圆锥曲线与参数的范围

圆锥曲线与参数的范围四川省大英县育才中学 秦增林圆锥曲线中，参数是一个非常重要的量。在解有关参数问题时，往往涉及求参数的范围，深刻理解与掌握参数的意义及其对圆锥曲线的图象的形状、性质的影响，是高中数学教与学的一个难点问题。本文就怎样求参数的范围，归纳几种较为典型的类型。一、 根据直线与圆锥曲线的公共点的情况，利用法求参数的范围这是圆锥曲线中求范围的一种常规思路，通过直线与圆锥曲线消元得到一个类一元二次方程（需确定二项式系数是否为0），利用法求参数的范围例：若抛物线y =x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取值范围。解：设直线：，直线与抛物线y =x2的两交点为A（x1 ,y1）、B（x2 ,y2）,由消元得=1+40，且，则线段AB的中点M（，），又点M在直线y=m(x-3)上，= m(-3) 即=-3m由=1+40得=1+4（- 3m）=00即0 解得实数m的取值范围为二、 利用a、b、c的大小关系求参数的范围在圆锥曲线中，对于a、b、c大小关系有规定，若能建立参数与这三个量之间的关系，则可求出参数的范围。例：如图，点A是椭圆C：（ab0）的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，P点在y轴上，且BPx轴，,若P的坐标为，求t的取值范围。解：法一、由P的坐标为及A点位于x轴下方，得A点的坐标为即xAyBPO显然B点的坐标是，代入椭圆的方程得， 解得 0， 0 1，即-1=0 2t()0 从而0t法二、设直线AB的方程为y=x-b，代入椭圆的方程消去y得： x =0或由直线AB的方程可知，t =x-b =-b =又t -（-b）=3 t =3-b3-b，0解得b3，即3- t3t的取值范围是0t评析：由|AP|=3，结合图形分析出|OA|=2，即b=3，以及分析出B点的坐标为（3，1）是本题的关键，在求出a与t的关系进而求出t的范围是，注意条件的应用至关重要。三、 利用解析式中、自身的范围求参数的范围在各类圆锥曲线中，对于、自身就有一定的范围，如在椭圆中，a、b，在解题时，只须想法找到参数与它们的关系则可求到其范围。例：一条斜率为1的直线m与离心率为的双曲线E：（a0，b0）交于P、Q，直线m交y轴于R，且，1、 求双曲线的方程2、 若F为双曲线E的右焦点，M、N分别为双曲线E上的两点，且，求的范围。解：1、易得双曲线的方程为 2、E（，0），设M，N，由得 ，由M、N在双曲线上，则 ， |x|1 1 从而或练：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60，求椭圆的离心率的取值范围。答案： 四、 利用已知条件中给出的某些量的范围求参数的范围关键是想法求得参数与已知量之间的关系，然后利用已知量的范围进一步求参数的范围。例：椭圆（ab0）与直线相交于A、B两点，且OAOB (O为坐标原点)，若椭圆的长轴长的取值范围是，求椭圆离心率的取值范围。解：由方程组 消去y，并整理得由直线与椭圆有两个交点，则=4a2b2(a2 + b2 -1)0故有a2 + b21。设A、B两点的坐标分别为（x1 ,y1）、（x2 ,y2）,则有x1 +x2 =，x1 x2 =再由OAOB得x1 x2 + y1y2=0而A、B在直线上，故y1 =1-x1 y2=1-x2将代入消去y1、y2，再代入化简得，从而又，则，即 由消去并整理得。由a得5a26，则56解得，从而 练：已知抛物线（p0）,过动点M（a ,0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|，求a的取值范围。 答案： 五、 利用圆锥曲线分割平面，点所在区域求参数的范围本法即是我们通常所说的圆锥曲线（注意：圆锥曲线的方程一定要是标准方程的形式）的内部、外部。类似于线性规划中直线分平面的两个半平面内的点使直线的解析式的值异号。而在圆锥曲线内部与外部也有类似的性质。如对椭圆，点P（x1，y1）在其内部则有1，点P（x2，y2）在其外部则有1。至于各类圆锥曲线的内部与外部的定义，通常如图所示：内部外部外部外部内部内部外部例：已知抛物线C：与直线，要使C上存在关于对称的两点，求实数的取值范围。解：设关于对称的弦为AB，A，B，其中点为M则，两式作差得，又AB，则，从而代入直线得，故M（，）M为弦的中点必然在抛物线的内部，故有，即解得0评：解此问题，怎样构造关于的不等式是一个难点，也是解题的关键，本题首先运用设而不求的思想，求得中点的坐标，再利用圆锥曲线的点的内部与外部的特点建立不等式从而得解。六、利用数形结合的思想求参数的范围。Oyx3-1例：对任意的实数k，直线：y=kx+b与椭圆：（0）恒有公共点，则b的取值范围是 。析：由椭圆的参数方程得，当x=0时，得y =3或y= 1结合图象可知，只需直线：y=kx+b与y轴的交点纵坐标在13之间，即b 1,3，无论斜率k取何值，直线与椭圆总有交点，当b 1,3时，总存在实数k使直线与椭圆无交点，故b 1,3。另：本题也可采用方法五，直线与椭圆恒有公共点，则直线过定点（0，b）在椭圆内部或在椭圆上，从而建立不等式求解。练：若双曲线与圆没有公共点，则实数k的取值范围是。提示