数学建模作业8-牙膏销售量模型

佛山科学技术学院上 机 报 告课程名称 数学建模 上机项目 牙膏销售量模型 专业班级 姓 名 学 号 一、问题提出 根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。二、问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。三、模型假设记牙膏销售量为，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为，公司投入的广告费用为，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为和，。基于上面的分析，我们仅利用和来建立的预测模型。四、模型建立（显示模型函数的构造过程）1）、为了大致地分析y与和的关系，首先利用表1的数据分别作出y对和的散点图。建立程序chengxu1.m如下：y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;a=polyfit(x1,y,1);y1=polyval(a,x1);b=polyfit(x2,y,2);x3=5.00:0.05:7.25;y2=polyval(b,x3);subplot(2,1,1);plot(x1,y,*,x1,y1,b);title(1 yx1);subplot(2,1,2);plot(x2,y,o,x3,y2,b);title(2 yx2)从图1可以发现，随着的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 拟合的（其中是随机变量）。而在图2中，当增大时，有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型拟合的。综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型（3）式右端和称为回归变量（自变量），是给定价差，广告费用时，牙膏销售量的平均值，其中的参数称为回归系数，由表1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差中。如果模型选择合适，应该大致服从均值为0的正态分布。五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）2）、确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）：建立程序chengxu2.m如下：x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;X=ones(30,1) x1 x2 x2.2;Y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats结果如下：b = 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486bint = 5.7282 28.9206 0.6829 1.9311 -7.4989 0.1077 0.0379 0.6594stats = 0.9054 82.9409 0.0000 0.0490表2模型（3）的计算结果参数参数估计值参数置信区间17.32445.7282，28.92061.30700.6829，1.9311-3.6956-7.4989,0.10770.34860.0379,0.6594=0.9054 F=82.9409 p0.0001 =0.0490 结果分析：表2显示，=0.9054指因变量（销售量）的90.54%可由模型确定，值远远超过检验的临界值，远小于，因而模型（3）从整体来看是可用的。表2的回归系数给出了模型（3）中的估计值，即。检查他们的置信区间发现，只有的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量（对因变量y的影响）不是太显著，但由于是显著的，我们仍将变量保留在模型中。六、模型改进3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）：模型（3）中回归变量和对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用的二次关系由回归系数和确定，而不依赖于价格差，同样，的均值与的线性关系由回归系数确定，而不依赖于。根据直觉和经验可以猜想，和之间的交互作用会对有影响，不妨简单地用，的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到在这个模型中，的均值与的二次关系为，由系数确定，并依赖于价格。建立程序chengxu3.m如下：x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;X=ones(30,1) x1 x2 x2.2 x1.*x2;Y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X);b,bint,stats结果如下：b = 29.1133 11.1342 -7.6080 0.6712 -1.4777bint = 13.7013 44.5252 1.9778 20.2906 -12.6932 -2.5228 0.2538 1.0887 -2.8518 -0.1037stats = 0.9209 72.7771 0.0000 0.0426表3模型（5）的计算结果参数参数估计值参数置信区间29.113313.7013,44.525211.13421.9778,20.2906-7.6080-12.6932，-2.52280.6712 0.2538，1.0887-1.4777-2.8518，-0.1037=0.9209 F=72.7771 p0.0001 =0.0426表3与表2的结果相比，有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。并且，所有参数的置信区间，特别是,的交互作用项的系数的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）模型的进一步改进如下：完全二次多项式模型：与和的完全二次多项式模型相比，模型（5）只少项，我们不妨增加这一项，建立模型（10）。这样做的好处之一是MATELAB统计工具箱中有直接的命令rstool求解，并且以交互式画面给出的估计值和预测区间。建立程序chengxu4.m如下：x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8