Duffing方程MATLAB仿真分析

非线性电路报告 Duffing方程的MATLAB仿真分析班级：学号：姓名： 摘要Duffing方程是一种重要的动力系统1，是反映工程物理系统中非线性现象和混沌动力学行为的极其重要的方程式。通过Duffing方程可以探讨铁磁谐振电路中的分岔、拟周期运动、子谐波振荡。而在非线性与混沌系统的研究中，Duffing方程展示了丰富的混沌动力学行为。本文通过对不同情况下的Duffing方程进行分析，利用MATLAB进行仿真，从而对Duffing方程有进一步的了解。关键词：Duffing方程 混沌 MATLAB仿真1 引言最初的Duffing方程通过在经典动力学系统中引入一个具有摆动的非线性方程。数学上将含有自变量三次项的二阶方程称为Duffing方程。Duffing方程是弱信号检测中的常用模型，他所描述的非线性系统表现出多种非线性特性，包括振荡、分岔、混沌等复杂状态。在非线性与混沌系统的研究中，Duffing方程展示了丰富的混沌动力学行为，Duffing方程的非线性与混沌特性得到了人们坚持不懈的研究。Duffing方程的工程背景、Duffing方程的混沌动力学行为的控制以及Duffing方程在工程物理系统中的应用，一直是人们研究与关注的复杂话题。混沌是确定性的非线性系统在一定的条件下呈现出来的貌似无序但又遵循一定规律的复杂动力学行为2，是一种宏观无序、微观有序的现象。混沌是自然界一种普遍存在的非线性现象，电路中的混沌实际上是在一定的参数条件下，在一些属于确定性系统的电路里产生的类似于随机响应。混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。Duffing方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。本文用MATLAB对Duffing方程进行模拟分析，找出系统在各种参数下的运动状态，为基于Duffing振子的小信号检测提供研究基础。2 Duffing方程的形式2.1 具体形式著名的Duffing方程式反映工程物理系统中非线性现象和混沌动力学定位的极为重要的方程式，典型的Duffing方程的具体形式为： (2-1)为阻尼系数，为含有三次方项的非线性函数，为周期函数。通常对其进行如下分类：（1）如果满足超线性条件，即：，则该Duffing方程为超线性的；（2）如果满足次线性条件，即：，则该Duffing方程为次线性的；（3）如果满足半线性条件，即：，则该Duffing方程为半线性的。Duffing方程系统是一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等，横向波动方程的轴向张力扰动模型，转子轴承的动力学方程也与Duffing系统基本相似，另外Duffing系统也非常广泛地被应用到实际工程中，例如尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等。关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。2.2 典型形式 (2-2)其中，是阻尼系数，、为常数，为周期驱动力，为非线性恢复力。为了便于分析，也可将系统描述为： (2-3)2.3结合电路对Duffing方程分析本节通过用Duffing方程描述一种LC并联铁磁混沌电路的混沌动力学行为，并进行理论分析，最终得出一些结论。电路图如图2-1所示。图2-1 并联LC铁磁混沌振荡电路对于上述电路图，有 (2-4)其中，。同时，对方程进行归一化处理，令：，。为了方便分析，令：，。则上述方程可以改写为 (2-5)为了便于仿真，将改为，上式即为。这便是Duffing方程的经典形式。3 Duffing方程仿真及其分析MATILAB中的Simulink是一个动态系统建模仿真和分析的软件包，它是一种基于MATLAB的框图设计环境，支持线性系统和非线性系统，可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。Simulink中包括许多实现不同功能的模块库，选择不同的模块建模就能模拟出不同的系统。利用MATLAB程序实现对上一章中建立的并联LC铁磁混沌振荡电路进行仿真，仿真结果如下。3.1 取初值（0,0）（1）当=0.1，=92.825时，其混沌奇怪吸引子如图3-1所示，相应的时域仿真如图3-2所示。图3-1 状态平面的混沌奇怪吸引子图3-2 MATLAB仿真的、的波形图注：其中红色为，蓝色为（2）当=0.1，=88时，其混沌奇怪吸引子如图3-3所示，相应的时域仿真如图3-4所示。图3-3 状态平面的混沌奇怪吸引子图3-4 MATLAB仿真的、的波形图注：其中红色为，蓝色为（3）当=0.1，=50时，其混沌奇怪吸引子如图3-5所示，相应的时域仿真如图3-6所示。图3-5 状态平面的混沌奇怪吸引子图3-6 MATLAB仿真的、的波形图注：其中红色为，蓝色为3.2 取初值（1,0.3），（1）当=0.1，=92.985时，其混沌奇怪吸引子如图3-7所示，相应的时域仿真如图3-8所示。图3-7 状态平面的混沌奇怪吸引子图3-8 MATLAB仿真的、的波形图注：其中红色为，蓝色为（2）当=0.1，=88时，其混沌奇怪吸引子如图3-9所示，相应的时域仿真如图3-10所示。图3-9 状态平面的混沌奇怪吸引子图3-10 MATLAB仿真的、的波形图注：其中红色为，蓝色为（3）当=0.1，=50时，其混沌奇怪吸引子如图3-11所示，相应的时域仿真如图3-12所示。图3-11 状态平面的混沌奇怪吸引子图3-12 MATLAB仿真的、的波形图注：其中红色为，蓝色为3.3 小结由上述情况的仿真结果可以看出：（1）对于给定初值，当参数变化时，系统特性发生变化，但各信号并没有很强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。（2）当系统初值发生变化时，即使参数相同，系统特性也会发生变化。这体现了混沌系统对初始值的极端敏感性。从以上分析可以看出，混沌状态下的相轨道在相平面上既不趋于平衡点又不能发散，而是在一定区域内无限填充或游荡。混沌奇怪吸引子是整体稳定和局部不稳定相结合的产物，从相应的时域仿真图中可以清楚地看到混沌振荡的非周期性。这时，电压、电流都是非正弦波，高次谐波分量很严重。对于Duffing方程描述的LC并联铁磁混沌电路系统转换为三阶自治等价扭扩系统时，Duffing系统存在同宿轨。该系统的轨线满足不交率，所以其轨线在相空间只能缠绕而不会相交。其混沌吸引子具有分数维数。通过上述对Duffing方程的分析和计算机仿真，可以看到铁磁电路在一定的参数条件下（特别是在过电压下）确实存在分岔和混沌，分岔和混沌振荡会造成系统电压或电流的波形畸变。LC并联铁磁电路的分岔和混沌振荡会给工程物理系统稳定性特别是电力系统稳定性带来严重的危害，这还需要进一步的深入讨论研究。4 结论本文对非线性动力学系统中典型的Duffing方程进行了研究，使用Matlab软件对系统进行仿真，研究Duffing方程在不同参数下的响应。通过此次仿真，对杜芬方程有了更加深刻的认识，从自己的仿真中看到了混沌现象，提高了对研究的兴趣，从而对非线性系统的运动本质和混沌状态有更深一