2020届甘肃省天水市一中高三上学期第四次考试数学理试题

1 天水一中天水一中 2020 届届 2019-2020 学年度第一学期第四次考试学年度第一学期第四次考试 数学理科试题数学理科试题 一、选择题一、选择题(每题每题 5 分，共分，共 60 分分) 1设集合设集合 |1Ax yx， |( 1)(3)0Bxxx，则，则 BACR)( （ ） A1,3) B(1,3) C( 1,0 1,3) D( 1,0(1,3) 2以下四个命题：以下四个命题： “若若x y ，则，则 22 xy”的逆否命题为真命题的逆否命题为真命题 “2a ”是是“函数函数 logaf xx在区间在区间0,上为增函数上为增函数”的充分不必要条件的充分不必要条件 若若p q 为假命题，则为假命题，则p，q均为假命题均为假命题 对于命题对于命题p： 0 xR， 2 00 10 xx ，则，则 p 为：为：xR ， 2 10 xx 其中真命题的个数是（其中真命题的个数是（ ） A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个 个 3已知已知 0.3 log2a ， 0.1 2b ，sin789c ，则，则a，b，c的大小关系是的大小关系是 Aabc Bac b Ccab Dbca 4函数函数 f(x)=Asin(x+)， （， （A，0，|）的部分图象如图，则）的部分图象如图，则 f(x)=（ ） ） A 24 3 f xsinx B 24 3 f xsinx C 48 2 39 f xsinx D 48 2 39 f xsinx 5已知已知 F1、F2为椭圆为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点，过的两个焦点，过 F1的直线交椭的直线交椭 圆于圆于 A，B 两点，若两点，若 22 12F AF B，则，则|AB|= ( ) A6 B7 C5 D8 6将将 5 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，另两人各本，另两人各 2 本，则不同的分配方法 本，则不同的分配方法 2 是是( )种种(用数字作答）用数字作答） A108 B90 C18 D120 7定义在定义在R上的奇函数上的奇函数 ( )f x满足：当 满足：当0 x 时，时， 2019 2019log x f xx，则函数，则函数( )f x的的 零点的个数是零点的个数是( ) A1 B2 C3 D5 8 在 在ABC 中， 内角中， 内角 A， B， C 的对边分别为的对边分别为 a， b， c， 其中 ， 其中 b=1， abc b = sinC sinAsinBsinC ， 若若 A=2B，则，则ABC 的周长为（的周长为（ ） A3 B4 C23 D 33 9某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大 的侧面的面积为（的侧面的面积为（ ） A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 2 10实数实数 , x y满足条件 满足条件 10 230 xy xy .当目标函数当目标函数,0zaxby a b在该约束条件下取到在该约束条件下取到 最小值最小值4时，时， 12 ab 的最小值为（的最小值为（ ） A6 B4 C3 D2 11已知双曲线已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 12 ,F F，若双曲线的左支上存在，若双曲线的左支上存在 一点一点P，使得，使得 2 PF与双曲线的一条渐近线垂直于点与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，且 22 4PFF H，则此双曲线的离，则此双曲线的离 心率为（心率为（ ） A 2 6 3 B 4 3 C 13 2 D 5 3 12定义在定义在R上的函数上的函数 f x的图象是连续不断的曲线，且的图象是连续不断的曲线，且 2x f xfx e，当，当0 x 时，时， fxf x 恒成立，则下列判断一定正确的是（恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） 3 A 5 23e ff B 5 23fe f C 5 23e ff D 5 23fe f 二、填空题二、填空题(每题每题 5 分，共分，共 20 分分) 13已知向量已知向量1,2a ，3b ， 7ab，则，则|ab_. 14由曲线由曲线 2 y x ，直线，直线 y=2x，x=2 所围成的封闭的图形面积为所围成的封闭的图形面积为_ 15已知二项式已知二项式 3 1 ()nx x 的展开式中各项系数和为的展开式中各项系数和为 256，则展开式中的常数项为，则展开式中的常数项为_. （用（用 数字作答）数字作答） 16如图所示，两半径相等的圆如图所示，两半径相等的圆A，圆，圆B相交，相交，CD为它们的公切线段， 为它们的公切线段， 且两块阴影部分的面积相等，在线段且两块阴影部分的面积相等，在线段AB上任取一点上任取一点M，则，则M在线段在线段 EF上的概率为上的概率为 . 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17(本小题满分本小题满分 12 分分)已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和项和为为 n S，且，且 3 12S ， 69 19aa . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）设）设 2 3 n a n bn ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T . 18 (本小题满分本小题满分 12 分分)如如图， 已知三棱锥图， 已知三棱锥PABC ， 平面， 平面PAC 平平 面面ABC， 1 2 2 ABBCPAPC，120ABC （1）证明：）证明：PABC； （2）设点）设点E为为PC中点，求直线中点，求直线AE与平面与平面PBC所成角的正弦值所成角的正弦值 19(本小题满分本小题满分 12 分分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队 的概率为的概率为 2 3 .本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没设各局比赛相互间没 有影响且无平局有影响且无平局.求：求： （1）前三局比赛甲队领先的概率；）前三局比赛甲队领先的概率； （2）设本场比赛的局数为）设本场比赛的局数为，求，求的概率分布和数学期望的概率分布和数学期望. (用分数表示用分数表示) 4 20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知抛物线已知抛物线 2 :20E ypx p，过其焦点，过其焦点F的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于 11 ,A x y、 22 ,B xy两点，满足两点，满足 12 4y y . （1）求抛物线）求抛物线E的方程；的方程； （2）已知点）已知点C的坐标为的坐标为2,0，记直线，记直线CA、CB的斜率分别为的斜率分别为 1 k， 2 k，求，求 22 12 11 kk 的最小的最小 值值. 21(本小题满分本小题满分 12 分分) 已知函数已知函数 2 2lnf xxaxx（其中（其中 a 是实数） 是实数） （1）求）求的单调区间；的单调区间； （2）若设）若设，且，且有两个极值点有两个极值点 1 x 2 x，求，求a取值范围 （其中取值范围 （其中 e 为自为自 然对数的底数然对数的底数 选做：共选做：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22,23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22 (本小题满分本小题满分 10 分分)在直角坐标系在直角坐标系xOy中， 直线中， 直线 1: 2Cx ， 圆， 圆 22 2:( 1)(2)1Cxy， 以坐标原点以坐标原点O为极点，以为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求）求 1 C， 2 C的极坐标方程；的极坐标方程； （2）若直线）若直线 3 C的极坐标方程的极坐标方程 4 ()R，设，设 2 C与与 3 C的交点为的交点为M，N，求，求 2 C MN的的 面积面积. 23(本小题满分本小题满分 10 分分)设函数设函数 ( ) |1| 5()f xxmxmR （1）当）当2m 时，求不等式时，求不等式( )0f x 的解集；的解集； （2）若）若 ( )2f x ，求实数 ，求实数 m 的取值范围的取值范围 5 理科答案理科答案 一、选择题： BCBAD BCDBD DB 12.构造函数 x f x g x e ，因为 2x f xfx e，所以 2x f x fx e 则 2x xxx f x fxf x e gxg x eee ，所以 g x为偶数 当0 x 时， 0 x fxf x gx e ，所以 g x在0,上单调递增， 所以有 32gg，则 32gg，即 32 32ff ee ，即 5 32e ff. 故选：B 一、填空题 13. 3 14 . 3-2ln2 15. 28 16. 4 1 16.设圆的半径为r。由题意可得 22 11 2 42 ABCD Srr 所以 2 11 22 ABrrr ， 1 22 2 EFrrrr 所以 24 1 1 2 EFrr P AB r 二、解答题 17.【答案】【答案】 （1） 2 n an； （2） 12 33 2 n n nn T . （1）由题得 111 11 212 5819 aadad adad ， 解之得 1 3,1ad， 6 所以3(1) 12 n ann ， 所以数列 n a的通项公式为2 n an. （2）由题得3n n bn， 所以数列 n b的前n项和 n T 123 (3333 )(1 23) n n ， 所以 12 3(1 3 )333 (1)(31)(1) 1 32222 nn n n nnnn Tnn . 18.(1) 2ABBC,120ABC,由余弦定理得 222 2cos12ACABBCAB BCABC ,故2 3AC . 又 222 4 1216PAACPC ,故PAAC .又平面PAC 平面ABC,且平面PAC 平 面ABCAC,故PA平面ABC.又BC 平面ABC,故PABC. 证毕. (2)由(1)有PA平面ABC,故以A为坐标原点,垂直 ,AC AP为x轴,AC为y轴正向,AP为z 轴正向建如图空间直角坐标系. 则 (0,0,0)A, (1, 3,0)B ,(0,0,2)P,(0,2 3,0)C,(0, 3,1)E. 故(0, 3,1)AE ,(0,2 3, 2)PC ,( 1, 3,0)BC , 设平面PBC的法向量( , , )mx y z则 2 3200 0 30 yzm PC m BC xy , 7 令1y 有 3 1 3 x y z ,故( 3,1, 3)m ,设AE与平面PBC所成角为 ,则 222 2 2 321 sin 7 31313 AE m AE m 故答案为： 21 7 19.解： （1）设“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B， 则 3 28 ( ) 327 P A ， 2 2 3 214 ( ) 339 P BC ， 所以，前三局比赛甲队领先的概率为 20 ( )( ) 27 P AP B （2）甲队胜三局或乙胜三局， 33 211 (3) 333 P 甲队或乙队前三局胜2局，第 4局获胜 2 2 3 212 (4) 333 PC 2 2 3 12110 33327 C 甲队或乙队前四局胜2局，第5局获胜 22 2 4 212 (5) 333 PC 22 2 4 1218 33327 C 的分部列为： 3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 数学期望为 1108107 ( )345 3272727 E 8 20.（1）因为直线AB过焦点 ,0 2 p F ，设直线AB的方程为 2 p xmy， 将直线AB的方程与抛物线E的方程联立 2 2 2 p xmy ypx ，消去x得 22 20ympyp， 所以有 2 12 4y yp，0p ，2p，因此，抛物线E的方程 2 4yx； （2）由（1）知抛物线的焦点坐示为1,0F，设直线AB的方程为1xmy， 联立抛物线的方程 2 440ymy，所以 12 4yym， 12 4y y ， 则有 11 13 m ky ， 22 13 m ky ， 因此 22 2 2222 12121212 11331111 =269mmmm kkyyyyyy 22 1212222 12 22 1212 24849 2692695 4162 yyy ymyym mmmmm y yy y . 因此，当且仅当0m 时， 22 12 11 kk 有最小值 9 2 . 21.解析： （1） 2 2f xxaxlnx (其中a是实数)， f x的定义域0,， 2 222 2 xax f xxa xx ， 令 2 22g xxax，= 2 a-16,对称轴x 4 a ， 02g， 当= 2 a-160，即-44a时， 0f x ， 函数 fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间， 当= 2 a-160,即4a 或4a时， 若4a ，则 0f x 恒成立， 9 f x 的单调递增区间为0,，无单调递减区间。 若a 4，令 0f x ，得 1 x= 2 16 4 aa ， 2 x= 2 16 4 aa ， 当x(0, 1 x)( 2 x,+)时， 0f x ， 当x（ 12 xx，）时， 0f x f x的单调递增区间为（0， 1 x） ， （ 2 x ，） ，单调递减区间为（ 12 xx，） 综上所述当4a 时， fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间， 当4a 时， fx的单调递增区间为（0， 1 x）和（ 2 x ，） ，单调递减区间为（ 12 xx，） (2)由(1)知，若 fx有两个极值点，则a 4，且 12 0 2 a xx， 12 1x x ， 12 01xx 又 2 11 220 xax， 1 1 1 a2 x x ， 120 2 3 ea e ， 1 1 111 3 3 ex ex ， 又 1 01x，解得 1 11 3 x e ， 令 2 2 1 4h xxlnx x ， 11 (x) 2e