江苏南京溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考高三数学期中

江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2020届高三数学上学期期中试题注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合A1，2，3，4，Bx|x24x0，则AB 2若复数z满足zi13i，其中i为虚数单位，则 开始结束输入a,bab输出aaabYN3某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为 4执行如图算法框图，若输入a4，b，则输出a的值是 5在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为 6任取x2，2，4，y1，1，2，则使得向量a(2，1)与b(x，y)平行的概率为 7已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x0时f (x)a，a为实数，则f (4)的值是 8已知数列an是等比数列，且a1a3a58，a78，则a1的值是 9已知矩形ABCD的边AB4，BC3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC平面BAC，则三棱锥DABC的体积是 10在平面直角坐标系xOy中，过点P(1，0)的直线l与圆C：x2y22x0交于A，B两点，若CACB，则直线l的斜率是 11已知(0，)，且P(4，3)是终边上一点，则cos的值是 12实数x，y满足条件xy14xy且x1，则(x1)(y2)的最小值是 13已知AB是半径为3的圆M的直径，点C是圆周上除A，B外一点，若点P满足2，则的值是 14已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosCcsinB （1）求角C的大小； （2）若c2，ab10，求ABC的面积16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点EEDB1A1C1CBA求证：（1）DE平面B1BCC1； （2）平面A1BC平面A1ACC117（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，且短轴长为2 （1）求椭圆的方程；yxONMDCBA （2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，点C，D是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线AC，BD交x轴分别于点M，N，求证：为定值18（本小题满分16分） 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCDAB，AD的长分别为2m和4m， 上部是圆心为O的劣弧CD，COD 图1 图2 图3 图4（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示设BC与地面水平线l所成的角为记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用的函数表示h，并求出h的最大值 19（本小题满分16分）等差数列an公差大于零，且a2a3，a22a32，记an的前n项和为Sn，等比数列bn各项均为正数，公比为q，记bn的前n项和为Tn（1）求Sn；（2）若q为正整数，且存在正整数k，使得Tk，T3kS2，S5，S6，求数列bn的通项公式；（3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列cn，求cn的一个通项公式20（本小题满分16分）已知函数f (x)x2(a2)x2，g (x)lnx，aR（1）若曲线yg (x)在x1处的切线恰与曲线yf (x)相切，求a的值；（2）不等式f (x)xg (x)对一切正实数x恒成立，求a的取值范围；（3）已知a2，若函数h(x)f (x)ag (x)2a在(0，2)上有且只有一个零点，求a的取值范围2019-2020学年度第一学期高三期中考试数学附加题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知x，yR，矩阵A有一个属于特征值2的特征向量，（1）求矩阵A；（2）若矩阵B，求A1BB选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，P为曲线C1：(为参数)上的动点，Q为曲线C2：(t为参数)上的动点，求线段PQ的最小值C选修45：不等式选讲设a，b，c为正实数，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，APAB1，F，E分别是PB，PC中点（1）求DE与平面PAB所成角的正弦；APFECBD（2）求平面ADEF与平面PDE所成锐二面角的值23（本小题满分10分）2020年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为，男球迷选择德国队的概率为，记X为三人中选择德国队的人数，求X的分布列和数学期望.南京市建邺高级中学、溧水第二高级中学期中考试高三数学参考答案 2019.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）12，3 2 380 4 52 6 72 81 9 10 11 1227 1372 14(，2(0，二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15解：（1）因为 ， 由正弦定理可得： 所以4分 又因为5分 所以6分 （2）因为8分 所以 10分 所以 14分EDB1A1C1CBA16证明：（1）直三棱柱ABCA1B1C1中， ， 所以四边形是平行四边形，且 所以为中点，2分 同理为中点， 所以4分 又因为平面，平面， 所以6分 （2）直三棱柱ABCA1B1C1中，平面， 因为平面，所以， 因为， 平面 所以平面12分 又因为平面 所以平面平面14分yxONMDCBA17解：（1），2分 解得： 所以椭圆方程为：4分 （2）设， 则：6分 所以8分 同理10分 所以 又因为，14分18解：（1）如图，过作与地面垂直的直线交，于点，交劣弧于点， 的长即为拱门最高点到地面的距离 在中， 所以，圆的半径 所以4分 答：拱门最高点到地面的距离为5 （2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离 之和；当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离连接 由（1）知，在中，6分 以为坐标原点，水平直线为轴，建立如图所示的坐标系 当点在劣弧上时， 由，由三角函数定义， 得 则 8分 所以当，即时，取得最大值 10分当点在线段上时，连接，设，在中，则，由，得所以 13分又当时，所以在上递增所以当时，取得最大值5因为2+235，所以的最大值为2+2315分综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+23）m。16分19解：（1）设an公差为d，d0，因为a2a3，a22a32，所以a1da12d，(a1d)2(a12d)2，解得a1，d，于是Snn4分（2）S2，S5，S6，当q1时，Tkkb1，T3k3kb1，3，舍；5分当q1时，Tk，T3k，所以1qkq2k，6分因为qN*且q1，所以q2，因此1247，于是Tk，T3k，因此1qkq2k7，解得qk2或3(舍)，8分从而q2，k1，代入Tk得b1所以bn32n2 10分（3）因为Sn为整数项，所以n4k或者4k1，kN*当n4k1，kN*时，Snk(4k1)；当n4k，kN*时，Snk(4k1)；12分因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列cn，且k(4k1)k(4k1)(k1)4(k1)1(k1)4(k1)1，所以当n为奇数时，cn(41)；当n为偶数时，cn(2n1)；所以cn16分20解：（1）因为g(x)，所以kg(1)1， 又切点为(1，0) 因此曲线yg (x)在x1处的切线为yx1，2分 将yx1与yx2(a2)x2联立，消去y得：x2(a3)x30， 由题意知(a3)2120， 解得a324分 （2）因为f (x)xg (x)， 所以x2(a2)x2xlnx， 即a2xlnx， 设(x)xlnx，x0， 则(x)，6分 当x(0，2)时，(x)0，(x)单调递减；当x(2，)时，(x)0，(x)单调递增； 因此(x)min(2)3ln2， 所以a23ln2，即a1ln28分 （3）h(x)f (x)ag (x)2ax2(a2)xalnx2a2， h(x)， 9分 当a0时， 当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增； 所以h(x)minh(1)a1， 当a10即a1时，因为h(e2)e4(a2)e22e2(e2a)2(1e2)0，又h(1)a10，所以h(x)在(0，1)上存在唯一的零点，因此h(x)在(1，2)上无零点，所以h(2)0即aln220，解得a又a1，所以a当a10即a1时，h(x)有唯一的零点x1当a10即1a0时，h(x)0恒成立，所以h(x)无零点13分当0a2时，当(0，)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(，1)时，h(x)0，h(x)单调递减；当x( 1，)时，h(x)0，h(x)单调递增；因为h(1)a10，所以当x(，)，h(x)无零点设x0e，则0x01，于是h(x0)x0(x0a2)0， 又h()h(1)0， 所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点，即h(x)在(0，2)上有且只有一个零点，15分 综上可知：a或a1或0a216分数学附加题答案：21.A【答案】（1）A.（2）. 【详解】（1）由题意可得2，得 即x1，y2； A.4分 （2）|A|1，8分 .10分21.B【答案】最小值。 【详解】 对曲线消去参数 曲线的直角坐标方程为 2分 设曲线上的任意一点为， 则点到曲线：的距离，8分 当，即时，10分21.C【答案】见证明【详解】因为，所以4分由，由柯西不等式，得8分所以，即.10分22.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】(1) 易知两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系则(2)求得平面的一个法向量，平面的一个法向量平面与平面所成锐二面角为.23.【答案】(