福建达标校高二数学暑期集训营六十四理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第 I 卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合 题目要求的. 1.已知集合 2 1 log,1 ,1 2 x Ay yx xBy yxB ，则A，则AB A. 1 0, 2 B. 0,1 C. 1 ,1 2 D. 2.若复数 12 ai i 是纯虚数，则实数a的值为 A. 2 B. 1 2 C. 2 D. 1 3.圆 2 2 11xy和圆 22 2440 xyxy的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能 4.已知函数 lnx f xe，则函数1yf x的大致图象为 5.下列命题： 4k 是方程 22 24380 xykxyk 表示圆的充要条件； 把sinyx的图象向右平移 3 单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2 ，得到函数 sin 2 3 yx 的图象； 函数 sin 20 36 f xx 在，上为增函数； 椭圆 22 1 4 xy m 的焦距为 2，则实数 m 的值等于 5. 其中正确命题的序号为 A. B. C. D. 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【2】 6.若圆台两底面周长的比是 1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比 是 A.1：16 B.39：129 C.13：129 D.3：27 7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C. 1 2 D. 1 8.函数 2 ln1f xx x 的零点所在的大致区间 是 A. 0,1 B. 1,2 C. 2,e D. 3,4 9.有 3 位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是 1 3 ，且各人能否通过测试是相互独立 的，则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A. 8 27 B. 4 9 C. 2 3 D. 19 27 10.已知函数 32 1 2 3 f xxaxbxc有两个极值点 1212 ,112x xxx ，且，则直线 130bxay的斜率的取值范围是 A. 2 2 , 5 3 B. 2 3 , 5 2 C. 2 1 , 5 2 D. 22 , 53 第 II 卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. 6 2 1 x x 的展开式中的常数项是_. 12.当01aa且时，函数 log11 a f xx的图像恒过点 A，若点 A 在直线0mxyn 上，则42 mn 的最小值为_. 13.两曲线 2 0,2xyyxx所围成的图形的面积是_. 14.若数列 n a的通项公式为 * 122 1 11. 1 1 nn anNf naaa n ，记 试通过计 算 1 ,2 ,3fff的值，推测出 f n _. 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【3】 15.已知双曲线的方程为 22 22 10,0 xy ab ab ，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 5 3 c （c 为双曲线的半焦距长） ，则双曲线的离心率 e 为_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分 12 分） 已知直线两直线 12 1 : cos10:sin, 26 lxylyxABC ；中， 内角A， B， C对边分别为 , ,2 3,4=a b cacA，且当时，两直线恰好相互垂直； （I）求A值； （II）求b和ABC的面积 17. （本小题满分 12 分） 右图为某校语言类专业 N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知 8090 分数段的学 员数为 21 人 （I）求该专业毕业总人数 N 和 9095 分数段内的人数n； （II）现欲将9095分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中 至少有一名男生的概率为 3 5 ，求n名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？ （III）在（II）的结论下，设随机变量表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分 布列和数学期望. 18. （本小题满分 12 分） 如图，ABCD 为梯形，PD 平面ABCD，AB/CD，= ADC=90BAD o 22 ,3 ,3DCABa DAa PDa，E为BC中点，连结AE，交BD于O. （I）平面PBD 平面PAE （II）求二面角DPCE的大小（若非特殊角，求出其余弦即可） 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【4】 19. （本小题满分 12 分） 已知 n S是等差数列 n a的前 n 项和，数列 n b是等比数列， 15 1 ,1 2 ba恰为 4 2 1 S b 与的等比中项，圆 2 2 2 :22 n CxnySn，直线: l xyn，对任意nN，直线l都与圆C相切. （I）求数列 nn ab，的通项公式； （II） 若1n 时， 1 111 1111 1,2., 1111 12 nn nnn cncc bbbb 时，的前n项和为 n T， 求证： 对任意2n ，都有1 2 n n T 20. （本小题满分 13 分） 已知 22 1,ln1,1g xbxcxf xxaxxg xx在处的切线为2yx （I）求, b c的值； （II）若 1afx ，求的极值； （III） 设 h xf xg x， 是否存在实数,0,axe当（2.718e， 为自然常数） 时， 函数 h x 的最小值为3. 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【5】 21. （本小题满分 14 分） 已知抛物线 2 1: 2Cypx上一点 0 3My，到其焦点F的距离为4； 椭圆 22 2 22 10 yx Cab ab ：的 离心率 2 2 e ，且过抛物线的焦点F. （I）求抛物线 1 C和椭圆 2 C的标准方程； （II）过点 F 的直线 1 l交抛物线 1 C于A、B两不同点，交y轴于点N，已知NAAF NBBF uuruuu r uuu ruuu r ，求 证：为定值. （III）直线 2 l交椭圆 2 C于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为 P ， Q ， 10OP OQOP OQ uuu r uuu ruuu r uuur gg，若点S满足：OSOPOQ uuruu u ruuu r ， 证明：点S在椭圆 2 C上. 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【6】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 参 考 答 案 1616 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 解：()当A时，直线 12 1 : cos10;:sin() 26 lxylyx 的斜率分别为 12 2cos ,sin() 6 kA kA ，两直线相互垂直 所以 12 ( 2cos )sin()1 6 k kAA 即 1 cossin() 62 AA 可得 1 cos(sincoscossin) 662 AAA 所以 2 311 sincoscos 222 AAA，所以 31 1 cos21 sin2() 4222 A A 即 31cos2 sin21 22 A A 即 1 sin(2) 62 A 4 分 因为0A，022A，所以 13 2 666 A 所以只有 5 2 66 A 所以 3 A 6 分 () 2 3,4, 3 acA , 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【7】 所以 222 2cos 3 abcbc 即 2 1 12168 2 bb 所以 2 (2)0b 即2b 9 分 所以ABC的面积为 11 sin4 2sin2 3 223 ABC SbcA 12 分 () 9095分 数段内共6名毕业生,设其中男生x名,女生为6x名 设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A,则 则 6 6 2 2 3 ( )1 5 x C P A C 解得2x 或9(舍去) 即6名毕业生中有男生2人,女生4人8 分 () 表示n名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数, 所以的取值可以为0,1,2 当0时, 3 4 3 6 1 (0) 5 C P C 当1时, 12 24 3 6 3 (1) 5 C C P C 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【8】 当2时, 21 24 3 6 1 (2) 5 C C P C 所以的分布列为 0 1 2 ()Pk 1 5 3 5 1 5 所以随机变量数学期望为 1339 012 5555 E 12 分 1818 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） () 连结BD 90BADADC ,3ABa DAa,所以2BDDCBCa E为BC中点,所以,3DEaAD 因为ABBEa,DBDB 所以DAB与DEB为全等三角形 所以ADBEDB 所以DAO与DEO为全等三角形 所以在DAE中,DOAE,即AEBD3 分 又因为PD 平面ABCD,AE 平面ABCD 所以AEPD4 分 而BDPDD 所以AE 平面PBD5 分 因为AE 平面PAE 所以平面PAE 平面PBD6 分 () 以O为原点,分别以,DA DB DP所在直线 为, ,x y z轴,建立空间直角坐标系如图 二面角DPCE即二面角DPCB AD 平面DPC,平面DPC的法向量可设为 1 (1,0,0)n 7 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【9】 设平面PBC的法向量为 2 ( , ,1)nx y 所以 2 2 0 0 nBC nPC ,而( 3 , ,0),(0,2 ,0), (0,0, 3 )Ba aCaPa (3 , ,0),(0,2 ,3 )BCa aPCaa 即: 30 230 axay aya ,可求得 2 13 ( ,1) 22 n 10 分 1 (1,0,0)n 所以两平面DPC与平面DBC所成的角的余弦值 为 12 12 12 1 2 2 cos, 4|2.1 nn n n nn 12 分 设等比数列 n b的公比为q,所以 11 1 1 2 nn n bbqq 5 1a 恰为 4 S与 2 1 b 的等比中项 54 9,16aS, 2 1 2 bq,所以 2 1 (9 1)6416 1 2 q ,解得 1 2 q 7 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【10】 所以 1 1 1 ( ) 2 nn n bbq 8 分 () 2n时, 12 122223 1111111 .(1)()() 22122122232 nn Tccc 11 111 .(.) 21222 nnn 而2n时, 11 111111 . 21222222 n nnnnnn c 10 分 11 2(21) 121 222 nnn nn 所以 12 111 .1. 222 nn Tccc 1 2 n 12 分 说明:本问也可用数学归纳法做. 2020 （本小题满分 （本小题满分 1313 分）分） 解: () ( ) 2g xbxc在1x 处的切线为2yx 所以 1 ( )2 x g x ,即22b 又在1x 处2y ,所以(1)2g 所以 2 22 11 12 bc bc ,可得 1 0 b c 所以 2 ( )1g xx3 分 () 1a 时 2 ( )ln1f xxxx ,定义域为(0,) 2 121(1)(21) ( )21 xxxx fxx xxx x (0,1) 1 (1,) y 0 y 极小值(1)f 可以看出,当1x 时,函数( )f x有极小值(1)1yf 极小 8 分 () 因为 2 ( )ln1f xxaxx, 2 ( )1g xx 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(64) 第七部分 【11】 所以 22 ( )( )( )ln1 (1)lnh xf xg xxaxxxaxx 假设存在实数a，使( )ln (0, )h xaxx xe有最小值3, 1 ( )h xa x 9 分 当0a 时， ( ) 0h x ，所以 ( )h x在(0, e上单调递减， min 4 ( )( )13,h xh eaea e （舍去） 10 分 当0a 时, 1 ()a x a x (i)当 1 0a e 时, 1 e a ， ( ) 0h x 在(0, e上恒成立 所以( )h x在(0, e上单调递减， min 4 ( )( )13,h xh eaea e （舍去）11 分 (ii)当 1 a e 时, 1 0e a ，当 1 0 x a 时, ( ) 0h x 所以( )h x在 1 (0,) a 上递减 当 1 xe a 时 ( ) 0h x ,( )h x在 1 (, ) e a 上递增 所以, min 1 ( )( )1