天津第一中学数学三角与向量综合资料理pdf

高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 10 第二学期 第十一周第二学期 第十一周 课程内容 三角函数与向量的交汇专题 2014-2015 学年 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 10 本周我们将进行三角与向量的交汇题型分析及解题策略. 命题趋向：命题趋向：三角函数与平面向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解 答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为 12 分，交汇性主要体现在：三 角函数恒等变换公式、性质与图象与平面向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及 模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点。根据考纲高考中解答题仍会涉及三 角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、 共线(平行)与垂直的充要条件条件. 主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先 通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性 质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用 三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正 余弦定理交织在一起. 一考试要求：一考试要求：1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义掌握同角三角函数的基 本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义 2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切 公式 3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A， 的物理意义 5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件 7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运 算 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 10 8掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长 度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 9掌握平面两点间的距离公式和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式 二考点透视：二考点透视：向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以像数一样满 足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角 函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间 存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵 活，极富思维性和挑战性.主要考点如下： 1考查三角式化简、求值、证明及求角问题. 2考查三角函数的性质与图像，特别是 y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换. 3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大， 主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等. 4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算. 5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直 的充要条件等问题. 6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 题型一 三角函数平移与向量平移的综合题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相 同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问 题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平 移过程中对应的向量坐标. 【例 1】【例 1】 把函数 ysin2x 的图象按向量 a ( 6 ，3)平移后，得到函数 y Asin(x)(A0，0，| 2 )的图象，则和 B 的值依次为 （ ） 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 10 A 12 ，3 B 3 ，3 C 3 ，3 D 12 ，3 【分析】【分析】 根据向量的坐标确定平移公式为 xx 6 yy3 ，再代入已知解析式可得.还可 以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出 选择. 【解析 1】【解析 1】 由平移向量知向量平移公式 xx 6 yy3 ，即 xx 6 yy3 ，代入 ysin2x 得 y3sin2(x 6 )，即到 ysin(2x 3 )3，由此知 3 ，B3，故选 C. 【解析 2】【解析 2】 由向量 a ( 6 ，3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整 体向左平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位，由此可得函数的图象为 ysin2(x 6 )3， 即 ysin(2x 3 )3，由此知 3 ，B3，故选 C. 【点评】【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问 题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是 易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后 再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与性质进行求解. 此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查. 【例 2】【例 2】 已知 A、B、C 为三个锐角，且 ABC.若向量 p(22sinA，cosA sinA)与向量 q(cosAsinA，1sinA)是共线向量. （）求角 A； （）求函数 y2sin 2 Bcos C3B 2 的最大值. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 10 【分析】【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得 A 角的正弦 值，再根据角的范围即可解决第()小题；而第()小题根据第()小题的结果及 A、B、C 三个角的关系，结合三角恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式，再根据 B 的范围 求最值. 【解】【解】 （） p、 q共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosA sinA)，则 sin 2 A 3 4 ， 又 A 为锐角，所以 sinA 3 2 ，则 A 3 . （）y2sin 2 Bcos C3B 2 2sin 2 Bcos ( 3 B)3B 2 2sin 2 Bcos( 3 2B)1cos2B 1 2 cos2B 3 2 sin2B 3 2 sin2B 1 2 cos2B1sin(2B 6 )1. B(0， 2 )，2B 6 ( 6 ， 5 6 )，2B 6 2 ，解得 B 3 ，ymax2. 【点评】【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数 的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函 数问题；（2）根据条件确定 B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解 决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 题型三 三角函数与平面向量垂直的综合题型三 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量 垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题 型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 10 【例 3】【例 3】 已知向量 a (3sin,cos)， b(2sin，5sin4cos)，( 3 2 ， 2)，且 a b （）求 tan 的值； （）求 cos( 2 3 )的值 【分析】【分析】 第()小题从向量垂直条件入手，建立关于 的三角方程，再利用同角三 角函数的基本关系可求得 tan 的值；第()小题根据所求得的 tan 的结果，利用二倍角 公式求得 tan 2 的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果 【解】【解】 （） a b， a b0而 a （3sin，cos）， b(2sin, 5sin 4cos)， 故 a b6sin 2 5sincos4cos 2 0 由于 cos0，6tan 2 5tan40解之，得 tan 4 3 ，或 tan 1 2 （ 3 2 ，2），tan0，故 tan 1 2 （舍去）tan 4 3 （）（ 3 2 ，2）， 2 （ 3 4 ，） 由 tan 4 3 ，求得 tan 2 1 2 ，tan 2 2（舍去）sin 2 5 5 ，cos 2 2 5 5 ， cos( 2 3 )cos 2 cos 3 sin 2 sin 3 2 5 5 1 2 5 5 3 2 2 5 15 10 【点评】【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公 式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 10 明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（）小题的解答中 用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常 用方法. 题型四 三角函数与平面向量的模的综合题型四 三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质| a | 2 a 2 ，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两 种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入 向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解. 【例 3】【例 3】 已知向量 a (cos,sin)， b(cos,sin)，| a b| 2 5 5.()求 cos()的值；()若 2 0 2 ，且 sin 5 13 ，求 sin 的值. 【分析】【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题；而第()小题 则可变角 ()，然后就须求 sin()与 cos 即可. 【解】【解】 ()| a b| 2 5 5， a 2 2 a b b 2 4 5 ， 将向量 a (cos,sin)， b(cos,sin)代入上式得 1 2 2(coscossinsin)1 2 4 5 ，cos() 3 5 . () 2 0 2 ，0， 由 cos() 3 5 ，得 sin() 4 5 ， 又 sin 5 13 ，cos 12 13 ， sinsin()sin()coscos()sin 33 65 . 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 10 点评：点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本 关系.本题解答中要注意两点：(1)化| a b|为向量运算| a b| 2 ( a b) 2 ；(2)注意解 的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想. 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函 数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利 用三角函数知识求解. 【例 5】【例 5】 设函数 f(x) a b.其中向量 a (m，cosx)， b(1sinx，1)，xR， 且 f( 2 )2.（）求实数 m 的值；（）求函数 f(x)的最小值. 分析：分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函 数中的“数量关系”，从而，建立函数 f(x)关系式，第（）小题直接利用条件 f( 2 )2 可以 求得，而第()小题利用三角函数的有界性就可以求解. 解：解：（）f(x) a bm(1sinx)cosx， 由 f( 2 )2，得 m(1sin 2 )cos 2 2，解得 m1. ()由（）得 f(x)sinxcosx1 2sin(x 4 )1， 当 sin(x 4 )1 时，f(x)的最小值为 1 2. 点评：点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都 可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多， 首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关 知识进行求解 六、解斜三角形与向量的综合六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、 余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的 三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 10 【例 6】【例 6】 已知角 A、B、C 为ABC 的三个内角，其对边分别为 a、b、c，若 m( cos A 2 ，sin A 2 )， n(cos A 2 ，sin A 2 )，a2 3，且 m n 1 2 （）若ABC 的面积 S 3，求 bc 的值 （）求 bc 的取值范围 【分析】【分析】 第()小题利用数量积公式建立关于角 A 的三角函数方程，再利用二倍角 公式求得 A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于 b、c 的方程组求取 bc 的值；第()小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于 B 的三角函数式，进而求得 bc 的范围. 【解】【解】 （） m(cos A 2 ，sin A 2 )， n (cos A 2 ，sin A 2 )，且 m n 1 2 ， cos 2 A 2 sin 2 A 2 1 2 ，即cosA 1 2 ， 又 A(0，)，A 2 3 . 又由 SABC 1 2 bcsinA 3，所以 bc4， 由余弦定理得：a 2 b 2 c 2 2bccos 2 3 b 2 c 2 bc，16(bc) 2 ，故 bc4. （）由正弦定理得： b sinB c sinC a sinA 2 3 sin 2 3 4，又 BCA 3 ， bc4sinB4sinC4sinB4sin( 3 B)4sin(B 3 )， 0B 3 ，则 3 B 3 2 3 ，则 3 2 sin(B 3 )1，即 bc 的取值范围是(2 3， 4. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 10 点评点评 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定 理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第()小题 中求 bc 没有利用分别求出 b、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解 答；(2)第()小题的求解中特别要注意确定角 B 的范围. 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 /7 一选择题 1将函数 y2sin2x 2 的图象按向量( 2 ， 2 )平移后得到图象对应的解析式是（ ） A2cos2x B2cos2x C2sin2x D2sin2x 2设 a ( 3 2 ,sin)， b(cos, 1 3 )，且 a b，则锐角为（ ） A30 B45 C60 D75 3已知 a (sin， 1cos)， b (1， 1cos)，其中 (， 3 2 )，则一定有 （ ） A a b B a b C a 与 b夹角为 45D| a | b| 4已知向量a (6，4)，b (0，2), c a b ，若 C 点在函数 ysin 12 x 的图象上, 实数（ ） A 5 2 B 3 2 C 5 2 D 3 2 5由向量把函数 ysin(x 5 6 )的图象按向量 a (m，0)(m0)平移所得的图象关于 y 轴 对称，则 m 的最小值为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6设 02 时，已知两个向量OP1 (cos，sin)，OP 2 (2sin，2cos)，则 向量P1P2 长度的最大值是（ ） A 2 B 3 C3 2 D2 3 7若向量 a (cos,sin)， b(cos,sin)，则 a 与 b一定满足（ ） A a 与 b的夹角等于 B a b C a b D( a b)( a b) 8O 是平面上一定点，A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足： OP OA ( AB AC)，(0,)，则直线 AP 一定通过ABC 的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 /7 一、填空题 1将函数 f(x)tan(2x 3 )1 按向量 a平移得到奇函数 g(x)，要使|a|最小，则 a _. 2已知向量 m(1，1)向量 n与向量 m夹角为 3 4 ，且 m n1.则向量 n_ 二、解答题 1在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 AB AC BA BCk(kR). （）判断ABC 的形状； （）若 c 2，求 k 的值 2已知向量 m(sinA,cosA)， n ( 3,1)， m n1，且A为锐角.()求角 A 的大 小；()求函数 f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域 3已知 A、B、C 的坐标分别为 A（4，0），B（0，4），C（3cos，3sin）. （）若 (，0)，且| AC| BC|，求角 的大小； （）若 AC BC，求 2sin 2 sin2 1tan 的值 1、已知向量 1 (cos ,),( 3sin ,cos2 ), 2 xxx x = ab R, 设函数 ( ) f x = a b. () 求 f (x)的最小正周期. () 求 f (x) 在 0, 2 上的最大值和最小值. 2、设向量 ( ) ( ) 3sin ,sin,cos ,sinx ,0,. 2 axxbxx = (I)若 . abx = 求 的值； (II)设函数 ( ) ( ) ,. fxa bfx = i 求 的最大值 3、已知向量 (sin ,1),( 3 cos ,cos2 )(0) 3 A mxnAxxA = ? ,函数 ( ) f xm n = ? ? 的最大值 为 6. ()求A; 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 /7 ()将函数 ( ) yf x = 的图象向左平移 12 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 来的 1 2 倍,纵坐标不变,得到函数 ( ) yg x = 的图象.求 ( ) g x 在 5 0, 24 上的值域. 4、已知向量 (cossin, sin) xxx = a , ( cossin, 2 3cos) xxx = b ,设函数 ( ) f x =+ a b () xR 的图象关于直线 x = 对称,其中 , 为常数,且 1 ( , 1) 2 . ()求函数 ( ) f x 的最小正周期; ()若 ( ) yf x = 的图象经过点 (,0) 4 ,求函数 ( ) f x 在区间 3 0, 5 上的取值范围. 必会基础题 一选择题 必会基础题 一选择题 1D 【解析】【解析】y2sin2x 2 y2sin2（x 2 ） 2 2 ，即 y2sin2x. 2B 【解析】【解析】由平行的充要条件得 3 2 1 3 sincos0，sin21，290，45. 3B 【解析】解析】 a bsin|sin|，(， 3 2 )，|sin|sin， a b 0， a b 4A 【解析】【解析】 c a b (6，42)，代入 ysin 12 x 得，42sin 2 1， 解得 5 2 . 5B 【解析】【解析】考虑把函数 ysin(x 5 6 )的图象变换为 ycosx 的图象，而 ysin(x 5 6 ) cos(x 3 )，即把 ycos(x 3 )的图象变换为 ycosx 的图象，只须向右平行 3 个单 位，所以 m 3 ，故选 B. 6C 【解析】【解析】|P1P2 | (2sincos) 2 (2cossin) 2 108cos3 2. 7D 【解析】【解析】 a b(coscos,sinsin)， a b(coscos,sinsin)， ( a b)( a b)cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 0，( a b)( a b) 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 /7 8C 【解析】【解析】设 BC 的中点为 D，则 AB AC2 AD，又由 OP OA( AB AC)， AP 2 AD，所以 AP与 AD共线，即有直线 AP 与直线 AD 重合，即直线 AP 一定通过 ABC 的重心 提高拓展题 一、填空题 提高拓展题 一、填空题 3（ 6 ，1） 【解析】【解析】要经过平移得到奇函数 g(x)，应将函数 f(x)tan(2x 3 )1 的 图象向下平移 1 个单位，再向右平移 k 2 6 (kZ)个单位即应按照向量 a ( k 2 6 ，1) (kZ)进行平移要使|a|最小， 4(1，0)或(0，1) 【解析】【解析】设 n (x，y)，由 m n1，有 xy1 ，由 m 与 n 夹角为 3 4 ，有 m n| m| n |cos 3 4 ，| n |1，则 x 2 y 2 1 ，由解得 x=1 y=0 或 x0 y1 即 n (1，0)或 n (0，1) 二、解答题二、解答题 1【解】【解】（） AB ACbccosA， BA BCcacosB， 又 AB AC BA BC，bccosAcacosB， 由正弦定理，得 sinBcosAsinAcosB，即 sinAcosBsinBcosA0，sin(AB)0 AB，AB0，即 AB，ABC 为等腰三角形. （）由（）知 b a = ， AB ACbccosAbc b 2 c 2 a 2 2bc c 2 2 ， c 2，k1. 2【解】【解】()由题意得 m n 3sinAcosA1，2sin(A 6 )1，sin(A 6 ) 1 2 ， 由 A 为锐角得 A 6 6 ，A 3 . ()由()知 cosA 1 2 ，所以 f(x)cos2x2sinx1-2sin 2 x2sinx-2(sinx 1 2 ) 2 3 2 ， 因为 xR，所以 sinx1,1，因此，当 sinx 1 2 时，f(x)有最大值 3 2 当 sinx1 时，f(x)有最小值3，所以所求函数 f(x)的值域是3， 3 2 3【解】【解】（）由已知得： (3cos4) 2 9sin 2 9cos 2 (3sin4) 2 ，则 sin cos， 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 /7 因为 (，0)， 3 4 . （）由(3cos4)3cos3sin(3sin4)0，得 sincos 3 4 ，平方，得 sin2 7 16 . 而 2sin 2 sin2 1tan 2sin 2 cos2sincos 2 sincos 2sincossin2 7 16 高考链接高考链接 1、解:() ( ) f x = a b= ) 6 2 sin( 2 cos 2 1 2 sin 2 3 2 cos 2 1 sin 3 cos = = x x x x x x . 最小正周期 = = 2 2 T . 所以 ), 6 2 sin( ) ( = x x f 最小正周期为 . () 上的图像知， 在 ，由标准函数 时， 当 6 5 , 6 sin 6 5 , 6 ) 6 2 ( 2 , 0 x y x x = . 1 , 2 1 ) 2 ( ), 6 ( ) 6 2 sin( ) ( = = f f x x f . 所以,f (x) 在 0, 2