2020届1月江西省上饶市一模数学（理）试题（解析版）

2020届1月江西省上饶市一模数学（理）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先求出集合和集合，由此即可得到结论.【详解】由题意，故选：B【点睛】本题考查交集的求法，交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题2计算（ ）ABCD【答案】D【解析】利用复数的运算法则即可得出【详解】由复数的运算法则可得：故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知直线平面，则“直线”是“”的()A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当且时,我们可以得到或（因为直线与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选.4上海地铁号线早高峰时每隔分钟一班，其中含列车在车站停留的分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算问题，求出对应时间的比即可【详解】每分钟一班列车，其中列车在车站停留分钟，根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为.故选：C【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，对应时间的比值是解题关键，属于基础题5张丘建算经卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第天织了五尺，一个月（按天计算）共织九匹三丈（一匹四丈，一丈十尺），则该女子第天比第天多织布的尺数为（ ）ABCD【答案】A【解析】设该女子第一天织布为，利用等差数列即可得到结论.【详解】记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则，则，.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题6已知函数是一个求余数函数，表示除以的余数，例如.如图是某个算法的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】模拟执行程序框图，根据题意，大于的约数有：共个，即可得解.【详解】模拟执行程序框图，可得：，满足条件，；满足条件，；满足条件，；满足条件，；，可得程序框图的功能是统计大于的约数的个数，由于约数有：共个，故故选：C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的的值是解题的关键，属于基础题7已知是不共线的向量，若三点共线，则满足（ ）ABCD【答案】B【解析】利用三点共线，即可得到结论.【详解】由三点共线，得，是不共线的向量， .故选：B.【点睛】本题考查了三点共线，向量共线定理，属于基础题8已知变量满足，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值.【详解】画出表示的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时，直线截距最小，最大，所以，最大值为，故选：A【点睛】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题.9已知函数在上最大值为且递增，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】利用正弦函数的单调性求得的最值，进而可得的最值.【详解】由题意可知，则，.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，不等式的解法，属于基础题10已知，不等式对成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】易证是奇函数且在上单调递减，利用函数性质得不等式，进而解得即可.【详解】，是奇函数且在上单调递减，不等式即：，结合函数的单调性可得：，所以.故选：A【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用奇函数的性质得不等式是关键，属于中档题.11在直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的一点，满足，若点的横坐标取值范围是，则双曲线的离心率取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由可计算得，再利用即可得离心率的取值范围.【详解】由可得，由于，所以，.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，向量数量积的运算，考查计算能力，属于中档题12已知对任意实数都有，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得，进而得，再根据图像比较点与四个点，连线的斜率，即可得到答案.【详解】由，得，故，在取得极小值，根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点与四个点，连线的斜率，由可得.故选：C【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题13若直线是抛物线的一条切线，则_【答案】【解析】根据题意，联立方程即可得到答案.【详解】联立直线和抛物线得到故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.14一个棱长为的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为_【答案】【解析】在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球，即为放置的球与正方体相切与圆柱体也相切，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可.【详解】如图，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图， 设球的半径为，则圆柱体底面圆半径,正方形的边长为，由题意可得，解得，即最大球的半径为.故答案为：.【点睛】本题主要考查球的半径的求法，几何图形的转化，属于基础题.15已知等比数列的前项和为，且，则_【答案】【解析】由等比数列前项和的通项公式得，进而可得比值.【详解】等比数列的前项和为，由已知，可知，则故答案为：.【点睛】本题考查等比数列前项和的代数表达式，利用等比数列的定义是关键，属于基础题.16一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是_【答案】【解析】方法一：根据题意，蚂蚁第一次爬行可以到的任何一点，再利用第二次爬行到与不到进行分类计算，依次计算即可；方法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，由题意得递推关系，进而可得结论.【详解】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到爬行方法总数为（种）解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，构造数列，利用递推关系解决问题，属于中档题.三、解答题17已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用诱导公式和倍角公式对函数解析式化简，将代入即可得到答案；（2）利用余弦定理求得的值，代入三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】（1）函数，由得：，为锐角，；（2）由余弦定理有，.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，要求学生对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练应用，属于基础题.18如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，是等边三角形，侧面底面，点、点分别在棱、棱上，点是线段上的任意一点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）先证平面，再证平面，进而可得平面平面，即可得到答案；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，取平面的法向量，利用向量法求出二面角即可.【详解】（1）连接，由，得平面且，又，则四边形为平行四边形，故，平面又面面，又面平面.（2）如图，以中点为原点，的中垂线为轴，直线为轴，过于平行的直线为轴，建立空间直角坐标系则面的其中一个法向量，设面的一个法向量又，令得，则故二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定，利用向量法求法向量，求二面角的大小，属于中档题19在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户相对贫困户总计（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.附：，其中.【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；（2）根据题意可得贫困指标在的贫困户共有（户），“亟待帮助户”共有（户），则的可能值为，列出分布列，计算期望值即可.【详解】（1）由题意可知，绝对贫困户有（户），可得出如列联表：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户相对贫困户总计故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关（2）贫困指标在的贫困户共有（户），“亟待帮助户”共有（户），依题意的可能值为， ，则的分布列为故【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题20已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.【答案】（1）；（2）是，理由见解析.【解析】（1）求出，代入即可；（2）设直线的方程为，的坐标分别为，求出，的横坐标，利用直线和椭圆联立，由韦达定理得,，即可求出.【详解】（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，又由得，解得：，或（舍去），椭圆方程为；（2）设直线的方程为，的坐标分别为则直线的方程为，令，得点的横坐标直线的方程为，令，得点的横坐标把直线代入椭圆得由韦达定理得,，是定值【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，圆锥曲线的定值问题，属于中档题21已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，单调减区间是，单调增区间是，；当时，单调增区间是，没有单调减区间；（2）.【解析】（1）先求函数的定义域，利用函数的导函数，得或，当时，分，讨论即可得到答案；（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为，由题意得，即，令，求新函数的最大值即可得实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，由，得或.当即时，由得，由得或；当即时，当时都有；当时，单调减区间是，单调增区间是，；当时，单调增区间是，没有单调减区间.（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为.对任意，存在，使得，即存在，使的值不超过在区间上的最小值. 由，.令，则当时，.，当时；当时，.故在上单调递减，从而，从而.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于两点，定点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和的几何意义，即可求得.【详解】（1）将代入，得：，即圆的直角坐标方程为；（2）设点对应的参数为，把直线l的参数方程代入，得：化简得，【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，属于基础题.23选修4-5