第十一章微分方程第1-5节

第七章微分方程,1、微分方程的基本概念,一、引例,解：,设曲线方程y=y(x),由题意,且满足,由,2,=1+C,为所求曲线。,例2.,只在重力下(不计空气阻力)，一质量为m的,质点自由下落，求质点运动的规律,(位置与时间的,解：,设物体下落的铅垂线为x轴，向下为正，,点o为质点运动的起点，则x=x(t).,x,o,由牛顿第二定律,F=ma,(a加速度F作用力),质点只受重力作用,F=mg,关系)。,对t两次积分：,由初始时刻t=0,质点的初始位置x=0及初始,速度为0,即,二、基本概念,定义,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程。其一般形式：,说明：,1.,未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，,方程中可以不出现自变量x与未知函数y,但y的导数或微分必须出现。,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程，,如,2.,方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数，称为微分方程的阶。,如：例1为一阶，例2为二阶。,3.,能使方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解。特别地：,(1)带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立),n阶方程的通解的一般形式：,的解称为微分方程的通解。,(2)确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。,4.,由实际情况提出的可确定通解中任意常数的,条件称为初始条件。,初始条件个数=任意常数个数=方程阶数,如：,求微分方程满足初始条件的特解问题，称为微分方程的初值问题，形式为：,5.,解的几何意义：,通解表示以常数Ci为参数的一族积分曲线。,微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线。,表示其中一条确定的通过,如:对一阶微分方程,其积分曲线的方程：,点(x0,y0)的积分曲线。,二阶微分方程满足,的特解表示通过点(x0,y0)且在该点切线斜率为,的那条积分曲线。,例题,1.,证：,代入方程左端：,=1,=右端,2.,解：,消去了C1，C2的关系式就是所要求的微分方程。,即为所求微分方程。,课外作业,习题71(A),4,习题71(B),2,一阶微分方程的一般形式：,2.可分离变量的微分方程,一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式：,两种形式是等价的。,若一个一阶微分方程可化成,的形式，,则称此方程为可分离变量的微分方程。,或,分离变量方程的解法:,两边积分,得,则有,为方程的隐式通解.,例题,1.,解：,dy,dx,+C,即为所求微分方程的通解。,2.,解：,分离变量：,两边积分：,解：,为通解；,所以所求特解：,此时少一解y=0,(若C取任意实数则包含前面少掉的一解y=0),(C为任意实数),3.设y(x)是一个连续可微函数，且满足,求y(x),解：,方程两边对x求导：,整理得：,方程两边再对x求导：,即：,4.求下述微分方程的通解:,解:,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,令,课外作业,习题7-2(A),1(6,7),2(3),3,习题7-2(B),4,6,3、齐次方程,则称f(x,y)为k次齐次函数。,当k=0,即f(tx,ty)=f(x,y),则f(x,y)为零次齐次函数，且有,若方程可表为：,则称此方程为齐次方程。,的形式，,一、齐次方程,例：,解法：,分离变量：,(积分，回代),例题,解：,求下列微分方程的通解：,分离变量：,回代,即为所求通解。,分析：,计算比较繁琐，,现把x与y,的地位互换一下，,从而有下列解法。,解：,分离变量：,所以所求通解：,(3),设曲线y=f(x)上任意点M到坐标原点的距离,等于曲线上该点处的切线在y轴上的截距,且曲线过点(1,0),求此曲线方程。,(1,0),M,解：,曲线上过点M(x,y)的切线方程：,由题意：,代入初始条件得:C=1,二、可化为齐次的微分方程,则是齐次的，,可用前面的方法求解,否则，,是非齐次的，,为求其解，令,考虑方程组：,此时方程化为,齐次方程,引人新变量v=ax+by,原方程化为：,变量可分离的微分方程,求出其通解后再将v用ax+by代回即得原方程的通解。,例1.,解：,此时方程化为,例2.,所以原方程通解：,解：,所以原方程的通解为：,即,课外作业,习题73(A),1(2,5),习题73(B),1(1),2(2,4),4、一阶线性微分方程,1.一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的一般形式：,其中P(x),Q(x)为已知的连续函数。,说明：,一次，故称为线性方程。,2)P(x),Q(x)可为任意的连续函数。,1)方程中未知函数y及其导数的次数均为,3)方程中Q(x)称为自由项或干扰项,非齐次项。,称为一阶齐次线性方程.,称为一阶非齐次线性方程.,(1),(2),（一）,可分离变量方程,(1)的通解,先求出对应的齐次线性方程(1)的通解：,以C(x)代替C，即令,把所令y代入方程：,(C:任意常数),得非齐次线性方程(2)的通解：,求出C(x):,（二）,非齐次线性方程(2)的通解结构：,=I+II,非齐次通解,y,=,+,=非齐次特解,+对应齐次通解,例题,例1：,解：,x,例2.,解：,例3.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,令,则有,求得,解：,请同学们完成求解过程.,例4.设函数f(x)处处可导,且有,实数x、y满足关系式,证明必有,证：,令y=0，,并对一切,线性方程，,通解为,得c=0,2、伯努利方程,的方程，称为伯努利方程。,说明：,(1),伯努利方程本身不是线性方程,但通过,n=0时，方程为线性方程；,n=1时，方程为可分离变量方程。,(2),适当的变量代换后可化成线性方程。,解法：,方程两边同除yn,代入方程：,为关于z的一阶线性微分方程，,求出通解后，,再将,回代即可。,例1.,解：,两边同除y1:,代入方程：,例2：,解：,为伯努利方程，,函数x=x(y),n=2.,两边同除x2:,代入方程：,课外作业,习题74(A),2(3),5(3,5),习题74(B),1(2,5),3,6(2,5),8,5、全微分方程,一、二元函数的定义,回忆,点集D-定义域，,-值域.,x、y-自变量，z-因变量.,定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点,变量z按照一定的法则总有确定的值和,它对应，则称z是变量x，y的二元函数，,记为,或记为,类似地可定义三元及三元以上函数,点集D-定义域，,-值域.,x、y-自变量，z-因变量.,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点,变量z按照一定的法则总有确定的值和,它对应，则称z是变量x，y的二元函数，,记为,或记为,二、偏导数的定义,表示函数y对自变量x的变化率。,二元函数z=f(x,y),一元函数y=f(x)的导数,若固定一个变量(如y)，,函数z对另一变量(如x)的变化率:,称为z=f(x,y)对x的偏导(函)数。记作,同理，对二元函数z=f(x,y),对另一变量y求导，,若固定变量x，,得到的导函数称为,z=f(x,y)对y的偏导(函)数。,记作,说明：,2、偏导数的求导法则与一元函数的相仿。,1、上述定义可以推广到二元以上的函数，,如有：f(x,y,z)在D内任一点(x,y,z)对x的偏导数,例.,解：,一元函数y=f(x),增量y=f(x+x)f(x),若y=Ax+o(x)，则称y是可微的。,其中Ax称为函数的微分,记为dy。,在可微的情况下，,且有,回忆,三、全微分的定义,二元函数：z对x的偏增量,xz=f(x+x,y)f(x,y),fx(x,y)x,右式称为z对x的偏微分；,yz=f(x,y+y)f(x,y),z=f(x+x,y+y)f(x,y),fy(x,y)y,右式称为z对y的偏微分。,当x,y都有增量时，,称为z对自变量x,y的全增量。,z对y的偏增量,?,z=Ax+By+o()，,定义:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量,z=f(x+x,y+y)f(x,y),且A，B不依赖于x,y而仅与x,y有关，,则称z=f(x,y)在点(x,y)可微分。,称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的,全微分,记作dz,dz=Ax+By,可表示成,Ax+By,=Adx+Bdy,若z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则可证dz=Adx+Bdy中的A,B分别为,若函数在区域D内各点处都可微分，,则称函数在D内可微。,若一阶微分方程,的左边恰好是某一函数u=u(x,y)的全微分,即有du=Pdx+Qdy,则此方程称为,全微分方程，且有,四、全微分方程,是全微分方程,其通解为u(x,y)=C,则对方程,u(x,y)的求法：,则,则,注意：此处常数可以不写,由此得全微分方程,的通解,例题,例：,解一：,为全微分方程，,方程变形为：,原全微分方程的通解为,解二：,（凑微分）,方程变形为：,例：,原全微分方程的通解为,解三：,方程变形为：,例：,以y为自变量x为因变量的一阶线性微分方程。,即为通解。,常用微分式：,d(xy)=ydx+xdy,若对,来说，,则它不是全微分方程。,如有一个适当的,例: