复变函数洛朗级数

,4.4.3最大(小)模原理,定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.,证:如果用M表|f(z)|在D内的最小上界,则必0M+.(反证法)假定在D内有一点z0,函数f(z)的模在z0达到它的最大值,(1)应用平均值定理(定理3.12)于以z0为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域D内的一个圆|z-z0|R,就得到,在z0达到它的最大值,即|f(z0)|=M.,(4.15),由于,而,以下再用反证法说明这一点:,如果对于某一个值=0有：（反证）,那么根据|f(z)|的连续函数的保号性：,在这个区间之外,总是,在这样的情况下,由(4.15)得,z0,因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上|f(z)|=M.,自相矛盾,z0,z0,z0,z0,z0,|f(z)|=M.,在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有,让R趋近于零,(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.,推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;,(2),则除f(z)为常数,否则|f(z)|0，,则f(z)在圆|z|a,但f(0)a,f(z)在闭圆|z|R上解析。故，,第五章解析函数的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点,5.1解析函数的洛朗展式5.2解析函数的孤立奇点5.3解析函数在无穷远点的性质5.4整函数与亚纯函数,学习要求,理解双边幂级数的有关概念；理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；理解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；理解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。,5.1解析函数的洛朗展式,5.1.1双边幂级数,双边幂级数定义：称级数,（5.3）,为复常数，称,为双边幂级数（5.3）的系数,为双边幂级数，其中,负幂项部分,非负幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,f1(z),f2(z),f(z),收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:,R1,a,a,R,a,r,H,f(z)=f1(z)+f2(z,这时,级数(5.3)在圆环H:r|z-a|R收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z),定理5.1设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为H:r|z-a|R(r0,R+)则(1)(5.3)在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:f(z)=f1(z)+f2(z).,(2)f(z)在H内解析.,在H内可逐项求导p次(p=1,2,).,由定理4.10和4.13,常见的特殊圆环域:,定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r|z-a|R,(r0,R+)内解析的函数f(z)必可展成双边幂级数,其中,(5.5),(5.4),5.1.2解析函数的洛朗展式,a,证(如图5.1)对zH,总可以找到含于H内的两个圆周,使得z含在圆环,z,图5.1,内，因为f(z)在圆环,上解析,由柯西积分公式有,或写成,(5.6),我们将上式中的两个积分表示为含有z-a的(正或负)幂次的级数.,1,对于第一个积分,只要照抄泰勒定理4.14证明中的相应部分,就得,(5.7),(5.8),1,2,类似地,对(5.6)的第二个积分,我们有,2,于是上式可以展成一致收敛的级数,沿1逐项求积分,两端同乘以,(5.9),(5.10),由(5.6),(5.7),(5.9)即得,回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周,有,于是系数可统一表成(5.5).,因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.,上一致收敛.乘以上的有界函数:,最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:,由定理5.1知,它在圆周,故可逐项积分，得：,仍然一致收敛,利用重要积分公式，m=n,右端为2i,其余为零得：,定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.,5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系,泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.,例1判断,在下列区域内,能展成什么幂级数,即：罗朗级数或泰勒级数,例1,内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.,解,由,且仍有,此时,仍有,说明:,回答：不矛盾.,朗展开式是唯一的),问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?,(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛,5.1.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式,定义5.2如果f(z)在点a的某一去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)内解析,点a是f(z)的奇点(见定义2.3),则称为f(z)的孤立奇点.,结论：如果a为f(z)的一个孤立奇点，则f(z)在a的某一去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)能展成洛朗级数,将函数展成洛朗级数,常用方法:1.直接法2.间接法,1.直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点:计算往往很麻烦.,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,优点:简捷,快速.,2.间接展开法,5.1.5典型例题,例1,解,由定理知:,其中,故由柯西定理知:,由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,解,例2,例3,解,例4,内的洛朗展开式.,解,五、小结与思考,在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛