任取X1,X2R且X10,FX2X11,所以FX1FX2FX2X1X1FX1FX2X1FX1FX1FX1FX2X110所以XR时,FX为增函数解得X|1X22F12,F22,F38,原方程可化为FX24FX50,解得FX1或FX5（舍由1得X028定义域为R的函数FX满足对于任意的实数X，Y都有FXYFXFY成立，且当X0时FX0恒成立1判断函数FX的奇偶性，并证明你的结论；2证明FX为减函数；若函数FX在3，3）上总有FX6成立，试确定F1应满足的条件；A,N,AFXFN1FAXFN122是一个给定的自然数的不等式解关于解（1）由已知对于任意XR，YR，F（XY）F（X）F（Y）恒成立令XY0，得F（00）F（0）F（0），F（0）0令XY，得FXXFXFX0对于任意X，都有FXFXFX是奇函数（2）设任意X1，X2R且X1X2，则X2X10，由已知F（X2X1）0（1）又F（X2X1）F（X2）F（X1）F（X2）F（X1）（2）由（1）（2）得FX1FX2,根据函数单调性的定义知FX0在，上是减函数FX在3，3上的最大值为F3要使FX6恒成立，当且仅当F36，又F（3）F（3）F（21）F（2）F（1）F（1）F（1）F（1）3F（1），F（1）2（3）F（AX2）F（X）F（A2X）F（A）NN1F（AX2）F（A2X）NF（X）F（A）F（AX2A2X）NF（XA）（10分）由已知得FN（XA）NF（XA）F（AX2A2X）FN（XA）F（X）在（，）上是减函数AX2A2XN（XA）即（XA）（AXN）0，A0，（XA）（X）0，（11分）A讨论（1）当A0，即A时，NN原不等式解集为X|X或XA；（2）当A0即A时，原不等式的解集为；ANN（3）当A0时，即A0时，原不等式的解集为X|XA或X29已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足FX,ABRFABFA（）求的值；0,1F（）判断的奇偶性，并证明你的结论；X（）若，求数列的前项的和22,NNFFUNNUNS解（）取AB0得F00,取AB1得F10,（）取AB1得F12F1,所以F10,取AX,B1得FXFXXF1FX,所以FX是奇函数；（）12NS30（2005年广东省高考试题）设函数在上满足，FX,2FXF，且在闭区间0，7上，只有7FXF130F（）试判断函数的奇偶性；YFX（）试求方程0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解由F2XF2X,F7XF7X得函数的对称轴为,XFY72X和从而知函数不是奇函数,XFY由141472XFXFXFXFFF,从而知函数的周期为10XY0T又,故函数是非奇非偶函数3FF而XFII由141472XFXFFFXFF10XII又0973,3FFFFF故FX在0,10和10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在20050上有400个解,XFY所以函数在2005,2005上有802个解31设定义在R上且对任意的有，求证是周期函数，并找FXXFFXF12FX出它的一个周期。分析这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。FXFFX证明XF121FXF123得2X由（3）得FF364由（3）和（4）得。X上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。RFX32设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有FXX1X120，。FX1212（I）设求