第三章-2均匀半导体.ppt

第三章均匀半导体,本章内容,3.1晶体中的电子的准经典力学3.2导带结构3.3价带结构3.4本征半导体3.5非本征半导体3.6空穴的概念3.7能带中电子的态密度函数3.8费米狄拉克统计3.9电子和空穴暗能量的分布3.10总结,经典力学，包括我们所熟悉的物理量，如质量、速度、动能和势能，以及我们所熟悉的方程，如等，不能用来描述晶体中的电子。但是，如果能够使用经典力学，而不是量子力学，将是十分方便的，因为经典力学的方程很简单，而且经典力学的物理图像很清楚。在这一节里我们将看到，定义准经典力学是可能的。在准经典力学中，仍可以采用经典的物理量，只是需要将电子的真实质量换成电子的有效质量，有效质量包含了电子和晶体周期性势场的相互作用。将有效质量应用到经典力学的方程中，可以正确地预测晶体中的电子在受到来自外部的力（或外力）时的行为。先讨论最简单的情况，一维晶体中的电子。,3.1晶体中的电子的准经典力学,在第1章，我们讨论了一维晶体中的电子在两种情况下的能量-波失关系。在自由电子近似中，假设势能是常数。E-K关系有如下的形式,3.1.1一维晶体,一、自由电子,式中第二项是动能,对于自由电子，德布罗意关系成立，有，其中是电子的速度。动能的经典值是,在这种情况下，牛顿定律是成立的。注意到对于自由电子的情况，不存在来自晶体的附加的力，一次采用真正的经典方程和自由电子的真实质量。,晶体中，电子的速度由群速度确定,速度正比于E-K曲线的斜率。电子的质量可以表示成,由于E-K曲线是抛物线，因此是一个常数，所以电子的质量也是常数，和能量无关。,在准自由电子模型中，电子处于晶体的某个区域，电子的势能是在两个方向都延伸到无穷远的周期函数。为了得到准自由电子行为的物理图像，用类似于自由电子的形式来表示他们的性质是很方便的。,二、准自由电子,图3.1（a）E-K曲线,图3.1（b）E-K曲线,图3.1（c）E-K曲线,为了得到有效质量，考察材料的E-K曲线。我们选择了一种导带底在K=0的材料，GaAs就是这样的材料。将E-K关系展开成幂级数。因为我们考虑的是导带底E=Ec处的电子，因此把能量在K=0附近展开为,式中，HOTs代表高阶项。导数项K=0处的值，其中。忽略高阶项，有,这是一个抛物线方程。可以证明，对于E-K关系是抛物线的区域此处就是能带底部附近，忽略高阶项是可以的。对于自由电子，群速度为,晶体中的群速度也具有同样的形式。也就是说，晶体中电子的速度等于群速度，为,群速度正比于E-K关系曲线的斜率。因为动能是与运动相关的能量，因此可以推断，在处的动能。电子的总能量是动能和势能的和，所以，在导带底部的电子的总能量等于势能。也就是说，因此，在导带底部附近的电子的势能就等于能带底的能量。,自由电子,准自由电子,动能,有效质量定义为,与自由电子质量的表示类似,有效质量反比于E-K关系曲线的斜率。,下面考察作用在电子上的力。根据经典力学在准经典力学中，对于带底附近的电子，势能等于,并且,图3.2一个外部电场施加在半导体棒上（a）物理图像,(b)能带图。导带的电子被电场向右加速，在两次碰撞之间，保持恒定的能量运动,电子在运动的过程中，会和原子、缺陷或者是杂志发生碰撞。在碰撞中，能量是传递给其他粒子，同时电子会损失一部分总能量，如图3.2（b）所示。但是，电子还会继续被外加电场加速。加速度为在最小值附近，是正值，根据，电子在外力的方向上被加速。相反地，在最大值附近，有效质量是负的，这表明电子朝着外力相反的方向加速这一概念和直觉是相反的。这种结果是由于作用在电子上的总的力，是外部施加的作用力，加上晶体内部所有原子施加在电子上的力。有效质量中计入了内部原子的作用力，所以准经典力学才得以应用。这种违反直觉的情况就是由于内部的作用力，才使得电子在外力作用下向“错误的”方向加速。,3.1.2三维晶体在经典力学中，我们用E-K关系来求有效质量，并据此推断电子的行为，例如在外加电场下的运动。记得在第1章，我们通过讨论布洛赫波函数得到了一些关于E-K图的般形状和性质的知识(例如，关于K的周期性、在布里渊区中心的斜率为零，等等)。一维情况下关于E-K图的讨论和准经典力学中用到的有效参数可以推广到二维和三维的情况。这里给出三维晶体的结果。1、三维布洛赫波由下式给出：2、任意一个能带的关系在空间是周期性的，周期为,3、从E-K关系得到的全部信息和从中推出的参数，都包含在简约布里渊区或第一布里渊区。4、三维情况下，电子的（群）速度为5、对于每一个主要晶向，在K=0处和简约布里渊区的边界都存在相对极值。6、对于三维晶体，关系是很难画出来的。7、在一个能带的相对极值附近，可以定义有效质量，以便应用牛顿定律。在极小值附近，有效质量是正的；在极大值附近，有效质量是负的。8、在极值附近曲线的曲率和的方向有关，从而和电子运动的方向有关。9、对于立方晶胞结构的半导体，如果在K=0处有极值，那么曲率就和方向无关，并且有,3.2导带结构,GaAs导带能量的绝对最小值位于K=0处。由于立方结构的对称性，最小值附近E-K图的曲率，从而在任何运动方向上都是相同的。因此，对于GaAs，导带底附近电子的有效质量是一个标量。测得GaAs的电子有效质量是0.067m0，m0是自由电子的静止质量。GaAs就是一种在布里渊区方向边界处两个能带具有相同能量的材料，因此，在边界处，E-K关系曲线的斜率不为零，但是两个E-K关系曲线斜率的和等于零。,图3.3三种常见半导体的E-K关系图。,对于Si（如图3.3（b）所示），导带最小值在方向，位于大约等于布里渊区边界K值0.85倍的K值处，这一点就是导带底，绝大多数我们感兴趣的电子都在这里。不幸的是，这里的电子有效质量不是标量，这是因为在此最小值处，沿K空间的不同方向，关系的曲率不同。对Si沿100方向运动的电子，有一个有效质量，叫做纵有效质量;还有两个横有效质量，用来表征沿另外两个方向运动的电子，它们是相等的，用表示。从图3.3(c)我们看到，Ge导带的绝对最小值位于方向布里渊区的边界，有效质量也不是标量。在K=0处还有另一个能量较高的极小值。在此较高能量的极小值处，电子的有效质量是一个标量。两种最常用的平均方法可以得到两种有效质量，种是电子的电导率有效质量，用于电导率和有关的计算；另一类是态密度有效质量，用于计算电子浓度。,3.3价带结构,虽然半导体的导带结构随材料不同而不同，但是大多数电子学中有重要应用的半导体材料的价带结构都是类似的。价带结构一般比导带结构简单，包含3个交叠的能带。这3个能带的绝对最大值都在K=0处，但是E-K关系的曲率不同，因此有效质量也不同，如图3.4所示。,电子的有效质量和E-K关系的曲率成反比，价带顶附近电子的有效质量是负值。另外，价带一般情况下几乎完全被电子占满，只在带顶附近有少量空态。如果把这此事态看成空穴的话可以认为空穴是只有正有效质量的，拥有一个正电荷的粒子。,图3.4大多数半导体材料价带的E-K关系图,在K=0处的两个能带具有相同的最大值。h和l这两个带分别代表重空穴(较小曲率)和轻空穴(较大曲率)。第三个能带向下分裂了能量，这是自旋轨道耦合导致的。这种自旋轨道相互作用来自于电子个体的自旋形成的磁场和电子轨道的磁场的影响，这个分裂能带用s来表示。,表3.2几种半导体的价带空穴有效质量（质量的单位是自由电子静止质量）,3.4本征半导体,一个半导体如果没有杂质和晶格缺陷，就称它是本征的。我们将看到，本征意味着导带中电子的浓度(单位体积的数日)等于价带中空穴的浓度。在绝对零度时，对于本征半导体，电子占据了价带中所有的电子能态，导带中的所有能态即是空的。这是因为在绝对零度，每一个电子都处于可能的最低能态。在稍高的温度下，电子获得从晶格传递过来的热能。晶体中的原子会发生振动，晶格的振动以波的形式在晶体中传播，这种声学波也叫声子，每个声子都是具有能量和波矢。像子和光子一样，声子可以当作是波，也可以看作粒子。声子可以将电子从价带激发到导带，这样就在价带留下一个空态或空穴。这个导带的电子是准自由的，价带的空穴也是准自由的。电子和空穴一起称做电子空穴对。如果电子一空穴对是通过吸收声子产生的。我们就把这个过程称为热产生。因为声子或晶格振动携带晶体的热能如果激发的能量是由光子提供的，这个过程就叫做光产生。,图3.5在热产生过程中，一个价带电子需要获得额外的能量，跃迁到导带。（a）实际图像或化学键图示。（b）能带图。在复合过程（c）中，导带的一个电子落到价带的空穴中，导带电子和价带空穴同时消失。电子还可以通过和其他粒子碰撞（c）图右边）而损失一部分能量,3.5非本征半导体,在本征半导体中，导带电子的浓度等于价带空穴的浓度。通过加入掺杂原子，可以让电子和空穴的数目不等，在这种情况下，材料就是非本征的。如果一个半导体的的，称之为非本征半导体。通过添加杂质原子到本征材料中，就可以形成非本征半导体(这个过程叫掺杂)。如后面将介绍的，掺杂原子可以是施主，也可以是受主。如果，那么半导体就是n型的，意味着电流主要由带负电的电子携带。如果，那么半导体就是P型的，电流主要由带正电的空穴携带。,3.5.1施主假设一个外层有5个电子的原子，例如磷(P)替代了纯硅晶体中的一个Si原子，如图3.6（a）的价键图所示。Si是4价。磷原子多余的一个电子不需要参与构成共价键，因为已经有足够的电子构成共价键了。因此，多余的这个电子就比共价键的电子受磷原子的束缚弱。正如我们将看到的，这个电子很容易“贡献”给导带，因此磷原子称为施主原子。,图3.6硅晶体中的施主：（a）晶体的价键图。（b）掺有一个磷（施主）原子的硅的能带图,现在我们来较为定量地研究施主，并试着确定它们的能级。前面讲过，由施主原子贡献的多余的电子处于导带。如果是这样的话，施主原子失去一个电子，应该成为正离子，那么离子的正电荷就对带负电的电子产生库仑力。这个问题和氢原子类似，在氢原子中，一个电子束缚在带有一个正电荷的氢原子核周围。根据氢原子的玻尔模型（同时依据量子力学），第n个能级由下式确定玻尔半径是对于真空中的氢原子，是将一个电子从氢原子核的作用下移走(产生一个自由电子)所需要的最小总能量。空间中一个孤立的磷原子和氢原子类似，也具有一系列分立能级。,图3.7（a）孤立磷离子中的分立能态。（b）含有一个受主原子的半导体晶体的能带图。对于孤立原子来说，一个电子的能量必须等于或大于，才能脱离原子核的影响。在半导体中，电子的能量必须等于或大于，才能不受受主原子的影响。（c）GaAs中的一个受主原子的能级图。,3.5.2受主除了向半导体中掺杂施主，还可以掺杂外层电子数比被替代原子的电子数少的杂质。我们来看Si(4个价电子)个掺杂有3个价电子的硼原子的情况。图3.8（a）描述了掺人硼原子的Si是如何成为P型材料的。在Si中，硼叫做受主。我们知道，原子通常总是倾向于填满外面的壳层，即使是通过共享电子的方式。B原子周围的Si原子都希望有8个外层电子但是总数却少一个。如果邻近的Si原子能提供一个电子占据这个空态，价键就填满了。但是硼原子就变成带负电的了，因为这时它的电子数多于质子数。由于待腻子最有可能来自于邻近的共价键，因此将在那里留下一个空穴。掺杂了一个受主的半导体材料的能带图如图3.8（b）所示。注意，在图3.8(a)中，空穴已经运动离开硼原子一段距离了。将一个电子从价带激发到受主态并不需要很高的能量。当电子激发到受主态时，在价带产生一个空穴(空穴可以四处移动)，受主原子成为负离子。同样，受主原子被固定在晶体中不能移动，也不能携带电流；只行有空穴能够移动。,图3.8半导体中的受主：（a）价键图。（b）能带图。一个电子从价带激发到受主态，留下一个准自由空穴,对于受主，求受主态的能量EA，要看价带，而不是看导带。如前面所指出的，大部分在电子学中有用的半导体有3个价带，最大值都在K=0处。其中，两个带的最大值在E=EV，第三个带的最大值比EV低。采用和计算施主态类似的步骤并作相同的假设，得到空穴的束缚态为如果-族材料(如GaAs)是主体材料，那么可以通过将砷原子(5个价电子)用元素周期表中的族元素(如碲)来代替，使其成为n型(将稼原子(3个价电子)用族原子(如硅)来代替，也可以使GaAs成为n型。无论是哪一种方法，都比形成完整的共价键多出一个电子)。类似地，用族原子(锌)替代族原于(镓)，或者用族原子硅替代族原子砷，都可以使GaAs成为P型。两种方法都使系统比形成完整的共价键少一个电子、掺入的原子就成为受主。因此在GaAs中，族元素(如锗和硅)既可以是施主，也可以是受主，取决于所替代的是哪一种原子。我们把这种原子叫做双性杂质。在GaAs中，硅趋向于占据镓原子的位置因此一般是施主。,3.6空穴的概念,3.6.1空穴的电荷价带中未被电子占据的能态可以看作是空穴，这些空穴可以在价带中移动。在这一节，我们将进一步发展这一概念，还将更严格地说明空穴具有正电荷并可以携带电流，我们通过考察电流来进行分析。考察施加了电场的n型半导体。在导带，单位体积内有n个电子，价带单位体积内有p个空穴。这样，导带中的电荷密度为-qn，即电子电荷乘以电子密度。电子的电流密度(单位面积安培数)为,图3.9图上的价带能态。（a）所有的能态都被沾满。（b）有一个能态是空的（空穴），这表明有一个电子没有能量相同但波矢和速度相反的电子与之对应,从图中可以看出，E-K曲线是对称的，因此，每个速度为vi的电子都对应一个速度为-vi的电子。因此，当价带中的能态被填满时，价带电子的总电流密度J=0。当然，电子是在真实空间运功的，但是对于任何一个给定的能量E，图中都有两个具有相反速度的能态。,3.6.2空穴的有效质量在价带顶附近的电子具有负的有效质量，因为在这个区域，能带的曲率是负值。现在要说明，如果把价带顶的空态当作带正电的空穴，必须认为它们具有正的有效质量，大小等于那个未成对电子的有效质量，但符号相反。考察电流向右流动(电子向左流动)的p型半导体，如图3.10(a)所示。另外还施加了一个指向纸面的磁场B。施加到末成对电子的洛仑兹力由下式确定如果不考虑电子，而是考虑如图3.10（b）所示的一个空穴，那么洛仑兹力为,图3.10作用在P型半导体中的一个电子上的洛伦兹力。（a）未成对电子（负电荷，负有效值量）被向下加速。（b）具有正电荷和正有效质量的空穴被向上加速。,因为电流是向右的，所以带正电的空穴的速度也是向右的。空穴受到的净洛仑兹力和未成对电子的大小、方向都相同。因此，可以得到如下结论：在一个接近填满的能带（价带）中，可以把空的能态当作粒子来处理，这种粒子叫做空穴。空穴具有正电荷和正有效质量，并对外力有响应。空穴的有效质量大小等于价带顶电子的有效质量，而符号相反（为正）。,3.7能带中电子的态密度函数,我们已经知道，半导体中的能态形成能带，电子可以占据这些能态。同时，大多数我们感兴趣的电子在导带底附近，而大多数空穴在价带定附近。要描述半导体中的电流，还需要更多的信息。需要更准确地知道自由电子和空穴的密度，以及按能量的分布。虽然并不是显而易见的，但是对大多数电子器件来说，器件电流是由具有足够能量来越过器件内不同势垒的电子或空穴的数目决定的。要确定这些器件的电流-电压关系，必须知道电子（和空穴）按能量的分布。要确定电子（空穴）按能量的分布，需要知道两件事情。首先知道允许的能态按能量如何分布，第二是给定能量的能态被电子（空穴）占据的几率。例如，我们的直觉是，能量越高的能态，被占据的可能性越小。,3.7.1态密度和态密度有效质量对一个自由电子(Ep=E0为常数)，允许的能态按能量的分布为考虑E-K关系中抛物线的区域，其中，有效质量是常数。对导带底附近的一个电子，有,导带,价带,图3.11导带和价带中的电子和空穴的态密度函数。态密度与能量关系的曲线叠加在能带图（能量对位置x的关系上）,图3.11所示是导带和价带中，电子和空穴的态密度示意图，其中是叠加在能带图(能量对位置的关系)上的。注意到禁带中没有电子或空穴的态(纯的本征材料)，因此禁带中的为零。,3.8费米-狄拉克统计,3.9.1能带中电子和空穴的费米-狄拉克统计在一个允许的能带中，电子占据能量为E的给定能态的几率为图3.12（a）给出了几种不同温度下，作为能量的函数的费米一狄拉克分布。图中还标出了可能的Ec和Ev的值。在间3.12（b）中,我们把通常的图旋转900，用自变量作y轴、因变量作x轴。这样,分布图就可以和其他以能量为纵轴的图(如能带图)统一起来。在图3.12（b）中，横轴向左代表几率增大。,费米-狄拉克几率函数,图3.12费米-狄拉克分布函数给出能量为E的能态（如果该能态存在的话）被占据的几率,费米能级是一个特殊的能级，在费米能级处f(E)=1/2，也就是处于该能量的能态(如果该能态存在的话)被占据的几率是50。在费米能级以下的能级被占据的几率大于空着的几率。在费米能级以上的能级，被占据的几率小于1/2，意味着这些能态更趋向于是空着的。图3.12中画出了几个不同温度下的费米狄拉克分布函数。在绝对零度，每个电子占据尽可能低的能态。对半导体而言，这意味着价带的每一个能态都被占据，因此，价带中的任何能态被占据的几率为1，而导带中的任何能态被占据的几率为0。对本征半导体来说，费米能级位于十分接近禁带中央的位置。