大学线性代数必过复习资料

复习要点：第一部分行列式1 .序列的倒数(P.5例4； P.26第二、四题)2、行列式在行(列)展开规则(P.21例13； P.28第九题)3 .行列式的性质和行列式的计算(P.27第8题)第二子矩阵1 .矩阵的运算性质2 .矩阵的逆和矩阵方程式的求解(P.56第17、18题) P.78第5题)3 .伴随阵列性质(P.41例9； P.56第23、24题P.109第25题)、正交序列的性质(P.116 )4 .矩阵秩的性质(P.69到71； P.100例13、14和15 )第三部分线性方程组1 .线性方程解的判定(P.71定理3； P.77定理4、5、6、7 )，带参数方程解的判定(P.75例13； P.80第16、17和18题)2 .齐次线性方程式解的构造(基础解系与通解的关系)3 .非齐次线性方程解的结构(通解)第四部分向量组(可在三个向量组(矩阵、方程式、向量组)之间相互变换)。1 .向量组的线性表示2 .向量组的线性相关3 .向量组的秩第五部分方阵的特征值与特征向量1 .施密特正交化过程2 .特征值、特征向量的性质和计算(P.120例8、9、10； P.135第7至13题)3 .矩阵的相似对角化，特别是对称矩阵的相似对角化(P.135第15、16、19、23问)需要注意的知识点：线性代数1、行列式1 .行列式有元素，展开后有项，可分解为行列式2 .代数馀子表达式的性质：与和的大小无关某行(列)的要素乘以其他行(列)的要素的代数的馀数式为0某行(列)的要素乘以该行(列)的要素的代数馀数式3 .代数馀子公式与馀子公式的关系：4 .行列式的重要公式：主对角行列式：主对角要素的积副对角行列式：副对角要素的积、上、下三角行列式():主对角要素的积和：对角要素的积拉普拉斯展开式、范德蒙行列式：大指标减少指标的连积、特征值5 .证明的方法：、是反证法建立齐次方程，证明有非零解利用等级进行证明证明0是其特征值2、矩阵1 .是下列可逆矩阵：(非奇异矩阵)(全秩矩阵)的行(列)向量组不是线性的齐次方程有非零解总是有唯一的答案等价可以表示为几个初等矩阵的乘积的所有特征值都不是0正则矩阵的行(列)向量组是基本组中某两组基的过渡矩阵2 .关于阶矩阵：无条件成立3.4 .矩阵是表，导出符号是波浪号或箭头的矩阵式是数值，可以求出代数和5 .关于块矩阵的重要结论，其中全部是可逆的如果适用：、3、矩阵初等变换和线性方程1 .一个矩阵总是可以初等变换为标准形，其标准形是唯一确定的；等价类：由所有等价矩阵构成的一个集合，被称为等价类的标准形是其形状最简单的矩阵关于同态矩阵2 .行的最简单矩阵：只能通过初等行变换得到各行第一个非零元素必须是1各行前0以外元素所在列的其他元素必须为03 .初等行变换的应用：(初等列变换相似或倒置采用初等行变换)那样的话是可逆的，而且在行列上加上初等行的变化，变化的话，就会发生变化求解线性方程：对于未知数个方程，如果可逆且4 .初等和对角矩阵概念：、初等矩阵是行变换还是列变换取决于其位置：左为初等矩阵，右为初等矩阵、左乘法矩阵、乘法的各行要素右乘法、乘法的各列要素、2行或2列，交换符号。 例如：乘以某一行或某一列，加上符号，例如：、某行或某列，加倍符号，如下：5 .矩阵秩的基本性质：、是、如果是这样的话如果可逆(可逆矩阵不影响矩阵秩)、()、()、是()、如果是矩阵则是矩阵，然后是()I，的列向量都是齐次方程解(倒置运算后的结论)，如果，都是阶梯方阵6.3类特殊矩阵的幂：秩为1的矩阵：必须分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，可以采用结合律、类型的矩阵：利用二元展开式利用特征值和类似对角化：7 .伴随矩阵：、伴随行列的等级：、伴随矩阵特征值：、8 .关于矩阵秩的描述：，其中阶级式不是0，阶级式都是0 (两个词)、其中阶级式均为0其中阶级式不是09 .线性方程式：在矩阵的情况下：方程式的个数相同，方程式中有方程式方程式和未知数的数量相同，方程式是元方程式10 .线性方程的解：对放大矩阵进行初等行变换(仅使用初等行变换)齐次解是对应齐次方程的解、特解：给自由变量赋予初始值后求出11 .由未知数个方程式的方程式构成要素线性方程式、是(矢量方程式、矩阵、个方程式、个未知数)(全部按列封锁，其中)(线性表现)有解的充要条件：(未知数的个数或维数)4 .向量组的线性相关性1 .由个维列向量构成的向量组：构成矩阵由各个维度的行向量构成的向量群：构成矩阵包含有限个向量的规则向量群与矩阵一一对应2. ，矢量组线性相关，无关系，非零解(一次线性方程)向量的线性表示是否有解(线性方程)、矢量组的互线性表示是否有解(行列式)3 .矩阵等价于行向量组的充分必要条件为与齐次方程式相同的解(例14 )4 . (例15 )5 .维向量线性相关的几何意义：线性相关线性相关坐标为比例或共线(平行)、线性相关共面性6 .与线性相关无关的两个定理：只要是线性相关，一定是线性相关如果线性没有关系，一定与线性没有关系(加减矢量的个数，使两者成对)将组件添加到维向量组中的每个向量时，将构成维向量组没有线性，也没有线性；相反，是线性相关，也是线性相关(对向量组的维进行加减)简言之，无关联的群体延长也没有关系，相反是不确定的7 .向量组(个数为)可由向量组(个数为)的线性表示且不是线性的情况下矢量组可以用矢量组线性表示时矢量组可以通过矢量组线性表示有解矢量组与矢量组等价8 .方可逆有限初等矩阵存在和使用矩阵行等价：(左乘，可逆)和同解矩阵列等价：(右乘，可逆)、矩阵等价：(、可逆)9 .矩阵和：如果与行等价，则等于行的等级如果与行等价，则为同解，且与对应的列向量组具有相同的线性相关性、矩阵初等变换不改变矩阵的秩、矩阵的行秩等于列秩10 .如有：的列向量组可以用其他的列向量组线性表现，是系数矩阵的行向量组可以用下一行向量组线性表示，是系数矩阵(转置)11 .齐次方程式的解必定是解，在试验中可作为直接定理使用，无需证明、仅零解、仅零解有非零解时，一定有非零解12 .假设向量组可以用向量组的线性表示来表示（）其中，以及线性无关，与组的线性无关(具有与前一列向量组相同的线性相关)(必要性： 充分性：反证法)注：当时是方阵，可用作定理13. 、对矩阵、存在、的列向量线性无关矩阵与、的行向量线性无关14 .线性相关存在组全部不为0的数量，并成立(定义)有非零解，即有非零解系数矩阵的秩小于未知数的个数15 .设矩阵的等级为，元齐次线性方程式的解集的等级如下16 .一个解，一个基础解系，线性无关5、相似矩阵1 .正交矩阵或(定义)