立体几何平行和垂直知识点

立体几何的平行和垂直定理一、空间中的平行问题1、直线与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。（线线平行线面平行）符号表示：（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行符号表示： 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、平面与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行），符号表示：（2）性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）符号表示：作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等知识是非常常见的手段有时也可用“垂直于同一个平面的两条直线平行”进行证明。二、空间中的垂直问题1、线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。2、线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。3、面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。4、在证明线线垂直时，经常利用线面垂直线线垂直，同时要注意隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、矩形的相邻两边互相垂直、直径所对的圆周角为直角、菱形或正方形的两条对角线互相垂直且平分、边长已知时可利用勾股定理得出该三角形为直角三角形等三、3种空间角1、异面直线的夹角（1）异面直线：既不相交也不平行的直线为异面直线（2）两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。（3）求异面直线夹角的步骤：先将异面直线进行平移使其相交，接着确定其夹角，最后构造三角形，利用正余弦定理进行计算2、直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。（2）求直线与平面所成角的思路：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键在于找出垂线，进而确定直线在平面内的射影，最后确定直线与平面所成的角3、二面角：（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。（1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。（2）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角1【2014高考北京卷文第17题】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.【出处：21教育名师】（1）求证：平面；（2）求证：平面