高数习题答案- 作业32

1、用比较判别法判（或极限形式的比较判别发）定下列级数的敛散性1）LN解因为，而级数发散，所以发散。11L2N12N1LN2）312LN解，而级数收敛，所以收敛。3322L312N312LN3）10NA解当时，因为级数收敛，所以1NNA1NA收敛。10NA当时，因为级数发散，所以12NNA12NNA发散。10NA2、用比值判别法判定下列级数的敛散性1）N解因为，所以级数发散。12LIMN12N2）1N解因为，所以级数收敛。122LIMLI11NNNNNE12N3）10NA解因为11LIMLINNNNNAEA1）当时，级数收敛；E110N2）当时，级数发散；A1NA3）当时，级数为，比值判别法无法判别1E1NE（注判别正项级数的敛散性。0N解利用拉贝判别法，因为11LIMLIM2NNNNNEE所以正项级数发散。0NE（1）用替换，则时，X10X11200LN1LIMLIXXXXEE2200N1LLILIM1XXX120001LNLNLNIMIIM3323XXXX所以11LILI2NNNNNEE（2）拉贝判别法对于正项级数，如果，则当1NU1LIMNNUR（1）时，正项级数收敛；R1N（2）时，正项级数发散；1NU（3）时，不能确定正项级数的敛散性。1R1N证明我们证明2）如果LIMNNUR取使得，由极限的定义，存在自然数，当时，有01R0N0N1NNUURR11NU因为发散，再利用第二节习题16题，有发散。）1N1N3、用根式判别法判定下列级数的敛散性1）2NN解因为，级数收敛。1LIM2NN12NN2）10NNA解因为LIM1NNA1）当时，级数收敛010NNA2）当时，级数发散A1N3）当时，因为，级数1LIMLI0NNNE发散10NNA4、用适当的方法判定下列级数的敛散性1）2N解因为，级数发散，由比较判别法发1LIMLI12NN1N12N散。2）1SIN3解因为，而级数收敛，所以级数2I3NNN123NN收敛。12SI3N3）为常数）10NA解当时，显然不满足必要条件，级数发散。1NA当时，级数收敛，由比较判别法收敛。01A1NA1NA1NA当时，不满足收敛必要条件，1LIMLI01NNAA发散。1NA5、证明题1）设且数列有界，证明级数收敛。0NU1,2NU21NU证明因为数列有界，且，所以存在一正数，使得N0N1,2M2NNNUMU因为级数收敛，由比较判别法级数收敛。21N21N2）设级数和级数都收敛且，是证明级数收敛。1NA1NBNNACB1NC证明因为级数和级数都收敛，所以级数收敛，由1N1N1NA有，所以级数和级数，由比NNACB0NNAC1NB1NC较判别法，级数收敛。因此级数收敛。1N1NNNCA6、判定下列级数的敛散性1）ARCTN解因为，级数收敛，所以级数收321ARCTN1ARCTNLIMLIN312N1ARCTN敛。2）1COSN解因为，级数收敛，所以级数收2221LIMLINN21N1COSN敛。7、设，且，试证明当收敛时，也收敛。0,NAB1NAB1NB