黑龙江齐齐哈尔高三数学第二次模拟考试文

齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数，则的实部为（ ）A. -3B. 3C. -2D. 2【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简复数z，结合实部概念得到结果.【详解】，的实部为-3故选：A【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的基本概念，属于基础题.2.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合B，由交集概念得到结果.【详解】，.故选：D【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题.3.若双曲线的一条渐近线与过其右焦点的直线平行，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意可得，从而得到结果.【详解】双曲线的一条渐近线与过其右焦点的直线平行，.故选：B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查运算能力，属于基础题.4.若向量，满足，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】对条件，两边平方可得，从而可得结果.【详解】 ，.故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的性质，考查运算能力，属于基础题.5.某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如表数据由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）468101212356A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（，共2个，求出概率即可详解： 故，解得：，则故5个点中落在回归直线下方的有，共2个，故所求概率是，故选：A点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题6.若函数的最小正周期为，则的单调增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简函数，由周期性得到，进而得到函数的单调增区间.【详解】，由得.故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的周期性与单调性，考查三角恒等变换，属于中档题.7.如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的运行，得到每一步的和的值，当停止循环，输出时，此时的用表示，令其等于，得到结果.【详解】执行程序框图，可得，；，；，输出，由得.故选C项.【点睛】本题考查程序框图的运行，根据输出值求输入值，属于简单题.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 210B. 208C. 206D. 204【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的边长为6，切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2，故该几何体的体积为.故选D项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题.9.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过材料，理解高斯算法，根据高斯算法进行倒序相加，得到答案.【详解】 ，又 ，两式相加可得 .故选A项.【点睛】本题考查对题意的理解，倒序相加法求和，属于简单题.10.已知函数是偶函数，定义域为，单调增区间为，且，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用偶函数的性质分类讨论解不等式即可.【详解】由题意可知：函数在单调递减，且令，则.当时，；当，或.或.故选：C【点睛】本题考查综合函数的奇偶性与单调性，注意奇函数在对称区间的单调性相同，而偶函数在对称区间的单调性相反11.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于C处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，求出体对角线长，即外接球的直径.【详解】由于C处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体.设球O半径为，则，球表面积.故选：B【点睛】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键,属基础题.12.已知若方程有唯一解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据得到解析式，画出图像，对方程进行整理得，在同一坐标系下画出等号两边的函数图像，则两个函数图像有且仅有一个交点，找到符合要求的位置，得到相应的的范围.【详解】方程进行整理得作出函数的图像，如图所示.直线恒过，即直线绕点旋转，当直线过点时，；当直线与曲线相切时，设切点，则切线斜率为切线方程为代入过点，得解得，此时斜率为可求得.根据图像可知当或时，方程有唯一解. 【点睛】本题考查分段函数的图像，图像的交点与方程的解，利用导数求过一点的函数切线，数形结合的数学思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程【详解】x=0时，故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题14.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，数形结合即可得到目标函数的最小值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设zx+2y得yx，平移直线yx，由图象可知当直线yx经过点A时，纵截距最小，z也最小，由，解得A（3，2）目标函数的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键15.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为.若点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】由椭圆的顶点和截距式方程求出直线AB的方程，化为一般式方程，利用点到直线的距离公式列出方程化简，再由a、b、c的关系求出离心率的值【详解】方程为，点到直线的距离为，.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的方程与性质，考查了点到直线的距离公式，考查推理能力与运算能力，属于中档题.16.在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由结合三角恒等变换知识可得，即，从而得到，又，进而可得结果.【详解】由已知得，.是锐角三角形，且，.，.又，.故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用考查了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求满足的最小的值.【答案】（1）；（2）14.【解析】【分析】（1）设出等差数列的基本量，根据条件，得到方程，解出首项和公差，可以得到的通项.（2）根据（1）得到的通项，求出前项和，得到的通项，然后利用裂项相消求和得到，从而求出满足的最小的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，由，成等比数列得且，等差数列的通项公式为.（2），由得，的最小值为14.【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，裂项法求数列通项，属于中档题.18.某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比，百岁及以上老人15人.现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：年龄段（岁）人数（人）12575255（1）从样本中70岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取21人，进一步了解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？（2）从（1）中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；（3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅关于加强新时期老年人优待服务工作的意见精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴；（a）百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；（b）90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴；（c）80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴.试估计政府执行此项补贴措施的年度预算.【答案】（1）6；（2）；（3）6984万元【解析】【分析】（1）采用分层抽样的方法抽，求出各阶段人数的比例，即可求出结果；（2）直接利用古典概型公式即可得到结果；（3）根据县60岁以上、百岁以下的人口占比13.8%，计算本县户籍60岁各阶段人数每月领取55元基本养老金，再加外享受高龄老人生活补贴计算总和政府执行此项补贴措施的年度预算【详解】（1）样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以21人中，80岁及以上老人应抽人.（2）在（1）中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为，其余5人分别记为，从中任取2人，基本事件共15个：，.记“抽到90岁及以上老人”为事件，则包含5个基本事件，.（3）样本中230人的月预算为（元），用样本估计总体，年预算为（元）.所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.【点睛】本题考查了样本的数字特征及频率分布表的应用，考查古典概型，考查计算能力，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题19.如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，.（1）求证：；（2）若平面，且，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证明，转证平面即可；（2）设平面与的交点为，易得四边形是平行四边形.利用等积法即可得到点到平面的距离【详解】（1）在直三棱柱中，又，且，平面，平面，又平面，.（2）设平面与的交点为，连接，则平面平面，平面，平面与棱柱两底面的交线为，四边形是平行四边形.，又是的中点，是中点，由直三棱柱中，的面积为2.由（1）知，的面积为2，设点到平面的距离为，由体积法得，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直关系的判定，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力20.已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直曲联立表示出抛物线弦长，得到关于的方程，求出，得到抛物线的方程.（2）直线与抛物线联立，得到、，再根据题意，得到点和点的坐标，用和表示出，代入、的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线的方程.【详解】（1），直线的方程为，由，联立，得， ， ，抛物线的方程为：.（2）设，直线的方程为：，联立方程组消元得：，. .设直线的方程为，联立方程组解得，又，.同理得. .令，则. .当即时，取得最小值.此时直线的方程为，即.【点睛】本题考查抛物线的弦长，直线与抛物线的位置关系，平面内两点间距离，属于中档题.21.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）当时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f（x）的单调性；（2）函数在上有两个零点等价于函数的图像与x轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围.【详解】（1）当时，令，得，当时，当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2），在时取得极值，即，.所以，函数在上单调递增，在上单调递减，得函数的极大值，当函数在上有两个零点时，必有得.当时，.的两个零点分别在区间与中.的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为 到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数