2016年桂林、百色、崇左五市高考数学文科模拟试卷含解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A= 1， 0，集合 B=0， 1， 2，则 A B 的子集个数是（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 2已知 i 是虚数单位，则复数 z=i（ 1 i）的实部为（ ） A 1 B 1 C i D i 3命题 “ x R， 无理数 ”的否定是（ ） A xR， 是无理数 B x R， 是无理数 C xR， 是无理数 D x R， 是无理数 4已知向量 =（ 2， 1），与 =（ m， 3）平行，则 m=（ ） A B C 6 D 6 5某年级有 1000 名学生，随机编号为 0001， 0002， ， 1000，现用系统抽样方法，从中抽出 200 人，若 0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A 0116 B 0927 C 0834 D 0726 6已知函数 f（ x） = ，则 f（ 0） +f（ =（ ） A 19 B 17 C 15 D 13 7在 ， ： 3： ，则 ） A B C D 8将双曲线 =1 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的 “黄金三角形 ”，则双曲线 C： 的 “黄金三角形 ”的面积是（ ） A 1 B 2 2 C 1 D 2 9已知 e 为自然对数的底数，曲线 y=x 在点（ 1， ）处的切线与直线 2y 1=0平行，则实数 a=（ ） A B C D 10给出一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值的个数是（ ） 第 2 页（共 19 页） A 1 B 2 C 3 D 4 11某几何体的三视图如图所示，则其表 面积为（ ） A 8+2 B 10+2 C 6+2 D 12+2 12已知函数 f（ x） = 0）在（ ， ）上单调递减，则 的取值不可能为（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知 x， y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为 _ 14已知函数 f（ x）是奇函数，且 x 0 时， f（ x） =x+2） +a，则 f（ 2）的值为 _ 15在长方体 ， ， ， ，点 M， N， P 分别是棱 C， 中点，则三棱锥 体积为 _ 16若圆 C： x2+y2=r 0）的周长被直线（ 1 x+2 1+=0（ t R）分为 1： 3两部分，则 r 的值是 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 第 3 页（共 19 页） 17已知数列 前 n 项和 ， n N+ （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 4数列 前 n 项和 18某校高三（ 1）班的一次数学测试成绩的 茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （ 1）求全班人数，并计算频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高； （ 2）若要从分数在 80， 100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 90， 100之间的概率 19如图，在三棱锥 P ， 0 （ 1）求证：平面 平面 2）已知 ， ，当三棱锥 P 体积最 大时，求 长 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 1， ），过右焦点且垂直于 x 轴的直线截椭圆所得弦长是 1 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设点 A， B 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过点（ 1， 0）的直线 l 与椭圆交于 M， N 两点（ M， N 与 A， B 不重合），证明：直线 直线 点的横坐标为定值 21设函数 f（ x） = （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 g（ x） =f（ x） + 区间（ 1， +）上没有零点，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22已知点 P 是圆 O 外的一点，过 P 作圆 O 的切线 点为 A， B，过 P 作一割线交圆 O 于点 E， F，若 2F，取 中点 D，连接 延长交圆于 H （ 1）求证： O， A， P， B 四 点共圆； 第 4 页（共 19 页） （ 2）求证： H 选修 4标系与参数方程 23已知在直角坐标系 ，圆锥曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），定点 A（ 0， ）， 圆锥曲线 C 的左、右焦点，直线 l 过点 A， （ 1）求圆锥曲线 C 及直线 l 的普通方程； （ 2）设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E， F 两点，求弦 长 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x a|+|x+2| （ 1）当 a=1，解不等式 f（ x） 5； （ 2）对任意 x R，不等式 f（ x） 3a 2 都成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A= 1， 0，集合 B=0， 1， 2，则 A B 的子集个数是（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 【考点】 并集及其运算；子集与真子集 【分析】 由集 合 A= 1， 0，集合 B=0， 1， 2，则 A B= 1， 0， 1， 2，由此能求出集合 A B 的子集个数 【解答】 解：集合 A= 1， 0，集合 B=0， 1， 2，则 A B= 1， 0， 1， 2， 集合 A B 的子集个数为 24=16 故选 C 2已知 i 是虚数单位，则复数 z=i（ 1 i）的实部为（ ） A 1 B 1 C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案 【解答】 解： z=i（ 1 i） =i +i， 复数 z=i（ 1 i） 的实部为 1 故选： A 3命题 “ x R， 无理数 ”的否定是（ ） A xR， 是无理数 B x R， 是无理数 C xR， 是无理数 D x R， 是无理数 【考点】 命题的否定 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 “ x R， 无理数 ”的否定是： x R， 是无理数 故选： D 4已知向量 =（ 2， 1），与 =（ m， 3）平行，则 m=（ ） A B C 6 D 6 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量的平行列出方程求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1），与 =（ m， 3）平行， 可得 m= 6 故选： C 第 6 页（共 19 页） 5某年级有 1000 名学生，随机编号为 0001， 0002， ， 1000，现用系统抽样方法，从中抽出 200 人，若 0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A 0116 B 0927 C 0834 D 0726 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的定义求出样本间隔即可 【解答】 解：样本间隔为 1000 200=5， 因为 122 5=24 余 2，故抽取的余数应该是 2 的号码， 116 5=23 余 1， 927 5=185 余 2， 834 5=166 余 4， 726 5=145 余 1， 故选： B 6已知函数 f（ x） = ，则 f（ 0） +f（ =（ ） A 19 B 17 C 15 D 13 【考点】 分段函数的应用 【分析】 利用函数的解析式，真假求解函数值即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ 0） +f（ =+ =2+1+ =19 故选： A 7在 ， ： 3： ，则 ） A B C D 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 根据正弦定理得到 a： b： c=2： 3： ，设出相应的长度， 利用余弦定理 进行求解即可 【解答】 解： 在 ， ： 3： ， 在 ， a： b： c=2： 3： ， 设 a=2x， b=3x， c= x， 则 = = = ， 故选： D 8将双曲线 =1 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的 “黄金三角形 ”，则双曲线 C： 的 “黄金三角形 ”的面积是（ ） A 1 B 2 2 C 1 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 第 7 页（共 19 页） 【分析】 根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴 的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可 【解答】 解：由 得 =1， 则 a2=，则 a=2， b=2， c=2 ， 则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（ 2 ， 0），（ 2， 0），（ 0， 2）， 故所求 “黄金三角形 ”的面积 S= （ 2 2） 2=2 2， 故选： B 9已知 e 为自然对数的底数，曲线 y=x 在点（ 1， ）处的切线与直线 2y 1=0平行，则实数 a=（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 【解答】 解： y=x 的导数为 y=， 可得曲线 y=x 在点（ 1， ）处的切线斜率为 ， 由切线与直线 2y 1=0 平行，可得 =2e，解得 a= 故选： B 10给出一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值的 个数是（ ） 第 8 页（共 19 页） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 选择结构 【分析】 由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分 x 2， 2 x 5， x 5 三种情况分别讨论，满足输入的 x 值与输出的 y 值相等的情况，即可得到答案 【解答】 解：当 x 2 时，由 x2=x 得： x=0， 1 满足条件； 当 2 x 5 时，由 2x 3=x 得： x=3，满足条件； 当 x 5 时，由 =x 得： x= 1，不满足条件， 故这样的 x 值有 3 个 故选 C 11某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A 8+2 B 10+2 C 6+2 D 12+2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了 个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知 几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了 个半圆柱， 球的半径是 1， 圆柱的底面圆半径是 1，母线长是 3， 几何体的表面积 S= + 1 3+ 1 2+ 12+2 1 =8+2， 故选： A 12已知函数 f（ x） = 0）在（ ， ）上单调递减，则 的 取值不可能为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用 第 9 页（共 19 页） 【分析】 利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得 f（ x）的减区间，结合条件可得， ，且 ，由此求得 的范围，从而得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+ ）（ 0）在（ ， ）上单调递减， 2x+ 2，求得 + x + （ k Z） f（ x）在（ ， ）上单调递减， ，且 ， 求得 0 ， 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知 x， y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出题中不等式 组表示的平面区域，得如图的 其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可得当 x=3， y=1 时， z=x+2y 取得最大值为 5 【解答】 解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的 其内部，其中 A（ 1， 1）， z=x+2y，将直线 l： z=x+2y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值， z 最大值 =1+2=3 故答案为： 3 14已知函数 f（ x）是奇函数，且 x 0 时， f（ x） =x+2） +a，则 f（ 2）的值为 1 【考点】 函数的值 第 10 页（共 19 页） 【分析】 根据函数的奇偶性求出 a 的值，求出 x 0 时 f（ x）的表达式，从而求出 f（ 2）的值即可 【解答】 解： 函数 f（ x）是奇函数， f（ x） = f（ x）， 且 x 0 时， f（ x） =x+2） +a， 设 x 0，则 x 0， 故 f（ x） = +a= f（ x）， x 0 时： f（ x） = a， 而 f（ 0） =1+a=0，故 a= 1， f（ 2） = a= 2+1= 1， 故答案为： 1 15在长方体 ， ， ， ，点 M， N， P 分别是棱 C， 中点，则三棱锥 体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 V =V = 【解答】 解： M， N， P 分别是棱 中点， S = = = 平面 V =V = = = 故答案为： 16若圆 C： x2+y2=r 0）的周长被直线（ 1 x+2 1+=0（ t R）分为 1： 3两部分，则 r 的值是 【 考点】 直线与圆相交的性质 第 11 页（共 19 页） 【分析】 确定圆心角为 90，可得圆心到直线的距离为 = r，即可求出r 的值 【解答】 解： 圆 C： x2+y2=r 0）的周长被直线（ 1 x+2 1+=0（ t R）分为 1： 3 两部分， 圆心角为 90， 圆心到直线的距离为 = r， r= 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和 ， n N+ （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 4数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由数列 前 n 项和 ， n N+利用递推关系即可得出 （ 2） 4n+1 2（ n+1），利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 数列 前 n 项和 ， n N+ n=1 时， 1=1 n 2 时， n 1= = n=1 时也成立 （ 2） 4n+1 2（ n+1）， 数列 前 n 项和 =（ 22+23+2n+1） 2（ 2+3+n+1） = 2 =2n+2 4 3n 18某校高 三（ 1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： 第 12 页（共 19 页） （ 1）求全班人数，并计算频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高； （ 2）若要从分数在 80， 100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 90， 100之间的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图 【分析】 （ 1）由茎叶图先分析出分数在 50， 60）之间的频数，结合频率分布直 方图中该组的频率，可由样本容量 = ，得到全班人数，再由茎叶图求出数在 80， 90）之间的频数，结合频率分布直方图中矩形的高 = = ，得到频率分布直方图中 80， 90间的矩形的高； （ 2）先对分数在 80， 100之间的分数进行编号，并统计出从中任取两份的所有基本事件个数，及至少有一份分数在 90， 100之间的所有基本事件个数，代入古典概型概率计 算公式可得答案 【解答】 解：（ 1）由茎叶图知，分数在 50， 60）之间的频数为 2，频率为 10= 全班人数为 =25 人 又 分数在 80， 90）之间的频数为 25 2 7 10 2=4 频率分布直方图中 80， 90）间的矩形的高为 = （ 2）将 80， 90）之间的 4 个分数编号为 1， 2， 3， 4， 90， 100之间的 2 个分数编号为 5，6， 在 80， 100之间的试卷中任取两份的基本事件为： （ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 1， 6）， （ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 2， 6），（ 3， 4）， （ 3， 5），（ 3， 6），（ 4， 5），（ 4， 6），（ 5， 6），共 15 个， 其中，至少有一个在 90， 100之间的基本事件有 9 个， 故至少有一份分数在 90， 100之间的频率是 = 19 如图，在三棱锥 P ， 0 （ 1）求证：平面 平面 2）已知 ， ，当三棱锥 P 体积最大时，求 长 第 13 页（共 19 页） 【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直即可； （ 2）根据棱锥的体积公式，构造函数，通过求函数的最大值，求得三棱锥的体积的最大值及最大值时的条件 【解答】 解：（ 1）证明： 0， C=A， 平面 面 0， A=A， 平面 平面 平面 平面 （ 2）由（ 1）知： 平面 设 BC=x（ 0 x 2）， = = ， S x = = 当且仅当 x= 时，取 “=”， 故三棱锥 P 体积最大为 ，此时 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 1， ），过右焦点且垂直于 x 轴的直线截椭圆所得弦长是 1 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设点 A， B 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过点（ 1， 0）的直线 l 与椭圆交于 M， N 两点（ M， N 与 A， B 不重合），证明：直线 直线 点的横坐标为定值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （ 1）令 x=c 代入椭圆方程，可得弦长为 =1，点（ 1， ）代入椭圆方程，解方程可得 a=2， b=1，可得椭圆方程； （ 2）设直线 l 的方程为 x=， M（ N（ 将直线的方程代入椭圆方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理，求出直线 方程，求交点的横坐标，代入韦达定理，化简整理可得定值 4 【解答】 解：（ 1）设椭圆 C： + =1 的右焦点为（ c， 0）， 令 x=c，可得 y= b = ， 即有 =1， 又 + =1， 解方程组可得 a=2， b=1， 则椭圆 C 的标准方程为 +； （ 2）证明：由椭圆方程可得 A（ 2， 0）， B（ 2， 0）， 设直线 l 的方程为 x=， M（ N（ 将直线的方程代入椭圆方程 ，可得 （ 4+3=0， y1+ ， ， 直线 y= （ x+2）， y= （ x 2）， 联立直线 程，消去 y，可得 x= = ， 由韦达定理可得， = ， 即 2 可得 x= =4 即有直线 直线 点的横坐标为定值 4 21设函数 f（ x） = （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； 第 15 页（共 19 页） （ 2）若 g（ x） =f（ x） + 区间（ 1， +）上没有零点， 求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1）求出函数的定义域，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）求出函数 g（ x）的表达式，单调函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，由 g（ x） 0 得 a x，令 y= x，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x ， 令 f（ x） 0，解得： 0 x ， 故 f（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增； （ 2） g（ x） = 由 g（ x） = 0，解得： x ， 由 g（ x） = 0，解得： x ， g（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增， 又 g（ x）在（ 1， +）上没有零点， g（ x） 0 在（ 1， +）恒成立， 由 g（ x） 0 得 a x， 令 y= x，则 y= ， 当 x 1 时， y 0， y= x 在 1， +）递减， x=1 时， 1， a 1，即 a 2， +） 选修 4何证明选讲 第 16 页（共 19 页） 22已知点 P 是圆 O 外的一点，过 P 作圆 O 的切线 点为 A， B，过 P 作一割线交圆 O 于点 E， F，若 2F，取 中点 D，连接 延长交圆于 H （ 1）求证： O， A， P， B 四点共圆； （ 2）求证： H 【考点】 平行截割定理；圆周角定理 【分析】 （ 1）利用对角互补，证明 O， A， P， B 四点共圆 ； （ 2）由切割线定理证明出 相交弦定理可得 H=F，即可证明：H 【解答】 证明：（ 1）连接 圆 O 的切线， 80， O， A， P， B 四点共圆； （ 2）由切割线定理可得