高等数学习题详解-第9章-无穷级数

习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) 解：（1），则，级数发散。（2）由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。（3），则，级数发散。（4）因而不存在，级数发散。（5）级数通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。（6）级数通项为，而不存在，级数发散。2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）因为所以该级数的和为即（2）由于，则所以该级数的和为即（3）级数的通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。（4）由于因而不存在，原级数发散。习题9-21. 判定下列正项级数的敛散性：(1) ; (2) ； (3) (a0); (4) ；(5) ； (6) ; (7) ; (8) ；(9) ； (10) ; (11) ; (12) 解：（1）由于，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（2）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（3）若，通项，级数显然发散；若，有，不满足级数收敛的必要条件，级数发散；若，有，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（4）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（5）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（6）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（7）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（8）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（9）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（10）通项，则，所以由根值判别法知，级数收敛。（11）由于，而级数收敛，由比较判别法推论知级数收敛。（12）对于级数，因为，由比值判别法知级数收敛；由于，而级数收敛，由比较判别法知，级数收敛。习题9-31. 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ; (2) ; (3) ;() ; (5) ； (6) ;(7) ; (8) (0x)解：（1）这是一个交错级数，,且，由莱布尼兹判别法知收敛但发散，故条件收敛。（2）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（3）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（4）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（5）由于级数和级数都绝对收敛，所以绝对收敛。（6）当n充分大时，除去级数前面有限项，这是一个交错级数，,且有，由莱布尼兹判别法知收敛但发散（），故条件收敛。（7）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（8）因为，当时，故得到所以级数的部分和数列当时有界，而数列单调递减趋于零，由狄利克雷判别法推得级数收敛。2. 设级数及都收敛，证明级数及也都收敛证：由于级数及都收敛，则级数收敛。因为，所以由比较判别法知级数收敛，即级数绝对收敛。习题9-41. 求下列幂级数的收敛域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因为，故收敛半径当时，原级数显然发散。因此，原级数的收敛域为。（2）因为，故收敛半径。当时，原级数为，由于，即，级数不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散；当时，原级数为，同样不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。因此，原级数的收敛域为。（3）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（4）令，则，于是，当，即时，原级数绝对收敛；当，即时，原级数发散；故原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（5）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（6）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。2. 求下列幂级数的和函数：(1) ； (2) 解：（1）所给幂级数收敛半径为，收敛区间为。因为，在区间内成立，则所以。（2）3. 求下列级数的和：(1) ； (2) 解：（1）由于则。所以（2）因为所以。习题9-51. 将下列函数展开成x的幂级数：(1) ; (2) ； (3) ;(4) ； (5) (6)解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）因为；而所以2. 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1) ，在x0； (2) cosx, 在x0=;(3) ，在x0=1; (4) ， 在x0解：（1）；（2）（3）（4）因为；所以习题9-61利用幂级数的展开式求下列各数的近似值：(1) (误差不超过0.0001)； (2) ln3 (误差不超过10-4)；(3) (误差不超过10-5).解：（1）由二项展开式，取可得.取前两项的和作为的近似值，其误差为故取近似值为（2）由于.令, 解出， 以代入上面的展开式, 得，取前六项作为的近似值，则误差为所以。（3）由于；则，取前两项的和作为的近似值，其误差为，所以。2. 计算的近似值，精确到10. 解：由于，则取前三项的和作为近似值，则其误差为，故所求近似值为。3假定银行的年存款利率为 5%，若以年复利计算利息，某公司应在银行中一次存入多少资金？才能保证从存入之日起，以后每年能从银行提取300万元作为职工的福利直至永远. 解： 第一次福利发放在创立之日，第一次所需要筹集的资金(单位：百万元)=3；第二次福利发放在一年后，第二次所需要筹集的资金(单位：百万元) ；第三次福利发放在二年后， 第三次所需要筹集的资金(单位：百万元) ；一直延续下去，则总所需要筹集的资金(单位：百万元)=这是一个公比为的等比级数，收敛于。因此，以年复利计算利息时，该公司需要在银行中一次存入6300万元资金。复习题9（A）1. 判别下列正项级数的敛散性：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于，而调和级数发散，所以原级数发散；（2）由于，而调和级数发散，所以原级数发散；（3）由于，而级数收敛，所以原级数收敛；（4）因为，所以原级数收敛。2. 设正项级数都收敛，试证明级数也收敛.证：由于正项级数收敛，由级数收敛的必要条件有，那么存在充分大的正整数，使得当时，成立，于是当时，。则由比较判别法的推论，可知级数也收敛。同理，可证得级数也收敛。由于，而级数收敛，因此级数绝对收敛。因为，等式左边三个级数都收敛，所以级数收敛。3. 判别下列级数:是绝对收敛?条件收敛?还是发散？（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）这是一个交错级数，,且，由莱布尼兹判别法知收敛但发散，故条件收敛。（2）因为，所以原级数绝对收敛；（3）因为不存在，即原级数不满足级数收敛的必要条件，故原级数发散；（4）因为，所以原级数绝对收敛；4. 求下列幂级数的收敛域：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）由于，则原级数收敛半径为，显然原级数只在收敛；（2）由于，则原级数收敛半径为，显然原级数的收敛域为；（3）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（4）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（5）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，级数发散；当时，原级数为，级数发散。因此，原级数的收敛域为。（6）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。5. 求下列幂级数的收敛域及和函数：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为（2）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为（3）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数发散；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛域为。级数的和为（4）由于，则原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数收敛。因此，原级数的收敛域为。由于，而所以6. 将下列函数展开成x的幂级数：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）7. 求下列函数在指定点处的幂级数展开式：（1）； （2）. 解：（1）（2）(B)1. 讨论级数的敛散性.解：由于，由比值判别法知，原级数收敛。2. 已知正项级数收敛，证明级数也收敛.反之，若收敛，是否一定收敛？证：由于正项级数收敛，由级数收敛的必要条件有，那么存在充分大的正整数，使得当时，成立，于是当时，。则由比较判别法的推论，可知级数也收敛。 反之，若收敛，则不一定收敛。例如，级数收敛，但调和级数发散。3. 已知级数收敛，证明级数绝对收敛.证：由柯西不等式，有，亦即，令，分别是级数、和的部分和。由上式，可知成立。由于级数和收敛，那么部分和数列和收敛，因此数列和有界。而，所以正项级数的部分和数列单调有界。由数列的单调有界定理，可知极限存在，所以级数收敛，亦即级数绝对收敛。4. 求幂级数的收敛半径和收敛域.解：原级数，则，级数的收率半径为。 当时，原级数为，此时级数收敛；当时，原级数为，此时级数发散。因此，原级数的收敛半径为，收敛域为。5. 将函数展开为x的幂