安徽省滁州市(九校)2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题含解析

滁州九校20172018学年度第一学期高二期末考试数学试卷（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出人，若抽出的男生人数为12，则等于（ ）A. 16 B. 18 C. 20 D. 22【答案】B【解析】因为高二（2）班男生 人，女生 人，现用分层抽样方法从中抽出人，所以 ，故选B.2. 命题“”的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为“”，故选C.3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】由双曲线方程，可得 ，所以渐近线方程为 ，焦点坐标为 ，由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离为 ，故选C.4. 下列函数是偶函数的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，即不是奇函数，又不是偶函数，不合题意，是奇函数，不合题意， ，是偶函数，合题意，即不是奇函数，又不是偶函数，不合题意，故选C.5. 若正方形的边长为1，则在正方形内任取一点，该点到点A的距离小于1的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在正方形内任取一点，该点到点的距离小于的点，在以点为圆心以为半径的四分之一圆内，面积为 ，所以在正方形内任取一点，该点到点的距离小于的点的概率为 ，故选A.【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6. “函数在区间上是增函数”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，“函数在区间上不是增函数”，时，在上是增函数，时，令，得，“在区间上是增函数” 的充分必要条件“”，故选C.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】执行程序框图， ，输出，故选D.8. 设命题；命题若，则方程表示焦点在轴上的椭圆，那么，下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】不存在使为假，为真，又时，方程表示焦点在轴上的椭圆，为真，为假，为真，故选B.9. 将曲线向左平移个单位后，得曲线，则函数的单调增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】曲线向左平移个单位后，得到，由，得，等价于，函数的单调增区间为，故选C.10. 已知长方体是线段上一点，且是0中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由长方体的性质，可得，则，设在平面上射影为，则为直线与平面成的角，则 ，得，又 ，故选A.11. 在中，角的对边分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以由正弦定理得，即，由正弦定理可得 化为 ，故选A. 12. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过左顶点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】由，得，则的面积为， ，故选B.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据的面积为，建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 已知向量，若，则_【答案】【解析】，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的与时，则输出的两个值的和为_【答案】【解析】时，时，输出的两个值的和为，故答案为.15. 在长方体中，点分别为的中点，点在棱上，若平面，则四棱锥的外接球的体积为_【答案】.16. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上第一象限内的点，的延长线依次交轴，椭圆于点，若，则直线的斜率为_【答案】【解析】，设方程为，由，得，设，因为，则，故答案为.三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 甲乙两人同时生产内径为的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件（单位：），甲：25，44，25，43，25，41，25，39，25，38乙：25，41，25，42，25，41，25，39，25，42从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高【答案】见解析.【解析】试题分析：分别利用平均值公式算出甲乙两人生产的零件的平均值，再利用方差公式算出甲乙两人生产的零件的方差，发现甲、乙平均数相同，乙的方差较小，乙生产的零件比甲的质量高试题解析：甲的平均数，乙的平均数，甲的方差，乙的方差，甲、乙平均数相同，乙的方差较小，乙生产的零件比甲的质量高18. 已知直线与抛物线相交于两点，是坐标原点（1）求证：；（2）若是抛物线的焦点，求的面积【答案】（1）见解析.（2）【解析】试题分析：（1）由，得，根据韦达定理以及平面向量数量积公式可得，；（2）由（1）知的面积等于，直线与轴交点为，抛物线焦点为，的面积为.试题解析：（1）证明：由，得，设，则，且，；（2）解：由（1）知的面积等于，（用求解同样给分）直线与轴交点为，抛物线焦点为，的面积为19. 某高校进行社会实践，对岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在岁、岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%请完成以下问题：（1）求岁与岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从岁和岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队，求领队的两人年龄都在岁内的概率【答案】（1）240,120;（2）【解析】试题分析：（1）根据直方图的性质可得，岁的人数为，岁的人数为；（2）利用列举法可得人中抽取两人的情况共有种，其中两人年龄都在岁内的的情况有种，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（1）岁的人数为，岁的人数为；（2）由（1）知岁中抽4人，记为，岁中抽2人，记为，则领队两人是共15种可能，其中两人都在岁内的有6种，所以所求概率为【方法点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知为等差数列的前项和，已知（1）求数列的通项公式和前项和；（2）是否存在，使成等差数列，若存在，求出，若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，使成等差数列【解析】试题分析：（1）利用基本量法，得求得和；（2）由等差中项公式，所以，解得，即存在，使成等差数列.试题解析：（1）设的公差为，则，所以.（2），若存在使得成等差数列，则，解得，所以存在，使成等差数列.点睛：常规的数列题型要熟悉常规的通项公式和求和公式，利用基本量法求得，解出通项公式。三项成等差得到等差中项公式，则得到，有解则存在，无解则不存在。21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是中点（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据勾股定理可证明平面，从而可分别以为轴、轴，轴，建立空间直角坐标系，先求的方向向量，再出利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，从而可得线面成角的正弦值，进而可得结果；（2）利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，结合（1）的结论，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值.试题解析：正方形边长，平面，分别以为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，（1）设平面的一个法向量，则，令，得，与平面所成角的正弦值，点到平面的距离为；（2）设平面的一个法向量，则，令，得，二面角的余弦值为【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角与线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22. 设椭圆经过点是椭圆的左、右焦点，且的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过椭圆内的一点作斜