贵州凯里第一中学高三数学开学考试理

贵州省凯里市第一中学2020届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则A. 1B. C. D. 23. 某地区高考改革，实行“”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种4. 已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，有以下结论：，其中正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等差数列的公差为2，若，成等比数列，则的值为A. B. C. D. 6. 若二项式的展开式的第5项是常数，则自然数n的值为A. 6B. 10C. 12D. 157. 已如非零向量，满足，则与的夹角为A. B. C. D. 8. 函数的图象可能是A. B. C. D. 9. 已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则A. 为奇函数，在上单调递减B. 周期为，图象关于点对称C. 为偶函数，在上单调递增D. 最大值为1，图象关于直线对称11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 12. 定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题）13. 曲线在点处的切线方程为_14. 已知，则_15. 若抛物线上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则的面积为_16. 已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于_三、解答题（本大题共7小题）17. 商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：单价元1516171819销量件6058555349求销量y关于x的线性回归方程；预计今后的销售中，销量与单价服从中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？结果保留整数参考数据：，参考公式：，18. 在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知求角C的大小；若，求周长的取值范围19. 如图所示，四棱锥中，底面ABCD；，求证：平面SAD；求直线SD与平面SBC所成角的正弦值20. 设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，求椭圆和抛物线的方程；设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆一点，且有，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB的方程21. 已知函数求函数的单调区间；若恒成立，求a的值22. 在直角坐标系xOy中，曲线为参数，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的极坐标方程；已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线的交点为O，P，与曲线的交点为Q，求的面积23. 已知当时，求不等式的解集；若时不等式成立，求a的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：，；故选：B可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2.【答案】A【解析】解：，故，故选：A根据复数的基本运算法则进行化简即可本题主要考查复数模长的计算，比较基础3.【答案】B【解析】解：根据题意，分3步进行分析：，语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；，在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法；，在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法；则这名学生的不同选科组合有种；故选：B根据题意，分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题4.【答案】B【解析】解：对于，时，根据两个平面互相垂直的判定定理，不能得出，错误；对于，根据两个平面互相平行的判定定理，不能得出，错误；对于，根据两个平面互相垂直的判定定理，得出，正确；对于，根据直线与平面平行的判定定理，不能得出，错误综上，正确的命题是，只有1个故选：B根据空间中的直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系，判定正误即可本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题5.【答案】C【解析】解：由，成等比数列，得到，又公差，得到，即，解得：，则 故选：C由，成等比数列，根据等比数列的性质及通项公式，由列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，由求出的首项和公差，根据等差数列的通项公式求出和的值，即可求出结果此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题6.【答案】C【解析】解：的展开式的通项为 展开式的第5项是常数 故答案为C利用二项展开式的通项公式求得第项，求出第五项，令x的指数为0求得n二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具7.【答案】C【解析】解：非零向量，满足，所以；又，所以，即；所以，又，所以，即与的夹角为故选：C由平面向量的数量积与夹角公式，结合特殊角的余弦函数，即可求出与的夹角本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于中档题直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果【解答】解：根据函数的解析式，得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B当时，函数的值为0，故排除C故选D9.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为偶函数，当时，由是增函数可知单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，则故选：D根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键10.【答案】D【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，故为偶函数，函数单调递减，故A不正确；再根据的周期为，最大值为1，当时，故B错误；，函数没有单调性，故C错误；当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，故选：D由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程【解答】解：设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，且ON为的中位线，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，则双曲线的渐近线方程为故选A12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目由不等式在上恒成立，得到函数在时是增函数，再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案【解答】解：定义在R的奇函数满足：，且，又时，即， 0/，函数在时是增函数，又，是偶函数；时，是减函数，结合函数的定义域为R，且，可得函数与的大致图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为3个故选：C13.【答案】【解析】解：依题解：依题意得，因此曲线在处的切线的斜率等于1，所以函数在点处的切线方程为 故答案为：利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14.【答案】【解析】解：，故答案为：利用二倍角公式即可算出结果本题主要考查了二倍角公式，是基础题15.【答案】【解析】解：由抛物线定义，所以，所以，的面积故答案为：利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力16.【答案】【解析】解：设球心为O，如图由，可求得在矩形ABCD中，可求得对角线，故BE 由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，设，在直角三角形BOE中，过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，故在直角三角形POH中，解得，球的半径则此球的表面积等于故答案为：设球心为O，如图由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，设，分别在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半径的式子，通过解方程求得此球的半径，从而得出表面积本题是基础题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力17.【答案】解：，销量y关于x的线性回归方程为；设商品A的单价应定为x元，则利润，当时，获得的利润最大【解析】由已知求得与的值，则线性回归方程可求；设商品A的单价应定为x元，则利润，再由二次函数求最值本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题18.【答案】解：，又，则的周长，周长的取值范围是【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键19.【答案】证明：在中，则，在中，由，得，又，平面SAD，平面SAD，平面SAD；解：由底面ABCD，可以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得0，1，0，2，设平面SBC的一个法向量为，由，取，得，设直线SD与平面SBC所成角为，则【解析】由已知求解三角形证明，再由，可得，由线面平行的判定可得平面SAD；以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面SBC的一个法向量，利用空间向量求解直线SD与平面SBC所成角的正弦值本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题20.【答案】解：由得，又有，代入，解得，所以椭圆方程为，由抛物线的焦点为得抛物线的方程为：由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于0，设直线OA方程为：，得：，可知点A的横坐标，即，因为，可设直线OB方程为：联立可得得：，从而得，若线段AB的中点在y轴上，可知，即，且有，且，解得，从而得，直线AB的方程：【解析】通过离心率以及短轴长，求出b，a得到椭圆方程，通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可可知直线OA的斜率一定存在且大于0，设直线OA方程为：，联立得，求出点A的坐标x，然后求解B的坐标，即可求解直线AB的方程本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21.【答案】解：的定义域是，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；恒成立，即恒成立，时，即在恒成立，令，令，则，故在递增，故，故，故在递增，由，故，时，显然成立，时，即在恒成立，令，故在递增，由，故，综上，【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；通过讨论x的范围，得到在恒成立或在恒成立，根据函数的单调性求出a的值即可本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题22.【答案】解：，其普通方程为，化为极坐标方程为：联立与l的极坐标方程：，解得P点极坐标为联立与l的极坐标方程：，解得Q点极坐标为，所以，又点M到直线l的距离，故的面积【解析】先利用平方关系式消去参数t