苏科版九年级下6.4探索三角形相似的条件专题练习含答案

第六章图形的相似（探索三角形相似的条件） 一选择题 1如图， ， A=78， ， 将 图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A B C D 2如图，点 F 在平行四边形 边 ，射线 延长线于点 E，在不添加辅助线的情况下，与 似的三角形有（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3如图， A= B=90， ， ， ，在边 取点 P，使得 似，则这样的 P 点共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与 似的是（ ） A B C D 5如图所示，在 ， G， F，交 延长线于 E，则图中的相似三角形有（ ） A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 6如图，正方形 边长为 2， E， ，线段 两端点在 滑动，当 （ ）时， 以 D、 M、 N 为顶点的三角形相似 A B C 或 D 或 二填空题（共 6 小题） 7如图，已知 A= D，要使 需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 8如图，平面直角坐标系中，已知点 A（ 4， 0）和点 B（ 0， 3），点 C 是 中点，点 P 在折线 线 得的三角形与 似，那么点 P 的坐标是 9如图，在 ， F 是 的点，直线 延长线相交于点 E，与 交于点 M， 与 交于点 P，与 交于点 N，则图中的相似三角形有 对 10将两块全等的三角板如图放置，点 O 为 点， B=10， C=6，现将三角板 ABC绕点O 旋转， BC、 AB与边 别交于点 M、 N，当 时， 似 11如图，在 ， D、 E 分别是 上的点（ 平行于 当 时， 似 12在边长为 2正方形 ，动点 E、 F 分别从 D、 C 两点同时出发，都以 1cm/s 的速度在射线移动连接 于点 P，点 Q 为 中点若以 A、 P、 Q 为顶点的三角形与以 P、D、 C 为顶点的三角形相似，则运动时间 t 为 秒 三解答题（共 16 小题） 13如图，在 ， C=1， ，在 上截取 C，连接 （ 1）通过计算，判断 D 的大小关系； （ 2）求 度数 14如图，在正方形 ， E、 F 分别是边 的点， D， 接 延长交延长线于点 G （ 1）求证： （ 2）若正方形的边长为 4，求 长 15如图， ， C=90， ， ，点 D 是 中点，点 E 在 延长线上，且 点 B 作 延长线于点 F，交 延长线于点 G （ 1）求证： G； （ 2）若点 P 是直线 的一点，试确定点 P 的位置，使 似 16在矩形 ，点 E 是 中点， 直 点 F，求证： 17如图，在 ， 0， M 是 中点，过点 A 作 垂线，交 延长线于点 D求证： 18将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似 ？ 19如图，在 ， 0， ， ，过点 B 作射线 点 D 从点 A 出发沿射线 个单位的速度运动，同时动点 沿射线 个单位的速度运动过点 D 作 H，过点 E 作 射线 F， G 是 点，连接 点 D 运动的时间为 t 秒 （ 1）当 t 为何值时， B，并求出此时 长度； （ 2）当 似时，求 t 的值 20如图，在 ， 别是 上的高求证： 21如图所示， ，已知 0， C=2，点 D 在 运动（不能到达点 B， C），过点 D 作 5， 点 E （ 1）求证： （ 2）当 等腰三角形时，求 长 22如图，在 ， 6点 P 从点 A 开始沿 运动，速度为 2cm/s；动点 开始沿 运动，速度为 4cm/s；如果 P、 Q 两动点同时运动，那么何时 似？ 23如图，四边形 是平行四边形， B， C， E 在一条直线上，点 R 为 中点， 别交 点 P， Q （ 1）则图中相似三角形（相似比为 1 除外）共有 对； （ 2）求线段 说明理由 24如图，在正方形 ， E 为 任意一点（与 B、 C 不重合） 0观察图形： （ 1） 否相似？并证明你的结论 （ 2）若 E 为 中点，连结 中有哪些相似三角形？并说明理由 25如图，在 ， m， m，点 P、 Q 同时由 C、 B 两点出发分别沿 点 A、 们的速度分别是 2 米 /秒、 1 米 /秒，问几秒后 似？ 26如图，巳知 （ 1）若 ， ， 0，请问在 是 否存在 P 点，使以 P、 A、 B 三点为顶点的三角形与以 P、C、 D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 长；若不存在请说明理由； （ 2）若 ， ， 2，请问在 存在多少个 P 点，使以 P、 A、 B 三点为顶点的三角形与以P、 C、 D 三点为頂点的三角形相似？并求 长 27如图，在平面直角坐标系中，已知 厘米， 厘米点 P 从点 B 开始沿 向终点 A 以 1厘米 /秒的速度移动；点 Q 从点 A 开始沿 向终点 O 以 1 厘米 /秒的速度移动若 P、 Q 同时出发，运动时间为 t（ s） （ 1）当 t 为何值时， 似？ （ 2）当 t 为何值时， 面积为 8 28如图 ， ， 0， ，将 点 A 顺时针旋转得到 ，设旋转的角度是 （ 1）如图 ，当 = （用含 的代数式表示）时，点 B恰好落在 延长线上； （ 2）如图 ，连接 延长线交斜边 点 E，交 点 F请写出图中两对相似三角形 ， （不含全等三角形），并选一对证明 参考答案与解析 一选择题 1（ 2016河北）如图， ， A=78， ， 将 图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A B C D 【分析】 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】 解： A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误 故选 C 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理 是解答此题的关键 2（ 2016盐城）如图，点 F 在平行四边形 边 ，射线 延长线于点 E，在不添加辅助线的情况下，与 似的三角形有（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【分析】 直接利用平行四边形的性质得出 结合相似三角形的判定方法得出答案 【解答】 解： 四边形 平行四边形， 与 似的三角形 有 2 个 故选： C 【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键 3如图， A= B=90， ， ， ，在边 取点 P，使得 似，则这样的 P 点共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【分析】 设 AP=x，则有 B x，分两种情况考虑：三角形 三角形 似；三角形三角形 似，分别求出 x 的值，即可确定 出 P 的个数 【解答】 解：设 AP=x，则有 B x， 当 ， = ，即 = ， 解得： x=1 或 x=6， 当 ， = ，即 = ， 解得： x= ， 则这样的点 P 共有 3 个， 故选 C 【点评】 此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键 4如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与 似的是（ ） A B C D 【分析】 设小正方形的边长为 1，根据已知可求出 边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案 【解答】 解： 小正方形的边长均为 1 边分别为 2， ， 同理： A 中各边的长分别 为： ， 3， ； B 中各边长分别为： ， 1， ； C 中各边长分别为： 1、 2 ， ； D 中各边长分别为： 2， ， ； 只有 B 项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 故选 B 【点评】 此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用 5如图所示，在 ， G， F，交 延长线于 E，则图中的相似三角形有（ ） A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 【分析】 根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形 【解答】 解： 知 知 共有 6 对， 故选 D 【点评】 本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形 6如图，正方形 边长为 2， E， ，线段 两端点在 滑动，当 （ ）时， 以 D、 M、 N 为顶点的三角形相似 A B C 或 D 或 【分析】 根据 B， ， 以在 ，分 对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出 关系，然后利用勾股定理列式计算即可 【 解答】 解： 四边形 正方形， C， E， 又 以 D、 M、 N 为顶点的三角形相似， 对应边时， ， 解得 ； 对应边时， ， 即 ， 解得 或 时， 以 D、 M、 N 为顶点的三角形相似 故选 C 【点评】 本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质解决本题特别要考虑到 对应边时， 当 对应边时这两种情况 二填空题 7（ 2016娄底）如图，已知 A= D，要使 需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 【分析】 根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件 【解答】 解： A= D， 当 B= ， ， B= 添加 ，使 故答案为 【点评】 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似 8如图，平面直角坐标系中，已知点 A（ 4， 0）和点 B（ 0， 3），点 C 是 中点，点 P 在折线 线 得的三角形与 似，那么点 P 的坐标是 （ 0， ），（ 2， 0），（ ， 0） 【分析】 分类讨论：当 ， 得 P 点坐标为（ 0， ）；当 ， 得 P 点坐标为（ 2， 0）；当 ，如图，由于 到 = ，再计算出 可利用比例式计算出 是可得到 长，从而得到 P 点坐标 【解答】 解：当 ， 点 C 是 中点，所以 P 为 中点，此时 P 点坐标为（ 0， ）； 当 ， 点 C 是 中点，所以 P 为 中点，此时 P 点坐标为（ 2， 0）； 当 ，如图， = ， 点 A（ 4， 0）和点 B（ 0， 3）， =5， 点 C 是 中点， ， = ， ， A = ， 此时 P 点坐标为（ ， 0）， 综上所述，满足条件的 P 点坐标为（ 0， ），（ 2， 0），（ ， 0） 故答案为（ 0， ），（ 2， 0），（ ， 0） 【点评】 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了坐标与图形性质注意分类讨论思想解决此题 9如图，在 ， F 是 的点，直线 延长线相交于点 E，与 交于点 M， 与 交于点 P，与 交于点 N， 则图中的相似三角形有 16 对 【分析】 根据相似三角形的判定，判断出 而得到 似可得与 似的有 6 对； 与 似的有 3 对；与 似的有 1 对 【解答】 解： E= 故与 似的有 6 对； 类似的，与 似的有 6 对； 与 似的有 3 对； 与 似的有 1 对 故答案为 16 【点评】 本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键 10将两块全等的三角板如 图放置，点 O 为 点， B=10， C=6，现将三角板 ABC绕点O 旋转， BC、 AB与边 别交于点 M、 N，当 或 时， 似 【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出 A=，由勾股定理求出 ，由全等 三角形的性质得出 B= 似，分两种情况： 当 N 时，作 D， E，则 D= ，由勾股定理求出 三角形的面积求出 相似三角形的性质得出比例式求出 N= ，由勾股定理求出 出 D = ； 当 出 = = ，求出 勾股定理求出 可得出 长 【解答】 解： 0，点 O 为 点， B=10， C=6， A=， =8， ABC， B= 若 似，分两种情况： 当 N 时，作 D， E，如图所示： 则 D= ， 面积 = E= C， = =3， = ， = = ， 即 ， N= ， = ， D = ； 当 N 时， = = = ， 即 ， 解得： ， = ， D = ； 综上所述：当 或 时， 似 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键 11如图，在 ， D、 E 分别是 上的点（ 平行于 当 不唯一，如 C 时， 似 【分析】 两个对应角相等即为相似三角形， A 为公共角，只需一角对应相等即可 【解答】 解：由题意， C 即可 证明： C， A 为公共角 【点评】 熟练掌握相似三角形的判定方法 12在边长为 2正方形 ，动点 E、 F 分别从 D、 C 两点同时出发，都以 1cm/s 的速度在射线移动连接 于点 P，点 Q 为 中点若以 A、 P、 Q 为顶点的三角形与以 P、D、 C 为顶点的三角形相似，则运动时间 t 为 2 或 4 秒 【分析】 分两种情况： E 点在 ； E 点在 ；根据相似三角形的性质得到 比例式求出运动时间 t 即可 【解答】 解：分两种情况： 如图 1， E 点在 ， = ， ， = ， 以 A、 P、 Q 为顶点的三角形与以 P、 D、 C 为顶点的三角形相似， = ，即 = ， 解得 t=2； 似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得 t=4 符合题意 【点评】 考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用 三解答题 13（ 2016福州）如图，在 ， C=1， ，在 上截取 C，连接 （ 1）通过计算，判断 D 的大小关系； （ 2）求 度数 【分析】 （ 1）先求得 长，然后再计算出 D 的值，从而可得到 D 的关系； （ 2）由（ 1）可得到 C后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明 据相似三角形的性质可知 A， B，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理 可求得 度数 【解答】 解：（ 1） C， ， ， = = ， D=1 = C （ 2） C， C C 又 C= C， ， A B= A= C= 设 A=x，则 x， x， C=2x A+ C=180， x+2x+2x=180 解得： x=36 6 【点评】 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得 解题的关键 14 如图，在正方形 ， E、 F 分别是边 的点， D， 接 延长交延长线于点 G （ 1）求证： （ 2）若正方形的边长为 4，求 长 【分析】 （ 1）利用正方 形的性质，可得 A= D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得 （ 2）根据平行线分线段成比例定理，可得 长，即可求得 长 【解答】 （ 1）证明： 正方形， B=C， A= D=90， D， ， ， ， （ 2）解： 正方形， ， 又 方形的边长为 4， ， ， C+0 【点评】 此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结 合思想的应用 15如图， ， C=90， ， ，点 D 是 中点，点 E 在 延长线上，且 点 B 作 延长线于点 F，交 延长线于点 G （ 1）求证： G； （ 2）若点 P 是直线 的一点，试确定点 P 的位置，使 似 【分析】 （ 1）利用平行分线段成比例定理得出 = = ，进而得出 即可得出答案； （ 2）分别利用第一种情况：若 二种情况：若 而求出相似三角形即可得出答案 【解答】 （ 1）证明： = = ， D， G， F， 在 ： ， G； （ 2）解：当 为 或 时， 似； ， ， ， 第一种情况：若 如图 1： 在 ， D= 第二种情况：若 C 点作 H 点如图 2： 0， = ， ， 综上所述：当 时， 似 【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键 16在矩形 ，点 E 是 中点， 直 点 F，求证 ： 【分析】 根据已知结合相似三角形的判定与性质得出 = ，进而得出 【解答】 证明： 0， 四边形 矩形， 0， 又 = ， 点 E 是 中点， D， = ， 又 【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出 = 是解题关键 17 如 图，在 ， 0， M 是 中点，过点 A 作 垂线，交 延长线于点 D求证： 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线性质求出 M，推出 C= 出 出 C，根据相似三角形的判定得出即可 【解答】 证明： 0，点 M 是 中点， M， C= 0， C， D= D， 【点评】 本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出 C 是解此题的关键 18将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？ 【分析】 先利用等腰直角三角形的性质得到 B= 5，再加上公共角，于是可判断 【解答】 解：有相似三角形， 它们为 理由如下： 等腰直角三角形， B= 5， 而 【点评】 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似解决的关键是灵活运用相似三角形的判断 19 如图，在 ， 0， ， ，过点 B 作射线 点 D 从点 A 出发沿射线 个单位的速度运动，同时动点 沿射线 个单位的速度运动过点 D 作 H，过点 E 作 射线 F， G 是 点，连接 点 D 运动的时间为 t 秒 （ 1）当 t 为何值时， B，并求出此时 长度； （ 2）当 似时，求 t 的值 【分析】 （ 1）在 ，利用勾股定理可求得 长，即可得到 t 的值，从而确定 长，由 E 可得解 （ 2）若 似，要分两种情况： H： H： 据这些比例线段即可求得 t 的值（需注意的是在求 表达式时，要分 种情况） 【解答】 解：（ 1） 0， ， ， =5 t， t， 当 B 时， 5t=5，即 t=1； C+3t=6， 5=1 （ 2） C=4， G 是 中点， 当 t ）时， E +3t 5t=3 2t， 若 似，则 或 ， 或 ， t= 或 t= ； 当 t ）时， D t（ 3+3t） =2t 3， 若 似，则 或 ， 或 ， 解得 t= 或 t= ； 综上所述，当 t= 或 或 或 时， 似 【点评】 此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题 20如图，在 ， 别是 上的高求证： 【分析】 首先由在 ， 别是 上的高，证得 可得 E：而证得结论 【解答】 证明： 在 ， 别是 上的高， 0， C 是公共角， A： E： 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质注意证得 关键 21如图所示， ，已知 0， C=2，点 D 在 运动（不能到达点 B， C），过点 D 作 5， 点 E （ 1）求证： （ 2）当 等腰三角形时，求 长 【分析】 （ 1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是 45，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到 B+ 而证明 据两个角对应相等，得到两个三角形相似； （ 2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论根据等腰三角形的性质进行计算 【解答】 （ 1）证明： ， 0， C=2， B= C=45 B+ B+ 又 5， 45+ 5+ （ 2）解：讨论： 若 E 时， 0，此时 D 点与点 B 重合，不合题意 若 E 时， 相似比为 1，此时 于是 C=2， ， C （ 2 2） =4 2 若 E，此时 5， 如下图所示易知 C由等腰三角形的三线合一可知： E= 【点评】 熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题 22如图，在 ， 6点 P 从点 A 开始沿 运动，速度为 2cm/s；动点 开始沿 运动，速度为 4cm/s；如果 P、 Q 两动点同时运动，那么何时 似？ 【分析】 设经过 t 秒时，以 似，则 t， 2t， t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论： = 时， = ；当= 时， = ，然后方程解方程即可 【解答】 解：设经过 t 秒时，以 似，则 t， 2t， t， 当 = 时， = ，解得 t=2（ s）； 当 = 时， = ，解得 t=s）； 即经过 2 秒或 时， 似 【点评】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键 23如图，四边形 是平行四边形， B， C， E 在一条直线上，点 R 为 中点， 别交 点 P， Q （ 1）则图中相似三角形（相似比为 1 除外）共有 3 对； （ 2）求线段 说明理由 【分析】 此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形 （ 1）根据平行四边形的性质，可得到角相等 E，可得 （ 2）根据 得出 据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系 【解答】 解：（ 1） 四边形 平行四边形， E， 同理可得 四边形 平行四边形， 综上所述，图中相似三角形（相似比为 1 除外）共有 4 对 故答案是： 4 （ 2） 四边形 四边形 是平行四边形， D= P： R， 中位线， R， = ， 又 又 点 R 是 点， E = = = ， 又 R=R=3 ： 1： 2 【点评】 此题考查了相似三角形的判定和性质： 如果两个三角形的三 组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似 24如图，在正方形 ， E 为 任意一点（与 B、 C 不重合） 0观察图形： （ 1） 否相似？并证明你的结论 （ 2）若 E 为 中点，连结 中有哪些相似三角形？并说明理由 【分析】 （ 1）由正方形的性质得出 B= C= D=90， C=D，由角的互余关系得出 可证出 （ 2）由（ 1）的结论和已知条件得出 E=2 CF=a，则 E=2a， C=D=4a， a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出 直角三角形， 0，得出 ，证出 可得出结论 【解答】 解：（ 1）相似，理由如下： 四边形 正方形， B= C= D=90， C=D， 0， 0， 0， （ 2） 由如下： E 为 中点， E= 由（ 1）得： =2， E=2 设 CF=a，则 E=2a， C=D=4a， a， 4a） 2+（ 2a） 2=20 2a） 2+ 4a） 2+（ 3a） 2=25 =2， ， 又 B=90， 【点评】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定 理进行计算是解决（ 2）的关键 25如图，在 ， m， m，点 P、 Q 同时由 C、 B 两点出发分别沿 点 A、 们的速度分别是 2 米 /秒、 1 米 /秒，问几秒后 似？ 【分析】 设 x 秒后 似；则 x， BQ=x， x当 ，或 时， 似，解方程 即可 【解答】 解：设 x 秒后 似 由题知， x， BQ=x， x C= C， 当 ，或 ， 似 ，或 ， 解得： x= ，或 x= ； 秒或 秒后 似 【点评】 本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两边成比例得出方程是解决问题的关键 26如图，巳知 （ 1）若 ， ， 0，请问在 是否存在 P 点，使以 P、 A、 B 三点为顶点的三角形与以 P、C、 D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 长；若不存在请说明理由； （ 2）若 ， ， 2，请问在 存在多少个 P 点，使以 P、 A、 B 三点为顶点的三角形与以P、 C、 D 三点为頂点的三角形相似？并求 长 【分析】 （ 1）设 BP=x，则 0 x，由于 B= D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当 = 时， = ，当 = 时， = ，然后分别解方程求出 x 的值即可得到 长； （ 2）设 BP=x，则 2 x，与（ 1）解答一样