余弦定理教案范文

余弦定理教案范文 教案： 余弦定理 【 教材 】湘教版必修4第9页至12页. 【教学对象】 （上）学生 【学情分析】 学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题. 【教学目标】 知识与技能 （1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式. （2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理. 过程与方法 （1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维. （2）培养学生数形结合的能力. （3）培养学生的问题解决能力. 情感态度价值观 经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系. 【教学重点】 余弦定理推导 【教学难点】 余弦定理推导及应用 【教法学法】 教法： 一、情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习. 二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体. 三、师生互动的探究教学法：充分给学生提供交流与归纳的空间，使整个数学活动生动活泼和富有个性的学习. 学法： 根据新课程理念，结合学生自身年龄特点和思维特点，让学生通过分组讨论， 汇报交流，归纳等方式进行学习 【教学过程设计】 一、 教学流程设计 二、教学过程设计 2 cosC= 2ab 3 4 1.1.2 正弦定理第一课时教案 主备人：贺鹏 备课组长：刘权 共2课时第一课时 （一）教学目标1知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、 余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。（三）教学设想复习旧知 运用正弦定理能解怎样的三角形？ 已知三角形的任意两角及其一边， 已知三角形的任意两边与其中一边的对角， 创设情景 问题1：如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？问题2：如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？即：如图11-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和?C，求边c ？探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A?如图11-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 bc?c?c?a?ba?b? ?ab?b?2a?b C aB ?2a?2 ?a?b?2a?b?2? 从而 c2?a2?b2?2abcosC (图11-5) 同理可证 a2?b2?c2?2bosA b2?a2?c2?2aosB 余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 即：a2?b2?c2?2bosAb2?a2?c2?2aosB c2?a2?b2?2abcosC 思考3：你还有其它方法证明余弦定理吗？（两点间距离公式，三角形方法） 思考4：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否 由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： b2?c2?a2a2?c2?b2b2?a2?c2 cosB?cosC? cosA?思考5：余弦定理及其推论的基本作用是什么？ 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考6：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析 例1在?ABC 中，已知a ?，c，B?600，求b及A 解：b2?a2?c2?2aosB =2?2?2?cos450 =12?2?1)=8 b? 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2?c2?a210, A?60.解法一： cosA? a解法二： sinA?sinBsin450, 2.4?1.4? 3.8, 0 2?1.8?3.6,ac，即00A900, A?60. 评述：解法二应注意确定A的取值范围。 思考7。在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有 什么利弊呢？ 例2在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 解：由余弦定理的推论得： b2?c2?a287.82?161.72?134.62 ?0.5543,A?56020?； cosA?c2?a2?b2134.62?161.72?87.82 ?0.8398,B?32053?； cosB?90047.? C?1800?(A?B)?1800?(56020?32053) 随堂练习第8页练习第1（1）、（2）题。 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 课后作业 课后阅读：课本第5-6页 课时作业：第11页习题1.1A组第3题。 1.2 余弦定理 南京师范大学附属中学张跃红 教学目标： 1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 教学重点： 重点是余弦定理及其证明过程 教学难点： 难点是余弦定理的推导和证明 教学过程： 1. 创设情景，提出问题 问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一 段山体打通现要测量该山体底侧两点间的距离， 即要测量该山体两底侧A，B两点间的距离（如图 1）请想办法解决这个问题 设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容 2. 构建模型，解决问题 学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出ACBABC是确定的，就可以计算出AB的长接下来，请三位板演其解法 法1：（构造直角三角形） 如图2，过点A作垂线交BC于点D，则 ADACsinC，CDACcosC， BDBCCDBCACcosC， 所以， |AB|?AD|2?|BD|2?AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC C 法2：（向量方法） ?如图3，因为AB?AC?CB， ?2?2 所以，AB?(AC?CB) ?2?2?AC?CB?2AC?CB?cos(?C), 即 |AB|?AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC 法3：（建立直角坐标系） C建立如图4所示的直角坐标系，则A （ACcosC, ACsinC）， B （BC, 0）， 根据两点间的距离公式，可得 |AB|?(|AC|cosC?|BC|)2?(|AC|sinC?0)2， 所以，|AB|?AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC 活动评价：师生共同评价板演 3. 追踪成果，提出猜想 师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有c2?a2?b2?2abcosC成立类似的还有其他等式， a2?c2?b2?2cbcosA，b2?c2?a2?2cacosB 正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理 问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？ 设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯 学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程 教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点 间的距离公式来解决，等等 4. 探幽入微，深化理解 问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？ 学生活动：勾股定理是余弦定理的特例 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a2?b2?c2，a2?b2?c2；c2?a2?b2?2abcosC是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等 教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广） 问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？ 设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用” 学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即 b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2 cosA?,cosB?,cosC? 2bc2ac2ab 5. 学以致用，拓展延伸 练习： 1