线性代数第一章习题答案

1 习习题题1.11.11.11.1 1计算下列二阶行列式 （1） 53 24 ；（2） cossin sincos 解解 （1）14620 53 24 =； （2） cossin sincos 22 sincos= 2计算下列三阶行列式 （1） 501 721 332 ； （2） 00 0 00 d cb a ； （3） 222 111 cba cba；（4） cbabaa cbabaa cba + + 232 解解 （1）原式62072)5(1)3(12317) 3(301)5(22=+= （2）原式00000000000=+=dcbacadb； （3）原式)()( 222222 bcacabcbacbacaabbc=+=； （4）原式)()()2()23)(baaccbaabbaaccbabaa+= 3 )23()(2(acbaabcbabaa=+ 3用行列式解下列方程组 （1） =+ =+ 353 24 yx yx ；（2） =+ =+ =+ 82 6 83 321 321 321 xxx xxx xxx ； （3） = =+ 023 132 21 21 xx xx ；（4） =+ =+ = 03 123 12 321 32 321 xxx xx xxx 解解 （1）7 53 41 =D，2 53 42 1 =D，3 33 21 2 =D 所以 7 2 1 = D D x， 7 3 2 = D D y （2）2 121 111 113 =D，2 128 116 118 1 =D，4 181 161 183 2 =D，6 821 611 813 3 =D； 所以1 1 1 = D D x，2 2 2 = D D x，3 3 3 = D D x （3）13 23 32 = =D，2 20 31 1 = =D，3 03 12 2 =D 所以 13 2 1 = D D x， 13 3 2 = D D y （4）8 113 230 121 = =D，8 110 231 121 1 = =D， 2 8 103 210 111 2 = =D；2 013 130 121 3 = =D 所以1 1 1 = D D x，1 2 2 = D D x，3 3 3 = D D x 4已知 x xxx x xf 21 112 )( =，求)(xf的展开式 解解 x xxx x xf 21 112 )( = 22)(11)(1)(111)(2)()(2+=xxxxxxxxxxxxx232 23 += 5设ba, , , ,为实数，问ba, , , ,为何值时，行列式0 101 0 0 = ab ba 解解0 101 0 0 22 = baab ba 0, 0 22 =baba 习习题题1.21.21.21.2 1求下列各排列的逆序数 （1）1527364；（2）624513； （3）435689712；（4）)2(42) 12(31nnLL 解解 （1）逆序数为 14； 6240200 1527364 i t ? （2）逆序数为 5； 031010 624513 i t ? （3）逆序数为 19； 554310010 435689712 i t ? （4）逆序数为 2 ) 1( nn ： 3 0 2 1 22 21000 0 421231 nn nnt n i LL LL? 2在由9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1组成的下述排列中，确定ji,的值，使得 （1）9467215ji为奇排列；（2）4153972ji为偶排列 解解 （1）ji,为分别 3 和 8；若8, 3=ji，则93411)946378215(=+=，为奇排列； 若3, 8=ji，则1234311)946873215(=+=，为偶排列； （2）ji,为分别 6 和 8；若8, 6=ji，则205135231)397261584(=+=，为偶排列； 若6, 8=ji，则215335131)397281564(=+=，为奇排列； 3在五阶行列式)det( ij a=D D D D展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？ （1） 5145342213 aaaaa；（2） 2544133251 aaaaa； （3） 2344153251 aaaaa； （4） 4512345321 aaaaa 解解 （1）因5)32451(=，所以前面带“-”号； （2）因7)53142(=，所以前面带“-”号； （3）因10)12543()53142(=+，所以前面带“+”号； （4) 因7)13425()25314(=+，所以前面带“-”号 4下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？ （1） 12432134 aaaa；（2） 14342312 aaaa；（3） 5514233241 aaaaa；（4） 5512233241 aaaaa 解解 （1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列； （2）不可以，由于 14342312 aaaa中的 1434a a都位于第四列，所以不是四阶行列式的项； （3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列； （4）不可以，由于 5512233241 aaaaa中没有位于第四列的元素。 5. 六阶行列式展开式中含有因子 23 a的乘积项共有多少项？为什么？ 解解！5项，因为六阶行列式中每项是六个元素相乘，并且六个元素取自不同行不同列， 23 a是取自第二 行第三列的元素，所以其余五行从第一、二、四、五、六列里选取出其余的五个元素，共有！5种取法。 6用行列式定义计算下列行列式 （1） 0001 1000 0010 0100 ；（2） d c b a 000 000 000 000 解解（1） 在展开式 4321 4321 ) 1( pppp aaaa 中， 不为0的项取自于1 13 =a，1 22 =a，1 34 =a，1 41 =a， 而4)3241(=，所以行列式值为11111) 1( 4 = （2）在展开式 4321 4321 ) 1( pppp aaaa 中，不为0的项取自于aa= 11 ，ba= 23 ，ca= 32 ，da= 44 ， 而1)1324(=，所以行列式值为abcdabcd= 1 ) 1( 7.在函数 xx x xx x xf 412 412 10 2132 )(=的展开式中， 4 x的系数是什么？ 解解)(xf中含x因子的元素有xa2 11 =，xa= 21 ，xa= 22 ，xa= 33 ，xa= 41 ，xa4 44 =，因 此，含有x因子的元素 i ij a的列标只能取1 1 =j，21 2 , , , ,=j，3 3 =j，41 4 , , , ,=j. 于是含 4 x的项中元素列下标只能取1 1 =j，2 2 =j，3 3 =j，4 4 =j，相应的4个元素列标排列只 有一个自然顺序排列 1234， 故含 4 x的项为 40 44332211 (1234) 842) 1() 1(xxxxxaaaa= ， 故)(xf中 4 x的系数为8. 4 习习题题1.31.31.31.3 1判定下列等式或命题是否正确，并说明理由 （1） 222 111 222 111 8 2 2 2 cba cba cba cba cba cba =； （2） 222 111 222 111 cba ckcbkbaka ckbkak cba cba cba +=； （3）如果n（1n）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例； （4）如果n（1n）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行元素全为零； （5） 333 222 111 333 222 111 33333 22222 11111 eca eca eca dba dba dba edcba edcba edcba += + + + 解解 （1）不正确，提取公因子是某一行（列）的元素有公因子； （2）不正确， 222 111 222222 111 222 111 cba cba cba k cba ckbkak ckbkak cba cba ckbkak cba ckcbkbaka ckbkak =+=+； （3）不正确，0 111 210 321 =，但是没有两行元素对应成比例； （4）不正确， 例子同上； （5）不正确， 3333 2222 1111 3333 2222 1111 33333 22222 11111 edca edca edca edba edba edba edcba edcba edcba + + + + + + + = + + + 333 222 111 333 222 111 333 222 111 333 222 111 eca eca eca dca dca dca eba eba eba dba dba dba += 2设0 333231 232221 131211 =a aaa aaa aaa D D D D，据此计算下列行列式 （1） 131211 232221 333231 aaa aaa aaa ；（2） 333231 232221 131211 5 5 5 aaa aaa aaa ； （3） 33323131 23222121 13121111 254 254 254 aaaa aaaa aaaa ；（4） 32323331 22222321 12121311 2732 2732 2732 aaaa aaaa aaaa 5 解解 （1）a aaa aaa aaa rr aaa aaa aaa = 333231 232221 131211 31 131211 232221 333231 ； （2）a aaa aaa aaa k c aaa aaa aaa 55 )0( 5 5 5 5 333231 232221 131211 3 333231 232221 131211 = ， （3） 333231 232221 131211 333131 232121 131111 33323131 23222121 13121111 24 24 24 54 54 54 254 254 254 aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaaa aaaa aaaa = aa aaa aaa aaa aaa aaa aaa 880820 333231 232221 131211 333131 232121 131111 = （4） 323331 222321 121311 32 32323331 22222321 12121311 232 232 232 c 2 7 c 25732 25732 2732 aaa aaa aaa aaaa aaaa aaaa a aaa aaa aaa cc aaa aaa aaa c c c 121212 )2( 3 2 333231 232221 131211 32 323331 222321 121311 3 2 1 = 3用行列式性质计算下列行列式 （1） 111 210 321 ；（2） ； efcfbf decdbd aeacab ；（3） yxyx xyxy yxyx + + + ； （4） 9876 8765 5432 4321 ；（5） 2605 2321 1213 1412 解解（1）0 111 210 000 111 210 321 321 = rrr ； （2） 020 200 13 21 c e ecb adf rr rr ecb ecb ecb adf efcfbf decdbd aeacab + + = abcdef e c ecb adf rr 4 200 020 32 = ； （3） yxyx xyxyx yxyyx ccc yxyx xyxy yxyx 22 22 22 321 + + + + + + + xyy yx yxyyx rr rr + 0 0 )(2 12 23 6 2 )22()()22(yyxxyxyx+=)(2)(2 3322 yxyxxyyx+=+=； （4）0 9876 8765 131197 131197 rr rr 9876 8765 5432 4321 32 41 = + + （5）0 0000 2321 1213 1412 2605 2321 1213 1412 214 = rrr 4把下列行列式化为上三角行列式，并计算其值 （1） 3351 1102 4315 2113 ；（2） 10782 5513 3152 71391 ； （3） 3214 2143 1432 4321 ；（4） 72222 27222 22722 22272 22227 解解 （1） 2113 1102 4315 3351 3351 1102 4315 2113 41 rr 1110160 55100 1918240 3351 3 2 5 14 13 12 + rr rr rr 1110160 1918240 1120 3351 5 5 32 3 rr r 2000 3200 1120 3351 5 3 3200 7600 1120 3351 5 8 12 43 43 24 23 + + rr rr rr rr 402)2(215=； （2） 78130 2100 1725130 71391 2 10782 5513 3152 71391 12 24 413 + + rr rr rrr 312 24000 2100 1725130 71391 17 324 = +rrr 7 （3） 3214 2143 1432 4321 3214 2143 1432 1111 10 4321 rrrr+ 3214 2143 1432 1111 10 4 2 3 14 12 13 rr rr rr 123 121 121 10 1230 1210 1210 1111 10 3214 2143 1432 1111 10 4 2 3 14 12 13 = = rr rr rr 1601610 440 040 121 10 3 13 12 = + rr rr ； （4） 50000 05000 00500 00050 11111 15 2 2 2 2 72222 27222 22722 22272 11111 15 72222 27222 22722 22272 22227 15 14 12 13 54321 rr rr rr rr rrrrr + 937535555515 5 = 5用行列式性质证明下列等式 （1） 3 22 )( 22 111ab bbaa baba = + ；（2）0 )3()2() 1( ) 3()2() 1( )3()2() 1( )3()2() 1( 2222 2222 2222 2222 = + + + + dddd cccc bbbb aaaa 解解（1）左边 222232 12 2222 13 12 )(22 001 )(22 001 abaaba ababa rr rr ababa abaaba cc cc = = 3 2222222 23 )( )( 02 001 )(22 001 2 ab abaaba aba abaaba ababa cc 右边 （2）左边 964412 964412 964412 964412 2 2 2 2 14 13 12 + + + + dddd cccc bbbb aaaa cc cc cc 0 6212 6212 6212 6212 3 2 2 2 2 2 13 12 = + + + + dd cc bb aa cc cc 6. 计算下列四阶行列式 （1） dcbacbabaa dcbacbabaa dcbacbabaa dcba + + + = 3610363 234232 D D D D； 8 （2） 3351 1102 4315 2113 =D D D D 解解（1）从第 4 行开始，后行减前行： cbabaa cbabaa cbabaa dcba rr rr rr + + + 3630 2320 0 12 23 34 D D D D baa baa cbabaa dcba rr rr + + + 300 200 0 23 34 4 34 000 200 0 a a baa cbabaa dcba rr = + + （2） 2113 1102 4315 3351 3351 1102 4315 2113 41 rr 1110160 55100 1918240 3351 3 2 5 14 13 12 + rr rr rr 1110160 1918240 1120 3351 5 5 32 3 rr r 2000 3200 1120 3351 5 3 3200 7600 1120 3351 5 8 12 43 43 24 23 + + rr rr rr rr 402)2(215=； 7计算下列n阶行列式 （1） 0) 1(321 0321 1021 1301 1321 n n nn nn nn L L MMMMM L L L ； （2） 1121 1221 1211 121 1 1 1 1 + + + nn n n n baaa abaa aaba aaa L MMMM L L L ； （3） xyyy yxyy yyxy yyyx L MMMM L L L ；（4） nL MMMM L L L 001 0301 0021 1111 解解（1） 0) 1(321 0321 1021 1301 1321 n n nn nn nn L L MMMMM L L L ! 0000 21000 2) 1(2300 2) 1(2620 21321 , 3 , 2 1 n n nn nn nn nn ni rri = = + L L MMMMM L L L L ； 9 （2） 1121 1221 1211 121 1 1 1 1 + + + nn n n n baaa abaa aaba aaa L MMMM L L L = = = 1 1 1 2 1 121 1 000 000 000 1 , 3 , 2 n i i n n i b b b b aaa ni rr L MMMM L L L L ； （3） xyyy yxyy yyxy yyyx L MMMM L L L xyyyx yyxyyx yyxyx yyyyx L MMMM L L L ) 1(n ) 1(n ) 1(n ) 1(n cc n 2i i1 + + + + + = ni rri , 2 1 L= yx000 0yx00 00yx0 yyyyx + L MMMM L L L) 1(n ) ( ) 1(n 1n yxyx+= ； （4） nL MMMM L L L 001 0301 0021 1111 n c n ccc) 1 () 3 1 () 2 1 ( 321 +L n i n i L MMMM L L L 000 0300 0020 111 1 1 2 = n i n i L32 1 1 2 = = . . . . 习习题题1.41.41.41.4 1求行列式 122 305 413 中元素 3 和 4 的余子式和代数余子式 解解3 的余子式4 22 13 23 = =M，3 的代数余子式4) 1( 23 32 23 = + MA 4 的余子式10 22 05 13 = =M，4 的代数余子式10) 1( 13 31 13 = + MA 2已知7 0 0 0 8341 333231 232221 131211 = aaa aaa aaa D D D D，求 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 10 解解因为7) 1(1 0 0 0 8341 333231 232221 131211 11 333231 232221 131211 = + aaa aaa aaa aaa aaa aaa D D D D，所以7 333231 232221 131211 = aaa aaa aaa 3已知四阶行列式D D D D的第1行元素分别为4,3,2,1，而它们的余子式依次为1,2,2,1，求行 列式D D D D 解解 将行列式D D D D按第一行元素降阶展开，有 1414131312121111 AaAaAaAaD+= 1511)(42)(1)(321)(21)(1)(1 43312111 =+= + 13= 4设四阶行列式的第2行元素分别为0 , 1 , 2x，它们的余子式分别为y, 2, 6 , 2，第3行的各元素的代 数余子式分别为5 , 1 , 6 , 3，求此行列式 解解 因0 3424332332223121 =+AaAaAaAa，即05011632=+x， 所以 6 7 =x 从而 2424232322222121 AaAaAaAaD+= yx+= +42322212 ) 1(0)2() 1(16) 1(2) 1(2 97262=+=x 5按第3行展开并计算下列行列式 （1） 5021 0113 2101 4321 ；（2） 4004 0303 0022 4321 解解 （1）原式 501 211 431 ) 1() 1( 502 210 432 ) 1(3 3213 + = + 021 101 321 ) 1(0 521 201 421 ) 1() 1( 4333+ + + 24181218=+= （2）原式 004 022 321 1)(0 404 022 421 1)(3 404 002 431 1)(0 400 002 432 1)(3 43332313+ += 921)1623(8324)(3=+= 6已知四阶行列式 5215 3412 0813 1711 =D D D D， 求 44342414 A A A AA A A AA A A AA A A A+及 44434241 MMMMMMMMMMMMMMMM+的值，其中 ij MMMM、 ij A A A A分别为行列式D D D D中元素 ij a的余 子式和代数余子式 11 解解 （1）由于 4434241444342414 1111A A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A A+=+ 相当于用1 , 1 , 1 , 1代替D D D D中第 4 列元素所得的行列式，由行列式按行（列）展开定理知 44342414 A A A AA A A AA A A AA A A A+ 1215 1412 1813 1711 =0 0504 0303 0102 1711 14 12 13 = rr rr rr 同样 1111 3412 0813 1711 4443424144434241 =+=+A A A AA A A AA A A AA A A AMMMMMMMMMMMMMMMM 68 282 433 112 1)( 2802 4303 1102 1711 21 14 12 13 = = + rr rr rr 。 7计算下列各行列式 （1） 0100 1110 1010 0111 ；（2） 3214 2143 1432 1111 ；（3） abcde edcba 01000 00100 00010 ； （4） 000 1000 0200 0010 L L MMMM L L n n ；（5） ba ba ba ba ba 0000 0000 0000 0000 0000 L L MMMMMM L L L 解解（1） 0100 1110 1010 0111 0 010 111 101 1)(1 11 = + （2）原式 123 121 121 1234 1213 1212 0001 4 , 3 , 2 1 = = i cci 123 040 121 12 rr 16 13 11 4= =； （3）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有 12 abcde edcba 01000 00100 00010 22 ea ae ea =； （4） 000 1000 0200 0010 L L MMMM L L n n !nn n n nnn111 ) 1() 1(n21) 1( 100 020 001 ) 1( + = =L L MMM L L ； （5） ba ba ba ba ba 0000 0000 0000 0000 0000 L L MMMMMM L L L a ba a ba b ba b ba b a 000 00 000 00 ) 1( 00 000 00 000 n1 L L MMMM L L L L MMMM L L + + ? 111 ) 1( + += nnn abba。 习习题题1.51.51.51.5 1用行列式定义计算行列式 00 0 1 1, 221 11, 111 L MMNM L L n n nn a aa aaa 解解 11 -11 211 - 1 1, 221 11, 111 1 00 0 nnn nn n n nn aaa a aa aaa L L MMNM L L L ， ）（ ）（ = 11 -11 2 1 - 1 nnn nn aaaL ， ）（ ）（= 2计算下列各行列式 （其中 k D D D D表示k阶行列式） （1） xaaaaaa axaaaaa aaxaaaa aaaxaaa aaaaa nnn nnn nn nn nn n + + + + = 11321 12321 13221 13211 1321 L L MMMMM L L L D D D D ； 13 （2） nn nn n = 11000 00220 00011 1321 L MMMMM L L L D D D D；（3） n n a a a + + + = 111 111 111 2 1 L MMM L L D D D D， 其中0 21 n aaaL； （4） xy yx x yx yx n 000 000 0000 000 000 L L MMMMM L L L =D D D D；（5） nnn nnn n naaa naaa naaa )() 1( )() 1( 1 111 111 1 = + L L MMM L L D D D D； （6） nn nn n dc dc ba ba ON NO 11 11 2 =D D D D，其中未写出的元素都是 解解（1） xaaaaaa axaaaaa aaxaaaa aaaxaaa aaaaa nnn nnn nn nn nn + + + + 11321 12321 13221 13211 1321 L L MMMMM L L L xa xa xa xa aaaaa ni rr n n nn i = 1 2 2 1 1321 1 0000 0000 0000 0000 , 3 , 2 L L MMMMM L L L L )()( 1211 xaxaxaa n = L （2） n nnn cc nn nn nn n + + = 10000 00220 00011 1321 11000 00220 00011 1321 1- L MMMMM L L L L MMMMM L L L）（ D D D D 14 n nnniii nni cc n i n i n i ii + = + = 10000 00200 00010 1 22-1- 321 1 - L MMMMM L L L L ）（ ， () 2 1 1 2 1 11 2111 121 2 1 - 2 1 - 2 1 - 1 ）！（ ）（ ）（ ）！（）（ ）！（）（ ）（）（ + = + = += = = nnn n nn in nn n n i L L （3） nnnn n ni n aaaa a a a ni cc D + = 1 100 100 100 1, 2 , 1 1 2 1 L L MMMM L L L X a a a r a a r n n i i i n n 000 100 100 100 1 2 1 1 1 L L MMMM L L = + （其中 = += 1 1 1 n i i n n a a aX） ) 1 1 () 1 1 ( 1 21 1 1 121 = = +=+= n i i n n i i nnn a aaa a aaaaaLL； （4）按第列降阶展开，有 yx y yx y y x yx x yx xD n n L L MMMM L L L L MMMM L L 00 000 00 000 ) 1( 000 00 000 00 1+ += nnn yx 1 ) 1( + +=； （5） nnn nnn n naaa naaa naaa D )(1)( )() 1( 1 111 111 1 = + L L L LLL L L ，该行列式为范德蒙德行列式 + + += 11 1 )1() 1( jin n jaiaD + + + = 11 2 11)n 11 )() 1() jin (n jin jiji ( L ； 15 （6） nn nn n dc dc ba ba D 0 0 0 11 11 2 ON NO = n nn nn n d dc dc ba ba a 0 0 0 0 00 00 11 11 11 11 L ON M NO 展开 按第一行 00 00 00 ) 1( 11 11 11 11 12 n nn nn n n c dc dc ba ba b + + ON NO 2222 nnnnnn DcbDda 展开 都按最后一行 ， 由此得递推公式 222 ) = nnnnnn DcbdaD，所以 = = n i iiiin DcbdaD 2 22 )(，而 1111 11 11 2 cbda dc ba D=，所以 = = n i iiiin cbdaD 1 2 )( 3解下列方程 （1）0 881 441 221 1111 3 2 = x x x ； （2）0 9132 5132 3221 3211 2 2 = x x ； （3）0 ) 1(1111 1)2(111 11211 11111 11111 = xn xn x x L L MMMMM L L L 解解（1） ()()()()()()）（ ）（ ）（ 222211212 221 221 221 1111 881 441 221 1111 333 222 3 2 = = xxx x x x x x x ()()()022112=+=xxx 所以解为221=xxx， 16 （2）因 2 2 34 12 2 2 4000 5132 0010 3211 9132 5132 3221 3211 x x rr rr x x 12 21 )4)(1 ( 22 xx=0)4)(1(3 22 =xx 所以解为1=x，2=x （3）因左边 ni rri , 3 , 2 1 L= xn xn x x )2(0000 0)3(000 00100 0000 11111 L L MMMMM L L L 0)2()1 (=xnxxL， 所以解为2, 2 , 1 , 0=nxL 4证明等式 1 4321 2 )(01 001 0001 += n nnnn xaa aaxaxaxax aaxax aax a L MMMMM L L L 证明：证明： 从第二列开始把第二列的元素乘以（x）加到第一列，把第三列的元素乘以（x）加到第二 列，把第n列的元素乘以（x）加到第1n列，可得 1 4321 2 )( 0000 0100 0010 0001 01 001 0001 +=+ + + = n nnnn xaa a xa xa xa aaxaxaxax aaxax aax a L MMMMM L L L L MMMMM L L L 习习题题1.61.61.61.6 1用克莱姆法则解下列方程组 （1） =+ =+ =+ =+ 543 22 5 12 4321 4321 321 4321 xxxx xxxx xxx xxxx ； （2） =+ =+ =+ =+ 1 2 12 12 431 321 4321 4321 xxx xxx xxxx xxxx ； （3） = =+ =+ =+ 2532 01123 242 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx ； （4） =+ =+ =+ 1 1 1 3 2 21 3 2 21 3 2 21 xccxx xbbxx xaaxx ，其中c , b ,a互不相等 17 解解(1)18 4131 1121 0111 1112 = =D,18 4135 1122 0115 1111 1 = =D, 36 4151 1121 0151 1112 2 = =D,36 4531 1221 0511 1112 3 =D,18 5131 2121 5111 1112 4 = =D, 由克拉默法则知 1 1 1 = D D x，2 2 2 = D D x，2 3 3 = D D x，1 4 4 = D D x (2)12 1101 0111 1211 2111 = =D,10 1101 0112 1211 2111 1 = =D,9 1111 0121 1211 2111 2 = =D, 5 1101 0211 1111 2111 3 = =D,3 1101 2111 1211 1111 4 = =D, 由克拉默法则知 6 5 1 1 = D D x， 4 3 2 2 = D D x， 12 5 3 3 = D D x， 4 1 4 4 = D D x (3)142 5132 11213 4121 1111 = =D，142 5132 11210 4122 1115 1 = =D,284 5122 11203 4121 1151 2 = =D， 426 5232 11013 4221 1511 3 = =D，142 2132 0213 2121 5111 4 = =D， 由克拉默法则知 1 1 1 = D D x，2 2 2 = D D x，3 3 3 = D D x，1 4 4 = D D x （4）)()( 1 1 1 2 2 2 bcacab cc bb aa D=,)()( 1 1 1 2 2 2 1 bcacab cc bb aa D=, 18 0 11 11 11 2 2 2 2 = c b a D,0 11 11 11 3 = c b a D 由克拉默法则知 1 1 1 = D D x，0 2 2 = D D x，0 3 3 = D D x 2求二次多项式)(xf，使得0(1) =f，3)2(=f，28) 3(=f 解：解：设二次多项式cbxaxxf+= 2 )(,把0(1) =f，3)2(=f，28) 3(=f带入二次多项式，得 =+ =+ =+ 2839 324 0 cba cba cba ，20 139 124 111 = =D，40 1328 123 110 1 = =D，60 1289 134 101 2 =D， 20 2839 324 011 3 = =D， 由克拉默法则知 2 1 = D D a，3 2 = D D b，1 3 = D D c， 所以132)( 2 +=xxxf 3问取何值时，齐次线性方程组 =+ =+ =+ 0)4(2 0)6(2 022)5( 31 21 321 xx xx xxx 有非零解？ 解解系数行列式 )210(4)4)(6)(5( 402 062 225 = =D )8)(2)(5()82410)(5( 2 =+=， 当0=D时，即8,2,5=时，齐次线性方程组有非零解 4问取何值时，齐次线性方程组 =+ =+ =+ 02 02 0 21 321 321 xx xxx xxx 有非零解？ 解解系数行列式 ()6 2 31 1 02 031 111 02 12 111 2 3112 = = = + rr D， 19 当0=D时，即32=?时，齐次线性方程组有非零解 复复 习习 题（题（A A） 一、填空题一、填空题 1排列632514的逆序数为10；排列321)2)(1(Lnnn的逆序数为 2 ) 1( nn 解解 241210 415236 i t 排列 123210 12321 nnnt nnn i L L排列 2在五阶行列式)det( ij a的展开式中，包含因子 45342311 aaaa的项是 52 a 3偶排列经过一次对换变成奇排列，奇排列经过两次对换变成奇排列 4设 x x x xx xf 211 232 321 01 )(=，则 3 x的系数为 -1 解解xa= 11 ，xa= 12 ，xa= 22 ，xa= 33 ，xa= 44 ，因为每项取自不同行不同列，所以取xa= 12 ， xa= 33 ，xa= 44 ，1 21 =a，然后 3)2134( 44332112 1) 1(xxxxaaaa= 5已知 4231214 aaaa j 是四阶行列式中的一项，则_3_=j；该项所带符号为负 解解 2210 2134 i t 排列 ，奇排列，所以带负号。 6行列式 342 102 321 =D D D D中的元素3的代数余子式为8，元素3的代数余子式为-4 解解8 42 02 ) 1( 31 13 = + A, , , ,4 02 21 ) 1( 33 33 = + A. . . . 7已知行列式 123 762 54 = a D D D D中元素2 21 =a的代数余子式5 21 =A A A A,则_5_=a. 解解510 12 5 ) 1( 12 21 =+= = + a a A A A A，所以，5=a. 8若三阶行列式零元素的个数超过6个，则该行列式值为0；若n阶行列式零元素的个数超过 ) 1( nn个，则行列式值为0 解解 见课本