条件极值拉格朗日乘数法【PPT课件】

实例 ：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = 设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果 问题的 实质 ：求 在条件 下的极值点 ( 2 0 0108 要找函数 ),( 在条件 0),( 下的可能 极值点 , 条件极值 ：对自变量有附加条件的极值 先构造函数 ),(),(),( ，其中 为某一常数，可由 (,0),(),(,0),(),(解出 , , 其中 , 就是可能的极值点的坐标 . 拉格朗日乘数法可 推广 到自变量多于两个的情况： 要找函数 ),( 在条件 0),( ， 0),( 下的极值。 先构造函数 （ 其中 21 , 均为常数 ） ),(),( ,(),( 21 ,(,0),(,0),(,0),(,0),(,0),(求解方程组 解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标 . 解 )22()22()22(则 例 1 求表面积为 体积为最大的长方体的体积 . 设长方体的长、宽、高为 x , y， z. 体积为 V . 则问题就是条件 求函数 的最大值 . )0,0,0( y ),222(),( 2 ,0,0,0 ， )22()22()22(则 令 ),222(),( 2 ,0,0,0 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22,0 ,0 ,0 (2), (1)及 (3), (2)得 ,zy ,zx ,0 ,0 ,0 (2), (1)及 (3), (2)得 ,zy ,zx 于是， 代入条件，得 22 解得 ,66 ,66 6 66 66 6 3m a x 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知， 所以， 最大值就在此点处取得。 故，最大值 最大值一定存在， 例 2 将正数 12 分成三个正数 , , 之和 使得 3 为最大 . 解 令 )12(),( 23 , 120020323322则 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322由 (1)， (2) 得 ( 5 ) ,32 由 (1)， (3) 得 ( 6 ) ,31 即，得唯一驻点 )2 ,4 ,6( ， 3m a x (5)， (6) 代入 (4)： 123132 ,6x ,4y .2 因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值 解 0102402222则 小值。约束条件下的最大与最在方程求函数例12),( 82222(2),( 2222 构造拉格朗日函数，），（），（），（），（解得可能条件极值点为01,01,10,10 ,1)0,1()0,1(,2)1,0()1,0(最小值为所以所求得的最大值为上必有最值，在有界闭集由于连续函数121/),(2 2222 在第一卦限内作椭球面 1222222切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标 . 解 设 ),( 000 椭球面上一点 , 令 1),( 222222 则 2 02|x ， 2 02|y ， 2 02|z 过 ),( 000 切平面方程为 )( 020 )(020 )(020 化简为 12 02 02 0 该切平面在三个轴上的截距各为 02 ，02 ，02 ,所 围 四 面 体 的 体 积 000222661 , 在条件 1220220220 的最小值 , 令 ,00 ),(0000001(220220220, 由 ,010,0,0220220220000(3a，3b，3c) 时 , 四面体的体积最小 i n . 01021021021220220220200200200可得 即 3030 ，30多元函数的极值 拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 微分法在几何上的应用 一 问题的提出 二 空间曲线的切线与法平面 (of in 一 问题的提出 偏 导 数 ),(00所 截 得 的 曲 线 在 点0M 处的切线x 轴的斜率 . 偏 导 数 ),(00 曲 面 被 平 面0所 截 得 的 曲 线 在 点0M 处 的 切 线y 轴的斜率 . 我们可以利用偏导数来确定空间曲线的 切向量和空间曲面的法向量 推导过程 二 空间曲线的切线与法平面 1 空间曲线 切向量 ： 000 , , 切线方程 ： 000000法平面方程： 0000000 0 z , y , 0000 (of 解： 2tt 3z , 2y , 1 t 在（ 1 ， 1 ， 1 ）点对应参数为 t = 1 3 , 2 , 1 312111 ( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0 即： x + 2 y + 3 z = 6 例 1 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。 3,2, )1,1,1(2 切线方程： 000001 : z , y , 0000 000000 0) z , y ,G ( x 0 ) z , y ,x F(: 3 z , y , 0000 切线方程： 0 000 例 2、求曲线 在点（ 1 ， 1）处的切线及法平面方程。 0, 6222 30163032 222222 1212, 1212, 1212121121,：法平面方程： x - z = 0 切线方程： 110211 设曲面方程为 0),( ,(),(),( 000 曲线在 在曲面上任取一条通过点 ,)()()(:n TM(of ),(),(),( 000000000 令 则 ,由 于 曲 线 是 曲 面 上 通 过 M 的 任 意 一条 曲 线 ，它 们 在 M 的 切 线 都 与 同 一 向 量 n垂 直 ，故曲 面 上 通 过 M 的 一 切 曲 线 在 点 M 的 切 线 都 在 同 一平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面 . 切平面方程为 0)(,()(,()(,(000000000000 通过点 ),( 000 垂 直 于 切 平 面 的 直 线称 为 曲 面 在 该 点 的 法 线 ),(),(),( 000000000000),(),(),( 000000000 曲面在 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 . 2 空间曲面方程形为 ),( 曲面在 ,)(,()(,( 0000000 曲面在 (),(0000000 ,(),( 令 )(,()(,( 0000000 切平面上点的竖坐标的增量 的全微分在点函数 ),(),( 00 因为曲面在 3 全微分的几何意义 ),( 在 ),(00全微分，表示曲面 ),( 在点 ),( 000 的 切 平 面上的点的竖坐标的增量 . 若 、 、 表 示 曲 面 的 法 向 量 的 方 向 角 ，并 假 定 法 向 量 的 方 向 是 向 上 的 ， 即 使 得 它 与 正 向 所 成 的 角 是 锐 角 ， 则 法 向 量 的 方向余弦 为 ,1c o ,1co o ),( 00 ),( 00 其中 解 ,632),( 222 ,1,1()1,1,1( 6,4,2 ,6,4,2切平面方程为 ,0)1(6)1(4)1(2 32 切平面及法 线 方程( 1, 1, 1) 在点632 面3222 求曲面 32 z 在点 )0,2,1( 处 的 切平面及法线方程 . 解 ,32),( z,42 )0,2,1()0,2,1( yF x ,22 )0,2,1()0,2,1( xF y,01 )0,2,1()0,2,1( zz 切平面方程 法线方程 ,0)0(0)2(2)1(4 42 设 为曲面上的切点 , ),(