高考数学之三角函数知识点总结

三角函数三角函数 一、基础知识一、基础知识 定义定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向， 则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任 意的。 定义定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|= ,其中 r 是圆的半径。 r L 定义定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重 合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r, 则正弦函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=， r y r x x y y x 定理定理 1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan=,商数关系：tan=； cot 1 sin cos cot, cos sin 乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan; （）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan; （ ）sin=cos, cos=sin（奇变偶不变，符号看象限） 。 2 2 定理定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间 上为增函数，在区间上为减函数，最小正周 2 2 , 2 2 kk 2 3 2 , 2 2kk 期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时, 2 2 y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值 2 域为-1，1。这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。 对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 0 , 2 k x=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为 2 2 2 增函数, 最小正周期为 ，值域为（-，+） ，点（k，0） ， （k+，0）均为其对称中 2 心。 sinyxcosyxtanyx 图象 函 数 性 质 定义域 RR , 2 x xkk 值域 1,11,1 R 最值 当时，2 2 xk k ；当 max 1y2 2 xk 时，k min 1y 当时， 2xkk ；当 max 1y2xk 时，k min 1y 既无最大值也无最小值 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2,2 22 kk 上是增函数；在k 3 2,2 22 kk 上是减函数k 在上是2,2kkk 增函数；在2,2kk 上是减函数k 在, 22 kk 上是增函数k 对称性 对称中心,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心,0 2 k k 无对称轴 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin, sin()=sincoscossin; tan()=. )tantan1 ( )tan(tan 定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+sin=2sincos, 2 2 sin-sin=2sincos, 2 2 cos+cos=2coscos, 2 2 cos-cos=-2sinsin, 2 2 sincos=sin(+)+sin(-), 2 1 cossin=sin(+)-sin(-), 2 1 coscos=cos(+)+cos(-), 2 1 sinsin=-cos(+)-cos(-). 2 1 定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=. )tan1 ( tan2 2 定理 9 半角公式:sin=,cos=, 2 2 )cos1 ( 2 2 )cos1 ( tan= 2 )cos1 ( )cos1 ( . sin )cos1 ( )cos1 ( sin 定理 10 万能公式: , , 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 . 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点 (a, b)的一个角为 ，则 sin=,cos=，对任意的角 . 22 ba b 22 ba a asin+bcos=sin(+).)( 22 ba 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，其中 a, b, c 分别是R C c B b A a 2 sinsinsin 角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的 对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin( 1 x )的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象0 （振幅变换） ；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向 右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。 定义 4 函数 y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函 2 , 2 x 数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的 2 , 2 x 反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。 方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=. 2 2 定理 16 若，则 sinxx0, 0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间上是单调函数，求和的值。 0 , 4 3 M 2 , 0 【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，对任意 xR 成立。 又 0，解得=， 2 因为 f(x)图象关于对称，所以=0。 0 , 4 3 M) 4 3 () 4 3 (xfxf 取 x=0，得=0，所以 sin) 4 3 (f . 0 24 3 所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ). 24 3 k 3 2 又0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数； 2 2 取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数； 2 2 取 k=2 时，此时 f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数， 3 10 2 2 综上，=或 2。 3 2 1.(09 山东)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象sin2yx 4 的函数解析式是 2.（1） （0707 山东）山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 sinyxcosyx 平移 个单位 （2） （全国一 8）为得到函数的图像，只需将函数的图像 cos 2 3 yx sin2yx 向 平移 个单位 （3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向 平移) 6 2sin( xyxy2cos 个单位长度 3.将函数 y = cos xsin x 的图象向左平移 m（m 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴 3 对称，则 m 的最小正值是 （D ） A. B. C. D. 6 3 2 3 5 6 4.（湖北）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对3sin()yx(,3) 3 F F 称轴是直线,则的一个可能取值是 4 x ( ) A. B. C. D. 12 5 12 5 12 1111 12 6三角公式的应用。 例 6 已知 sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，求 13 5 13 5 , 2 2 , 2 3 sin2,cos2 的值。 【解】 因为 -，所以 cos(-)=- , 2 . 13 12 )(sin1 2 又因为 +，所以 cos(+)= 2 , 2 3 . 13 12 )(sin1 2 所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=, 169 120 cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1. 例 7 求证：tan20 +4cos70 . 【解】 tan20 +4cos70 =+4sin20 20cos 20sin 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin . 3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 求值 1、 （1）(07(07 全国全国) 是第四象限角，则 12 cos 13 sin （2） （09 北京文）若，则 . 4 sin,tan0 5 cos （3） （09 全国卷文）已知ABC中，则 . 12 cot 5 A cos A (4) 是第三象限角，则= = 2 1 )sin(cos) 2 5 cos( 2 2、(1)(1) (07(07 陕西陕西) ) 已知则= . 5 sin, 5 44 sincos (2)（04 全国文）设，若，则= . (0,) 2 3 sin 5 2cos() 4 （3） （06 福建）已知则= 3 (, ),sin, 25 tan() 4 3. (1)(07(1)(07 福建福建) ) = sin15 cos75cos15 sin105 (2)（06 陕西）= 。cos43 cos77sin43 cos167 oooo （3） 。sin163 sin223sin253 sin313 4已知，则的值为 （ ） 5 3 ) 2 cos( 22 cossin A B C D 25 7 25 16 25 9 25 7 5已知 sin=，（，0） ，则 cos（）的值为 （ ） 13 12 2 4 ABCD 26 27 26 27 26 217 26 217 6.若，则的取值范围是： ( )02 ,sin3cos （） （） （） （）, 3 2 , 3 4 , 33 3 , 32 7.若则= （ ,5sin2cosaaatan ） （A） （B）2 （C） （D） 2 1 2 1 2 单调性 1.（04 天津）函数为增函数的区间是 （ ), 0()2 6 sin(2 xxy ）. A. B. C. D. 3 , 0 12 7 , 12 6 5 , 3 , 6 5 2.函数的一个单调增区间是 （ sinyx ） ABCD ， 3 ， ， 3 2 ， 3.函数的单调递增区间是 ( )sin3cos (,0)f xxx x （ ） A B C D 5 , 6 5 , 66 ,0 3 ,0 6 4 （0707 天津卷）天津卷） 设函数，则 （ ( )sin() 3 f xxx R( )f x ） A在区间上是增函数B在区间上是减函数 27 36 ， 2 ， C在区间上是增函数D在区间上是减函数 3 4 ， 5 36 ， 5.函数的一个单调增区间是 ( ) 2 2cosyx A B C D(,) 4 4 (0,) 2 3 (,) 44 (, ) 2 6若函数 f(x)同时具有以下两个性质：f(x)是偶函数，对任意实数 x，都有 f()= f( x 4 )，则 f(x)的解析式可以是 x 4 （ ） Af(x)=cosx Bf(x)=cos(2x) Cf(x)=sin(4x) Df(x) =cos6x 2 2 四. 五.对称性 1.（08 安徽）函数图像的对称轴方程可能是 （ sin(2) 3 yx ） ABCD 6 x 12 x 6 x 12 x 2 （07 福建）函数 sin 2 3 yx 的图象 （ ） 关于点对称关于直线对称 0 3 ， 4 x 关于点对称关于直线对称 0 4 ， 3 x 3（09 全国）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小3cos(2)yx 4 (,0) 3 值为 （ ） (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 7.图象 4 （2006 年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） （A） （B） sin 6 yx sin 2 6 yx （C） （D）cos 4 3 yx cos 2 6 yx 5.（2009 江苏卷）函数（为常数，sin()yAx, ,A ）在闭区间上的图象如图所示，则= . 0,0A,0 7(2010天津)下图是函数 yAsin(x)(xR)在区间上的图象， 6， 5 6 为了得到这个函数的图象，只要将 ysinx(xR)的图象上所有的点 ( ) A向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 3 1 2 B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 3 C向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 6 1 2 D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 6 8(2010全国)为了得到函数 ysin的图象，只需把函数 ysin的图象 (2x 3) (2x 6) ( ) A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 4 4 C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位 2 2 9(2010重庆)已知函数 ysin(x)的部分图象如图所示，则 ( 0，| 2) ( ) A1， B1， 6 6 C2， D2， 6 6 八.解三角形 1.(2009 年广东卷文)已知中，的对边分别为若ABCCBA, ,a b c 且，则 62ac75A o b 2.（2009 湖南卷文）在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则 cos AC A 的值等于 2 ， AC的取值范围为 . 3.（09 福建） 已知锐角的面积为，则角的大小为 ABC3 34,3BCCAC 5已知ABC 中，则的值为 7:5:4sin:sin:sinCBACcos 7.在中， ABC 5 cos 13 B 4 cos 5 C （）求的值；sin A （）设的面积，求的长ABC 33 2 ABC S BC 九.综合 1. （04 年天津）定义在 R 上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周)(xf)(xf 期是，且当时，则的值为 2 , 0 xxxfsin)() 3 5 ( f 2(04 年广东)函数 f(x)是 22 sinsin 44 fxxx （ （ ） A周期为的偶函数 B周期为的奇函数 C 周期为 2的偶函数 D.周期为 2的奇函数 3 （ 09 四川）已知函数，下面结论错误的是 )( 2 sin()(Rxxxf ( ) A. 函数的最小正周期为 2 B. 函数在区间0，上是增函数)(xf)(xf 2 C.函数的图象关于直线0 对称 D. 函数是奇函数)(xfx)(xf 4(07(07 安徽卷安徽卷) ) 函数的图象为C, 如下结论中正确的是 ) 3 2sin(3)( xxf 图象C关于直线对称; 图象 C 关于点对称; 12 11 x) 0 , 3 2 ( 函数)内是增函数; 12 5 , 12 ()( 在区间xf 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C.xy2sin3 3 5.（08 广东卷）已知函数，则是 2 ( )(1 cos2 )sin,f xxx xR( )f x （ ） A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数 2 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数 2 6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交)20)( 2 3 2 cos( ，x x y 2 1 y 点个数是 C （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 7若 是第三象限角，且 cos0，则是 2 2 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 8已知函数对任意都有，则等于 ( )2sin()f xxx()() 66 fxfx () 6 f （ ） A、2 或 0 B、或 2 C、0 D、或 022 十.解答题 1 （05 福建文）已知. 5 1 cossin, 0 2 xxx （）求的值；xxcossin （）求的值. x xx tan1 sin22sin 2 2（06 福建文）已知函数 22 ( )sin3sin cos2cos,.f xxxxx xR （I）求函数的最小正周期和单调增区间；( )f x （II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？( )f xsin2 ()yx xR 3 （2006 年辽宁卷）已知函数，.求: 22 ( )sin2sin cos3cosf xxxxxxR (I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；( )f xx (II) 函数的单调增区间.( )f x 4.（07 福建文）在中，ABC 1 tan 4 A 3 tan 5 B （）求角的大小；C （）若边的长为，求边的长AB17BC 5. （08 福建文）已知向量,且(sin,cos),(1, 2)mAA n0.m n A ()求 tanA 的值； ()求函数R)的值域.( )cos2tansin (f xxAx x 6.（2009 福建卷文）已知函数其中，( )sin(),f xx0| 2 （I）若求的值； coscos,sinsin0, 44 （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，( )f x 3 求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所( )f xm( )f xm 对应的函数是偶函数。 7.已知函数（）的最小正周期为 2 ( )sin3sinsin 2 f xxxx 0 （）求的值； （）求函数在区间上的取值范围( )f x